矩阵理论课程报告

“矩阵论”课程研究报告

XXX 目：科矩阵理论及其应用教师：

XXX 学号：20140802XXX 姓名：

类别：学术专业：仪器科学与技

术

2014 年9月至2014年12月上课时间：

成绩：考生

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矩阵范数的应用

摘要：矩阵是工程程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，凡是用到矩阵的地方，基本上都要涉及矩阵范数。是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。在工程实际中应用很广，本文先对矩阵范数知识做一个梳理，然后结合应用实际介绍了矩阵范

数的具体应用。：关键字矩阵范数，基本知识，相关应用

一、引言用矩阵的理论与方法来处理现在工程技术中的各种问题已越来越普

遍。在工程技术中引进矩阵理论不仅是理论表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，例如系统工程，优化方法，稳定性理论等，无不与矩阵理论发生紧密的结合。在工程及计算范数中，特别是数值代数中，研究数值方法的收敛性稳定性及误差分析等问题，范数理论显的十分重要。矩阵理论是数学的一个重要分支，在多种工程学科中都有极其重要的应用。特别是对线性控制系统深入研究的需要推动了矩阵理论的发展，使矩阵理论的内容更加丰富多彩。矩阵范数在网络理论、数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了矩阵范数的研究，使得这

一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。

二、预备知识

2.1 矩阵范数的定义维向量，因此可以按定义向×n由于一个n×n矩阵可

以看成是一个拉直了的n，矩阵量范数的方法来定义矩阵范数，但矩阵之间还有乘法运算，因此，对于n×nA 定义范数如下：n n?n n?CC,，的实值函数，极为上定义一个B设A、A,按某一法则在AC c??个条件4它满足以下>0 如果A，则0非负性 1. A?，则如果齐次性 2. A=0=0;

A．

三角不等式 3. BA?B?A? 4. 相容性BAB?A为矩阵范数或乘积范数。则称A n n?对于条的时）中的矩阵A(mn，只要第4有意义就行。要求

AB C?BAAB?矩阵范数的几个常见性质2.2

n?n?和矩阵对于给定的向量范数，如果任意向量及任意n阶方阵A性质1：C?满足不等式范数A??A?A?和向量范数相容。则称矩阵范数A n?n n?n2性质：设A皆为酉矩阵，则, P,Q,P,Q CC??

AQAPA??FFF n级实方阵时，Q都是正交矩阵）P、(在A是几种常见矩阵范数2.3

?A来说，A根据向量范数是其分量的连续函数这个性质，则对于每个矩阵???，使0，的最大值都是可以达到的。即是说，总可以找到这样的向量1??00??于是定义,A?max A0?A?max A n n?n T??????C?C的三种范数：相关

定理 1设A=(,,则从属于向量),......，?n12???的矩阵算子范数分别为，，?12n? max 1.=A a ij1j1i?T???A为2.的最大特征值AA112n?max 3.a?A ij?i1j?n n n?CC

上存在与之相容的向量范相关定理,A必在：2对任意的方阵范数,A?

n T?????。数0?C,???,?诱导范数2.4

把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数 0} ，║：║x ║=1}= max{║Ax║/║x║： x≠║║A = max{║Ax 它自动满足对向量范数的相容性

║，║║Ax║≤ A║║x 并且可以由此证明

B║。║AB║≤║A║║注：

是因为有限维空间的单位闭球是紧的（有max代替sup⒈上述定义中可以用

限开覆盖定理），从而上面的连续函数可以取到最值。。⒉显然，单位矩阵的算子范数为1 常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是（列和范数，| } |A ║= max{ ∑|a|，∑|a，……，∑|a1-范数：║ini112i∑和元|a|第一列素绝对值的之A每一列元素绝对值和的最大值其中∑1i |a|=|a|+|a|+...+|a|，其余类似）；

