含参数的一元二次不等式的解法(讲)
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复习回顾 如何求解一元二次不等式？
如：求不等式-3x2 +19x-6 0的解集
分析：3x2-19x+6 0
（3x-1)(x-6) 0
相对应方程（3x-1)(x-6)=0的根x1
=
1 3
,x2
=6
不等式的解集（1 ,6） 3
例1 解不等式x2 +(a-1)x-a>0(a>0)
含参数的不等式的解法
由由由由根根根根与与与与系系系系数数数数的的的的关关关关系系系系，，，，
得得得得
1111＋＋＋＋bbbb＝＝＝＝3a3a3a3a，，，， 1111××××bbbb＝＝＝＝2a2a2a2a... .
解解解解得得得得ababab＝＝＝＝＝＝ab12＝＝1212，.，.，. 12，.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上, 当c>2时,原不等式的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时,原不等式的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时,原不等式的解集为∅. 探究提高
D.－17
例题讲解
例3:解关于 x 的不等式: 2x2 kx k 0
分析:由于 x2 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号.
解：Q k 2 8k （１）当 k2 8k 0 即 8 k 0 时，原不等式解集为 （２）当 k2 8k 0 时得 k 0 或 k 8
∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2x2 0 解集为：x x 0
a2 16
2
成果验收
课堂练习：
若不等式（1-a)x2 4x 6 0的解集是{-3<x<1}, 求实数a的值.
相信我能行！
知能迁移1
已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}, (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解解解:::((((1111))))因因因因为为为为不不不不等等等等式式式式aaaxxax22x2－－－2－333xxx3＋＋＋x＋666>>>6444>的的的4 解解的解集集集解为为为集{{{为xxx|||xxx{<<<x111|x或或或<1xxx或>>>bbb}}}x，，，>b}，
解：∵ a2 16
∴ 当a4,4即 0时 原不等式解集为 R
，
当a
4即
0时,
原不等式解集为x
x
R且x
a 2
当a 4或a 4即 0时, ， 此时两根；分别为
；
x1 a
a 2 16 2
,
a a 2 16
x2
2
显然 x1 x2
∴原不等式的解集为：
x x a
a2 16 或x〈 a 2
∴(b)当 k 8时,原不等式即为 2x2 8x 8 0 解集为：x x 2
（３)当 k2 8k 0 即 k 0 或 k 8 时,
原不等式解集为
x k
k 2 8k x k 4
k 2 8k
4
综上所述， (1)当 k 8 时,不等式解集为
x
k
k 2 8k
k
x
考点 含参数的一元二次不等式
y
x1 O
x2 x
y x1 O x2 x
解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
例3 解关于 x 的不等式:
例1Байду номын сангаас
2x kx k 0 若不等式ax2＋bx＋2＞20的解集为 {x 1 x 1则}, a＋b
2
3
的值为( )
A.－14
B.－15
C.－16
解含参数的一元二次不等式的步骤：
（1）二次项系数为参数时，应讨论是等于 0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。
(2)因式分解，求出相对应方程的根， 不能确定根的大小时，应讨论方程两 根的大小关系，从而确定解集。
（2）判别式△>0,△=0,△<0 （3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小， x1>x2 ，x1=x2，x1<x2
解析：原不等式等价于（x 1)(x a) 0
相对应一元二次方程的两根 x1 1, x2 a
Q a>0a 0
-a
1
不等式的解集为（-，-a) (1,+)
(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化
为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结 合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的
层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的 符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类 ，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0) 参数划分标准： 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准：
（1）二次项系数a>0,a=0,a<0
例1
变式：解不等式x2 +(a-1)x-a 0(a R)
解析：原不等式等价于（x 1)(x a) 0
相对应一元二次方程的两根 x1 1, x2 a
-a
1 (-a)
-a
(1)-a<1（2）-a=1 (3)-a>1
例2 解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
二次项含有参数应如何求解？
所b所b所b所b>>>>以以11以以11且且且且xxxx111＝a1＝a＝a＝a>>>>11001010...与与与.与xxx22x2＝＝＝2＝bbbb是是是是方方方方程程程程aaaxxx22a2－－－x233－3xxx＋＋＋3x222＋＝＝＝2000＝的的的0两两两的个个个两实实实个数数数实根根根数，，，根
4
k 2 8k
4
(2)当 k 8 时,不等式解集为 x x 2
(3)当 8 k 0 时,不等式解集为
(4)当 k 0 时,不等式解集为 x x 0
(5)当 k 0 时,不等式解集为
x
k
k 2 8k x k 4
k 2 8k
4
例题讲解
例4：解不等式 x2 ax 4 0
如：求不等式-3x2 +19x-6 0的解集
分析：3x2-19x+6 0
（3x-1)(x-6) 0
相对应方程（3x-1)(x-6)=0的根x1
=
1 3
,x2
=6
不等式的解集（1 ,6） 3
例1 解不等式x2 +(a-1)x-a>0(a>0)
含参数的不等式的解法
由由由由根根根根与与与与系系系系数数数数的的的的关关关关系系系系，，，，
得得得得
1111＋＋＋＋bbbb＝＝＝＝3a3a3a3a，，，， 1111××××bbbb＝＝＝＝2a2a2a2a... .
