含参数的一元二次不等式的解法(讲)
一元二次不等式及其解法(含参数)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
例3解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例4解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。
本题 只需讨论两根的大小即可。
考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0. 【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．。
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
一元二次不等式的解法(含参不等式 恒成立问题及根的分布)
②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
③当a<2时，则a的值不存在；
综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.
A
5
题型与解法
（二）不等式的恒成立
a x2b xc0 恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下，但必须注意前后的等价； 2.一元二次方程根的分布问题； 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a
x1
x2
A
25
课后作业
1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题； 2.课时作业.
A
26
本节课到此结束，请同学们 课后再做好复习。谢谢！
(C) 4ax3a (D) 3ax4a
A
23
课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b= -14 (a=-12,b=. -2)
（2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是 {x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式 ax2-bx+c＜0的解集为 {x|-1/2<x<2} .
A
11
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： (3)两根都小于1;
解： (3) ∵两根都小于1,
0
m
2
含参数的一元二次不等式的求解方法解析
含参数的一元二次不等式的求解方法解析冯婷含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点，本文总结了含参数的一元二次不等式的几种常见题型及其常见解法。
含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类讨论从而加以求解。
一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：（1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，当特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解；（2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分0,0,0∆>∆=∆<三种情况加以讨论；（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根12,x x 表示的形如12()()a x x x x --的形式时，往往需要对其根分121212,,x x x x x x >=<三种情况进行讨论，或用韦达定理帮助求解。
一、对根的情况及判别式分类讨论例1 解关于x 的不等式220x kx k +-≤。
解：28(8)k k k k ∆=+=+① 当0∆>即08k k ><-或时，方程220x kx k +-=有两个不相等的实数根，则该不等式的解集为x x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭。
② 当0∆=即08k k ==-或时，方程220x kx k +-=有两个相等的实数根，则该不等式的解集为{}|0,2x x x ==或。
③ 当0∆<即80k -<<时，方程220x kx k +-=无实数根，则该不等式的解集为∅。
注：本题由于方程220x kx k +-=根的情况不确定，则需要对其判别式进行分类讨论。
例2 解关于x 的不等式022)3(2>-+++m mx x m 。
解：① 当03=+m 即3-=m 时，上述不等式可化简为650x -->，此时不等式的解集为5|6x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
一元二次不等式的解法(含参不等式)
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)
0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx
bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1
66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.
含参数的一元二次不等式的解法
小结：
1.含参数的一元二次不等式解法，通常情况 下均分类讨论，分类主要依据因素： （1）二次项系数; （2）△; (3)两根大小。 2.分类讨论思想，数形结合思想，转化化归 思想。
作业：
P87，B组1、2.
谢谢光临指导
例2.
解关于x的不等式 解关于 的不等式. 的不等式 x2- (2m+1)x+m2+m<0.
解：方程x2- (2m+1)x+m2+m=0解集为 x1=m,x2=m+1,且m<m+1. 二次函数y= x2- (2m+1)x+m2+m的图 像开口向上，且与x轴有两个交点。 所以，不等式x2- (2m+1)x+m2+m<0 的解集为｛x ︱m<x<m+1｝
例4：解关于x的不等式： x2+(1-a)x-a<0
解：方程x2+(1-a)x-a<0的解为x1=1,x2=a. (1)当a<-1时，原不等式的解集为(a,-1); (2)当a=-1时，原不等式的解集为￠; (3)当a>-1时，原不等式的解集为(-1,a).
