三角函数的周期性

若记f(x)=sinx,则对于任意实 数x,都有f(x+2∏)=f(x)
思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？
定义：对于函数f(x)，如果存在一 个非零常数T，使得当x取定义域内 —————— 每一个 的 ————值时，都有f(x)＝f(x+T)，那 非零常数T 么函数 f(x)就叫做周期函数，————— 叫做这个函数的周期。
• 1.定义法： • 2.公式法： 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数， 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T 2
周期求法：

( 0)
函数y=Atan(ωx+φ) (A≠0, ω≠0)周期 为 T

练 习
周期为
(3) y 3sin , x R; (4) y cos(2 x ), x R; 4 3 1 (5) y 3 tan( x ), x R. 2 4 ) 2. 若函数 f ( x ) sin( kx 的最小正 5 2
1.求下列函数的最小正周期 1 x (1) f ( x ) sin(2 x ); (2) f ( x ) cos( ); 5 2 3 2 x
，求正数 的值。 3
k
• 3.图象法:
练习： P26 4
例3
定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 π f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈0，2 时，f(x)＝sin x，求 5π f 3 的值．
应用
例2.求下列函数的周期 (1) f ( x ) cos 2 x , 1 (2) f ( x ) 2 sin( x ), 2 6 (3) f ( x ) tan x , (4) y sin x .
(1)f ( x ) cos 2 x 解:设f ( x ) cos 2 x的周期为T . 则 f ( x T ) f ( x) 即 cos 2 x T cos 2 x cos 2 x 2T cos 2 x 令u 2 x，则 cos u 2T cos u 对任意实数u都成立， 又 y cos u的周期为2 ， 2T T 2 , 即T .
1 1 1 2sin x T 2sin x 6 2 6 2 2 1 1 令u x , 则 sin u T sin u 2 6 2 由y sin u周期为2 T 2 , 即T 4 . 2
一定是 y sin x 的周期
× （）
注意:在周期函数和周期定义中, 要特别注意“每一个x的值”.
问题1: 2π是不是正弦函数和余弦函 数的周期?
2π是正弦函数和余弦函数的周期.
问题2: 2kπ(k≠0且k∈Z) 是不是正弦 函数和余弦函数的周期? 2kπ(k≠0且k∈Z) 都是正弦函数 和余弦函数的周期.
解 ∵f(x)的最小正周期是 π，
∴f
5π 5π π ＝f －2π＝f － 3 3 3
∵f(x)是 R 上的偶函数，
∴f
π π － ＝f ＝sin 3 3
小结
5π π 3 3 ＝ 3＝ 2 .∴f 3 2 . 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，
函数 y=4cosx y=sin4x
周期 2π
2 1
2 4
2 1 3
π /2
6π
1 y 3 sin x 4 3
结论:
函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω, φ为常 数，且A≠0,ω ≠ 0)的周期为
T 2
∴函数 y＝f(x)是周期函数，且 2a 就是它的一个周期．
1 已知函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x＋2)＝ ， 若 fx 1 －5 f(1)＝－5，则 f(f(5))＝________. 1 解析 由已知 f(x＋4)＝ ＝f(x) fx＋2
∴f(x)是周期为 4 的函数 ∵f(5)＝f(1)＝－5，于是 f(f(5))＝f(－5)＝f(－1) 1 1 1 ＝ ＝ ＝－ . 5 f－1＋2 f1
结论:
函数y=Atan(ωx+φ),x∈R(其中 A,ω, φ为常数，且A≠0,ω ≠ 0)的周
期为T=π/|ω|
(4)f ( x ) sin x 解:(4)设 f ( x ) sin x 的周期为 T . f ( x T ) sin x T sin x f ( x ) 由诱导公式(四)sin x sin x T .
三 角 函 数 的 周 期 性
三角函数知多少 正弦函数作代表 三角函数讲周期 周期当中挑最小
世界上有许多事物都呈现“周而复始” 的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴 圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函 数领域里，周期性是函数的一个重要性质.