解解解解得得得得ababab＝＝＝＝＝＝ab12＝＝1212，.，.，. 12，.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上, 当c>2时,原不等式的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时,原不等式的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时,原不等式的解集为∅. 探究提高
D.－17
例题讲解
例3:解关于 x 的不等式: 2x2 kx k 0
分析:由于 x2 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号.
解：Q k 2 8k （１）当 k2 8k 0 即 8 k 0 时，原不等式解集为 （２）当 k2 8k 0 时得 k 0 或 k 8
∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2x2 0 解集为：x x 0
a2 16
2
成果验收
课堂练习：
若不等式（1-a)x2 4x 6 0的解集是{-3<x<1}, 求实数a的值.
相信我能行！
知能迁移1
已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}, (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解解解:::((((1111))))因因因因为为为为不不不不等等等等式式式式aaaxxax22x2－－－2－333xxx3＋＋＋x＋666>>>6444>的的的4 解解的解集集集解为为为集{{{为xxx|||xxx{<<<x111|x或或或<1xxx或>>>bbb}}}x，，，>b}，
解：∵ a2 16
∴ 当a4,4即 0时 原不等式解集为 R
，
当a
4即
0时,
原不等式解集为x
x
R且x
a 2
当a 4或a 4即 0时, ， 此时两根；分别为
；
x1 a
a 2 16 2
,
a a 2 16
x2
2
显然 x1 x2
∴原不等式的解集为：
x x a
a2 16 或x〈 a 2
∴(b)当 k 8时,原不等式即为 2x2 8x 8 0 解集为：x x 2
（３)当 k2 8k 0 即 k 0 或 k 8 时,
原不等式解集为
x k
k 2 8k x k 4
k 2 8k
4
综上所述， (1)当 k 8 时,不等式解集为
x
k
k 2 8k
k
x
考点 含参数的一元二次不等式
y
x1 O
x2 x
y x1 O x2 x
解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
例3 解关于 x 的不等式:
例1Байду номын сангаас
2x kx k 0 若不等式ax2＋bx＋2＞20的解集为 {x 1 x 1则}, a＋b
2
3
的值为( )
A.－14
B.－15
C.－16
解含参数的一元二次不等式的步骤：
（1）二次项系数为参数时，应讨论是等于 0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。
(2)因式分解，求出相对应方程的根， 不能确定根的大小时，应讨论方程两 根的大小关系，从而确定解集。
（2）判别式△>0,△=0,△<0 （3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小， x1>x2 ，x1=x2，x1<x2
解析：原不等式等价于（x 1)(x a) 0
相对应一元二次方程的两根 x1 1, x2 a
Q a>0a 0
-a
1
不等式的解集为（-，-a) (1,+)
(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化
为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结 合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的
层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的 符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类 ，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0) 参数划分标准： 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准：
（1）二次项系数a>0,a=0,a<0
例1
变式：解不等式x2 +(a-1)x-a 0(a R)
解析：原不等式等价于（x 1)(x a) 0
相对应一元二次方程的两根 x1 1, x2 a
-a
1 (-a)
-a
(1)-a<1（2）-a=1 (3)-a>1
例2 解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
二次项含有参数应如何求解？
所b所b所b所b>>>>以以11以以11且且且且xxxx111＝a1＝a＝a＝a>>>>11001010...与与与.与xxx22x2＝＝＝2＝bbbb是是是是方方方方程程程程aaaxxx22a2－－－x233－3xxx＋＋＋3x222＋＝＝＝2000＝的的的0两两两的个个个两实实实个数数数实根根根数，，，根
4
k 2 8k
4
(2)当 k 8 时,不等式解集为 x x 2
(3)当 8 k 0 时,不等式解集为
(4)当 k 0 时,不等式解集为 x x 0
(5)当 k 0 时,不等式解集为
x
k
k 2 8k x k 4
k 2 8k
4
例题讲解
例4：解不等式 x2 ax 4 0