课堂练习:
1.P81中1、2、4. 2.若不等式ax2+5x+b>0的解为｛x︱ 1/3<x<1/2｝,则 a,b的值分别是——。 a=-6 b=-1
x∈ R
Φ
ax2 +bx+c < 0(a > 0)
的解集
{x / x1 < x < xB分别是不等式3x2+6≤19x与不等式2x2+3x+5>0解集。试求A∩B,A∪B. 解：由3x2+6≤19x，得3x2-19x+6≤0. 方程3x2-19x+6=0的解为 x1=1/3,x2=6. 函数y=3x2-19x+6的图像开口向上且与x轴有两个 交点(1/3,0)和(6,0)。 所以原不等式的解集为A=｛x︱1/3≤x≤6｝。 同理可得，不等式B的解集为A=｛x︱ - 1<x＜ 5/2｝ 所以A∩B= ｛x︱1/3≤x<5/2｝, A∪B= ｛x︱-1＜ x≤6｝
含参数的一元二次不等式的解法课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 一元二次不等式的概念和性质 • 含参数的一元二次不等式 • 含参数一元二次不等式的解法实例 • 课程总结与展望
01 引言
课程背景
01
一元二次不等式是中学数学的重要内容，也是高等 数学的基础。
02
含参数的一元二次不等式在解决实际问题中具有广 泛的应用。
解集为$1 < x < a$。当$a < 1$时，解集为 $a < x < 1$。
实例三：求解含参数的一元二次不等式
要点一
题目
要点二
解答
求解不等式$x^2 + (a - 3)x + a > 0$
首先，将不等式化为标准形式。然后，对参数$a$进行分 类讨论。当$a = 1$时，不等式变为$(x + 2)^2 > 0$，解 集为全体实数除了$-2$。当$a < 1$时，利用因式分解法 $(x + a)(x + 2) > 0$，解集为全体实数除了$-a$和$-2$。 当$a > 1$时，解集为全体实数。
它包含一个未知数 x 的最高次数为2的不等式。
一元二次不等式的解法
01
解一元二次不等式的基本步骤是：首先求出不等式的根， 然后根据不等式的符号确定解集。
02
对于形如 ax^2 + bx + c > 0 的不等式，如果 a > 0，则解集为 两根之外的所有实数；如果 a < 0，则解集为两根之间的所有实数
两个实根。最后，根据二次函数的性质，判断不等式的解集为两根之间的区间。
实例二：求解含参数的一元二次不等式
含参的一元二次不等式的解法
含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。
下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。
一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。
首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。
在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。
然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。
根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。
所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。
二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。
根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。
专题29 含参 “一元二次不等式”的解法
【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； 第三步 得出结论.例1 解关于的不等式：2(1)10(0)ax a x a ---<<. 【答案】详见解析.考点：解含参的一元二次不等式【点评】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为0<a ，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为1()(1)0x x a +->，第二步，ax 11-=，12=x ，讨论两根的大小关系，从而写出解集的形式．【变式演练1】解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）.【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a；1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a.若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a【解析】若1=a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ； 若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a； 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练2】已知0a <，解关于x 的不等式2(2)20ax a x ---<． 【答案】当2a <-时，2{x | x x 1}a＜-或＞；当2a =-时，{}1x x ≠；当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞-．【解析】试题分析：先将一元二次不等式用十字相乘法分解因式，可得方程等于0的两根．注意讨论两根的大小，再根据函数图象开口向下，可解得不等式． 试题解析：原式可化为：(2)(1)0ax x +-<方程(2)(1)0ax x +-<的两根为：122,1x x a-== 当2a <-时，∵21a >-，∴其解集为2{x | x x 1}a＜-或＞．当2a =-时，∵21a -=，且原不等式可化为2(1)0x ->，其解集为1x ≠ 当20a -<<时，∵21a ->，∴其解集为2{x |x 1x }a＜或＞-综上所述：当2a <-时，2{x | x x 1}a＜-或＞当2a =-时，{}1x x ≠当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞- 考点：一元二次不等式．【变式演练3】已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数的不等式()0f x ≤的解集为[]1,n -．（1）当0a >时，解关于的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++；（2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于的函数1()3x x y f a a +=-（[]1,2x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当01a <≤时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当1a >时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或．（2）512a -= 【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：2230mx x --=的两根为1-和，且0m >，从而21,3(1),n mn m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得1,3.m n =⎧⎨=⎩，再化简不等式，因式分解：(2)(2)0x ax -->，最后根据两根2与2a大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简函数，为一元二次函数12()3(32)3xx x x y f a aa a a +=-=-+-2(32)3t a t =-+-，其中2a t a ≤≤，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为322a a +<，所以当t a =时，y 取最小值。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法基础知识：1.一元二次不等式的形式：02>++c bx ax 与02<++c bx ax （a≠0） 2. 只考虑0>a 的情形。
当a ＜0时，将不等式两边乘－1就化成 了“a＞0”。
3.一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系：从函数的观点来考虑。
设二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L ，则不等式ax 2+bx+c ＞0，ax 2+bx+c ＜0的解集分别是抛物线L 在x 轴上方，在x 轴下方的点的横坐标x 的集合；二次方程ax 2+bx+c=0的根就是抛物线L 与x 轴的公共点并灵活地应用它。
它是函数与方程思想的应用范例。
应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。
5.一元二次不等式的解法步骤。
1）化为一般式ax 2+bx+c ＞0 (a ＞0)或ax 2+bx+c ＜0 (a ＞0)。
这步可简记为“使a ＞0”。
2）.计算△=b 2－4ac ，判别与求根：解对应的二次方程ax 2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。
3）.写出解集：用区间或用大括号表示解集。
注意：1.解题策略：使a 值为正，求得两根，“＞”则两根之外；“＜”则两根之内。
2.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。
二次不等式的解集求法可用数轴标根。
二、关于含参数（单参）的一元二次不等式的解法（一）．二次项系数为常数1.解关于x 的不等式：x 2－(m ＋2)x ＋2m ＜0。
2.解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （二）．二次项系数含参数3. 解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0。
4.解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax5.解关于x 的不等式：.012<-+ax ax练习 解不等式：mx 2-2x+1＞0.三．正反思维：已知一元二次不等式解集，求参数问题思考1：能否写出一个解集为(－2，1)的一元二次不等式？这样的不等式有几个？ 思考2：若不等式2x 2－ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，求a 、b 值。
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由由由由根根根根与与与与系系系系数数数数的的的的关关关关系系系系，，，，
得得得得
1111＋＋＋＋bbbb＝＝＝＝3a3a3a3a，，，， 1111××××bbbb＝＝＝＝2a2a2a2a... .