诱导公式 : 对任意的x R, sin(2 x) sin x, cos(2 x) cos x
应用解题
例1 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s) 之间的函数关系如图所示： (1)求该函数的周期; (2)求t=10s时钟摆的高度
h 50
60 55 50 45
40
35
30
25
20
10
20
15
10
5
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
t
解：(1)由图象可知，该函数的周期 为1.5s. (2)设h=f(t)， 由函数的周期为 1.5s,可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20, 故t=10s时钟摆的高度为20mm.
注意：
1.T必须是常数，且不为零
2.对周期函数来说f(x+T)=f(x)必须对定义域内的任意x都成立
判断下列说法是否正确 的周期
2 2 （1） x 时， sin( x ,则 ) sin x 一定不是 3 3 3
y sin x
√ （）
2 3
2 7 x （2） 时， sin( x 则 ) sin x , 3 6
问题
满足条件：f(x＋a)＝－f(x)
(a 为常数且 a≠0)的函数
y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是， 说明理由．
答
∵f(x＋a)＝－f(x)，
∴f(x＋2a)＝f [(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f (x)]＝f(x)． ∴f(x＋2a)＝f(x)．
∴函数 y＝f(x)是周期函数，且 2a 就是它的一个周期．
1、 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时， 都有f(x)＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期 函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2、周期函数的周期与函数的定义域有关，周 期函数不一定存在最小正周期. 3、函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数， 且A≠0,ω>0)的周期T=2π /ω .
等式f ( x T ) f ( x ),强调： 自变量x本身加的常数才是周期, 例如:f (2 x T ) f (2 x ), T 不是周期, 而应写成 T T f (2 x T ) f 2( x ) f (2 x ), 此时 才是 2 2 函数y f ( x )的周期.
若T为函数f(x)的周期,则kT(k≠0且 k∈Z) 都是函数f(x)的周期.
问题3: 一个周期函数的周期有多少个?
最小正周期
有无数个
对于一个周期函数f(x),如果在它所有 的周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
结论: 2π是正弦、余 弦函数的最小正周期.
说明:今后所说周期,如不作 特殊说明,均指最小正周期.
问题
1 满足条件：f(x＋a)＝－ (a 为常数且 a≠0)的函数 y fx
＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是， 说明理由．
答
1 ∵f(x＋a)＝－ ， fx
1 1 ∴f(x＋2a)＝f [(x＋a)＋a]＝－ ＝－ 1 ＝f(x)． fx＋a － fx ∴f(x＋2a)＝f(x)．
问题4: 是否每一个周期函数都有最 小正周期? 否
下面函数是周期函数吗？如果是周期 函数，你能找出最小正周期吗？
f ( x) 5
常数函数没有最小正周期
思考
y=sinx(x∈[0,4π])是周期函数吗？ y
x o 4π
在周期函数y f ( x )中, T 是周期, 若x是定 义域内的一个值, 则x kT k Z 也 一定属于定义域,因此周期函数的定义域一 定是无限集,而且定义域一定是无界的.
把自变量 x 的值转化到可求值区间内．
跟踪训练 f
5π － 6
π π 若 f(x)是以 为周期的奇函数，且 f 3 ＝1，求 2
的值．
解
f
5π 5π π π π － ＝f － ＋ ＝f － ＝－f ＝－1. 6 6 2 3 3
1 (2)f ( x ) 2sin x 6 2 1 解:设f ( x ) 2sin x 的周期为T . 6 2 f ( x T ) f ( x) 1 1 2sin ( x T ) 2sin x 6 6 2 2 1 1 1 2sin x T 2sin x 2 6 6 2 2

2
当ω tan x
解:设f ( x ) tan x的周期为T . f ( x T ) tan x T tan x f ( x ) 由诱导公式(四)知 tan x = tan x 函数f ( x )的周期为T .