高一数学必修一集合
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2021/3/9
（第一课时）
1
2014.9.1
集合的含义与表示
德国数学家，集合论的 创始者。1845年3月3 日生于圣彼得堡（今苏 联列宁格勒），1918 年1月6日病逝于哈雷。
了解康托尔
2021/3/9
2
初中学习了哪些集合的实例
数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3 的解的集合…
点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合) 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离 相等的点的集合),等等.
（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为
对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴
趣和要求。
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。
1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数
似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的
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5
基础练习
2.互异性
若 3是x由 2,2x25x,1三2个元素构成集合
中的元素,求x的值.
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6
基础练习
0 __ N 0__N 3 __ Q
2__ N 1.5__Z
2 __Q
7__ R 0__ Z
0__
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7
集合的表示方法
探究一 :(1) 用列举法表示下列集合
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3
1.集合的概念:
一般地，把一些能够确定的不同的对象 看成一个整体,就说这个整体是由这些对象 的全体构成的集合(或集)
构成 集合的每个对象叫做这个集合的 元素.
2021/3/9
4
基础练习
1.确定性
⑴现有:①不大于 3 的正有理数.② 3 的近似数 ③全部长方形.④全体无实根的一元二次方程 程．四个条件中所指对象不能组成集合的＿＿ ＿．
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数}
(B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组 成一个集合,因为其元素不确定
⑵ 已知2是集合M={ 0,a,a23a2}中的元素，
则实数 a为( )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
元素与集合的关系： ∊， ∉
常用数集及其表示
集合的表示法：列举法、描述法
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18
格奥尔格·康托尔 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡 （今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄 国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年 17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于 E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾 去格丁根学习一学期。
①
A { x N |0x5 }
B{x|x25x60}
②
自然数集
③ yx1与y2x4 33
的图象的交点构பைடு நூலகம்的集合
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8
集合的表示方法
探究二:用描述法表示下列集合
① 小于10的所有非负整数构成的 集合
② {1,3,5,7, }
③
yx1与y2x4 33
的图象的交点构成的集合
④ 三角形
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估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数
是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分
类20的21准/3/9则。
19
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
（1）A=﹛x∈N︱1
6
x∈Z﹜
(2)
B=﹛1
6
x∈N
︱
x∈Z
﹜
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3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
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16
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？
集合的含义
集合元素的性质：确定性，互异性，无序性
（1）方程组
x
y
5
的解集用列举法表示
为_______；用描述法表示为 .
（2）集合{ (x ,y )|x y 6 ,x N ,y N }
用列举法表示为
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.
14
能力提高题
1. 用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13} ②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}.
2.用列举法表示下列集合：
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲 师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和
数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871
、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列
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（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：
A.﹛y︱y=2﹜
B. ﹛x=2﹜
C. ﹛2﹜
D. ﹛x︱x2-4x+4=0﹜
(4) 由实数x, -x, x 2 , ｜x｜ 所组成的集合 中，最 多含有的元素的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4
D.5
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3.填空
x y 2
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发 表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连 续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
9
集合的表示方法
思考：下列集合是否相同。
(1 )A xyx2 1Byyx21
C (x,y)yx2 1
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集合的表示方法
探究三:含参数问题
M x ( x a )x 2 ( a a x 1 ) 0
中各元素之和等于3,求a的值
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11
选择题 ⑴ 以下说法正确的( )
（第一课时）
1
2014.9.1
集合的含义与表示
德国数学家，集合论的 创始者。1845年3月3 日生于圣彼得堡（今苏 联列宁格勒），1918 年1月6日病逝于哈雷。
了解康托尔
2021/3/9
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初中学习了哪些集合的实例
数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3 的解的集合…
点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合) 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离 相等的点的集合),等等.
（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为
对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴
趣和要求。
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。
1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数
似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的
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基础练习
2.互异性
若 3是x由 2,2x25x,1三2个元素构成集合
中的元素,求x的值.
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6
基础练习
0 __ N 0__N 3 __ Q
2__ N 1.5__Z
2 __Q
7__ R 0__ Z
0__
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集合的表示方法
探究一 :(1) 用列举法表示下列集合
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3
1.集合的概念:
一般地，把一些能够确定的不同的对象 看成一个整体,就说这个整体是由这些对象 的全体构成的集合(或集)
构成 集合的每个对象叫做这个集合的 元素.
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基础练习
1.确定性
⑴现有:①不大于 3 的正有理数.② 3 的近似数 ③全部长方形.④全体无实根的一元二次方程 程．四个条件中所指对象不能组成集合的＿＿ ＿．
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数}
(B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组 成一个集合,因为其元素不确定
⑵ 已知2是集合M={ 0,a,a23a2}中的元素，
则实数 a为( )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
元素与集合的关系： ∊， ∉
常用数集及其表示
集合的表示法：列举法、描述法
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格奥尔格·康托尔 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡 （今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄 国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年 17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于 E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾 去格丁根学习一学期。
①
A { x N |0x5 }
B{x|x25x60}
②
自然数集
③ yx1与y2x4 33
的图象的交点构பைடு நூலகம்的集合
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集合的表示方法
探究二:用描述法表示下列集合
① 小于10的所有非负整数构成的 集合
② {1,3,5,7, }
③
yx1与y2x4 33
的图象的交点构成的集合
④ 三角形
2021/3/9
估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数
是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分
类20的21准/3/9则。
19
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
（1）A=﹛x∈N︱1
6
x∈Z﹜
(2)
B=﹛1
6
x∈N
︱
x∈Z
﹜
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3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
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回顾交流
今天我们学习了哪些内容？
集合的含义
集合元素的性质：确定性，互异性，无序性
（1）方程组
x
y
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的解集用列举法表示
为_______；用描述法表示为 .
（2）集合{ (x ,y )|x y 6 ,x N ,y N }
用列举法表示为
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.
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能力提高题
1. 用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13} ②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}.
2.用列举法表示下列集合：
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲 师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和
数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871
、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列
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12
（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：
A.﹛y︱y=2﹜
B. ﹛x=2﹜
C. ﹛2﹜
D. ﹛x︱x2-4x+4=0﹜
(4) 由实数x, -x, x 2 , ｜x｜ 所组成的集合 中，最 多含有的元素的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4
D.5
2021/3/9
13
3.填空
x y 2
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发 表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连 续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
9
集合的表示方法
思考：下列集合是否相同。
(1 )A xyx2 1Byyx21
C (x,y)yx2 1
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集合的表示方法
探究三:含参数问题
M x ( x a )x 2 ( a a x 1 ) 0
中各元素之和等于3,求a的值
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选择题 ⑴ 以下说法正确的( )