解解解解得得得得ababab＝＝＝＝＝＝ab12＝＝1212，.，.，. 12，.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上, 当c>2时,原不等式的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时,原不等式的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时,原不等式的解集为∅. 探究提高
对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0) 参数划分标准： 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准：
（1）二次项系数a>0,a=0,a<0
4
k 2 8k
4
(2)当 k 8 时,不等式解集为 x x 2
(3)当 8 k 0 时,不等式解集为
(4)当 k 0 时,不等式解集为 x x 0
(5)当 k 0 时,不等式解集为
x
k
k 2 8k x k 4
k 2 8k
4
例题讲解
例4：解不等式 x2 ax 4 0
考点 含参数的一元二次不等式
y
x1 O
x2 x
y x1 O x2 x
解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
例3 解关于 x 的不等式:
例1
2x kx k 0 若不等式ax2＋bx＋2＞20的解集为 {x 1 x 1则}, a＋b
2
3
的值为( )
A.－14
B.－15
C.－16
解：∵ a2 16
∴ 当a4,4即 0时 原不等式解集为 R
，
当a
4即
0时,
原不等式解集为x
x
R且x
a 2
当a 4或a 4即 0时, ， 此时两根；分别为
；
x1 a
a 2 16 2
,
a a 2 16
x2
2
显然 x1 x2
∴原不等式的解集为：
x x a
a2 16 或x〈 a 2
复习回顾 如何求解一元二次不等式？
如：求不等式-3x2 +19x-6 0的解集
分析：3x2-19x+6 0
（3x-1)(x-6) 0
相对应方程（3x-1)(x-6)=0的根x1
=
1 3
,x2
=6
不等式的解集（1 ,6） 3
例1 解不等式x2 +(a-1)x-a>0(a>0)
含参数的不等式的解法
（2）判别式△>0,△=0,△<0 （3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小， x1>x2 ，x1=x2，x1<x2
解析：原不等式等价于（x 1)(x a) 0
相对应一元二次方程的两根 x1 1, x2 a
Q a>0a 0
-a
1
不等式的解集为（-，-a) (1,+)
所b所b所b所b>>>>以以11以以11且且且且xxxx111＝a1＝a＝a＝a>>>>11001010...与与与.与xxx22x2＝＝＝2＝bbbb是是是是方方方方程程程程aaaxxx22a2－－－x233－3xxx＋＋＋3x222＋＝＝＝2000＝的的的0两两两的个个个两实实实个数数数实根根根数，，，根
例1
变式：解不等式x2 +(a-1)x-a 0(a R)
解析：原不等式等价于（x 1)(x a) 0
相对应一元二次方程的两根 x1 1, x2 a
-a
1 (-a)
-a
(1)-a<1（2）-a=1 (3)-a>1
例2 解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
二次项含有参数应如何求解？
D.－17
例题讲解
例3:解关于 x 的不等式: 2x2 kx k 0
分析:由于 x2 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号.
解：Q k 2 8k （１）当 k2 8k 0 即 8 k 0 时，原不等式解集为 （２）当 k2 8k 0 时得 k 0 或 k 8
∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2x2 0 解集为：x x 0
(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化
为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结 合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的
层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的 符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类 ，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
解含参数的一元二次不等式的步骤：
（1）二次项系数为参数时，应讨论是等于 0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。
(2)因式分解，求出相对应方程的根， 不能确定根的大小时，应讨论方程两 根的大小关系，从而确定解集。
a2 16
2
成果验收
课堂练习：
若不等式（1-a)x2 4x 6 0的解集是{-3<x<1}, 求实数a的值.
相信我能行！
知能迁移1
已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}, (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解解解:::((((1111))))因因因因为为为为不不不不等等等等式式式式aaaxxax22x2－－－2－333xxx3＋＋＋x＋666>>>6444>的的的4 解解的解集集集解为为为集{{{为xxx|||xxx{<<<x111|x或或或<1xxx或>>>bbb}}}x，，，>b}，
∴(b)当 k 8时,原不等式即为 2x2 8x 8 0 解集为：x x 2
（３)当 k2 8k 0 即 k 0 或 k 8 时,
原不等式解集为
x k
k 2 8k x k 4
k 2 8k
4
综上所述， (1)当 k 8 时,不等式解集为 Nhomakorabeax
k
k 2 8k
k
x