22111i1n（谱范λ2-范数：║A║i(A^H*A) }) ^{1/2} = (max{ = A的最大奇异值2；λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵）数，即A^H*A特征值λi 中最大者每一A|a|,...，∑|a| } （行和范数，|∞-范数：║A║= max{ ∑|a，

∑?mj1j2j |a| 第一行元素绝对值的和，其余类似）；行元素绝对值之和的最大值）其中为∑j1p=p-其它的p-范数则没有很简单的表达式。对于范数而言，可以证明║A║

，║=║A^H║A║A^H║q，其中p和q是共轭指标。简单的情形可以直接验证║?1║y║q=1}一般情形则需要利用║A║p=max{y^H*A*x：║x║p=。║║A║=║A^H，22 2.5 非诱导范数范数（也叫有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius全部元(A）^1/2 AE-范数）：║║= （∑∑ ^2Euclid范

数，简称F-范数或者a Fij。素平方和的平方根）范数不能由向量范数诱导时F-容易验证F-范数是相容的，但当min{m,n}>1 （||E11+E22||F=2>1）。║，X可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义║x║=║ x]是由x作为列的矩阵。 X=[x,x其中，…，范数相容。另外还2-范数和向量的范数，所以F-2-由于向量的F-范数就是AB║║≤║A║BAB ║有以下结论：

║ <= A║B║以及║║FFF22F矩阵的谱半径和范数2.6

λi是其特征值，i=1,2，…，n阶方阵，定义：A是n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为ρ（A）。注意要将谱半径与谱范数（2-范数）区别开来，最大特征值的算术平方根。A^H*A的最大奇异值，即A谱范数是指．

谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论：定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ（A）≤║A║。因为任一特征对λ，x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。

定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║<ρ（A)+e。定理3(Gelfand定理）：ρ（A)=lim_{k->；∞} ║A^k║^{1/k}。利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：

推论1：矩阵序列 I,A,A^2，…A^k，…收敛于零的充要条件是ρ（A)<1。

三、矩阵范数在工程实际的运用

3.1 一种基于矩阵范数的零水印算法介绍

3.1.1 研究背景

随着数字技术和Internet的发展与普及，数字化产品(图片，音频，视频等)越来越丰富；同时，数字信息的复制也变得越来越简单，使得多媒体信息被非法拷贝与篡改的问题变得越来越突出，数字化产品的版权保护成为一个迫切需要解决的问题．数字水印技术作为实现版权保护的一个有效办法，成为了多媒体信息安全领域研究的热点。

一般的，根据数字水印算法的工作域不同，可将其分为空间域方法和变换域方法．空间域方法的主要缺点是稳健性比较差，水印容易丢失．因此，目前的研究主要集中于变换域水印方法，其中，常采用的变换有DCT变换、小波变换、奇异值分解等．根据检测水印时是否需要原始图像，可将数字水印技术分为私有水印技术、半私有水印技术和公开水印技术．检测水印时需要原始图像的称为私有水印技术，检测水印时不需要原始图像但需要所嵌入水印的个拷贝的则称为半私有水印技术．目前大多数的水印技术都属于这两种类型．检测水印时既不需要原始图像也不需要原始水印的则称为公开水印技术．这种水印技术最为实用，特别是在网络和数字图书馆的版权证明、自动验证和信息监控等方面起着重要的作用．现有的基于奇异值分解的水印算法都需要花费大量的计算，因为它们不仅仅要计算出各图像子块矩阵的所有奇异值，而且还需要计算出所有相应的奇异向量，尽管水印的嵌入只与最大奇异值或者所有奇异值相关．在分析和讨论了基于奇异值分解和量化的水印算法的本质后，提出一种全新的基于矩阵范数的数字水印算略，步骤法，无需利用奇异值分解．本算法基于图像子块的矩阵范数及其量化策非常简单，很容易实现，重要的是，与基于奇异值分解的水印算法相比大大减小了计算量．利用三种不同的矩阵范数进行的数值实验结果表明，本算法具有很好