决策理论(线性规划与目标规划-)PPT课件

2020/3/3
4X1=16
4X2=12
Q2 (4,2)
Q1 4
Z=2x1+3x2
从图解法中直观地见到 ，当线性规划问题的可 行性域非空时，它是有 界或无界凸多边形。若 线性规划问题存在最优 解，它一定在有界可行 域的某个顶点得到；若 在两个顶点同时得到最 优解，则它们连线上的 任意一点都是最优解， 即有无穷多最优解。
那么：目标函数 ： max z= 2x1+3x2
满足约束条件： x1+2x2 ≤ 8
0
4x1
≤16
x1,x2 ≥
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4x ≤12
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二、线性规划问题及其数学模型
从上例中我们可以看出如下特征：
（1）每个问题都用一组决策变量（x1,x2,x3,···xn）表示某 一方案，这组决策变量的值就表示一个具体方案。一般这 些变量取值是非负且连续的。
（2）存在相关数据，同决策变量构成互不矛盾的约束条 件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表 示。
（3）都有一个要求达到的目标，它可以用决策变量及其 有关的价值系数构成的线性函数（称为目标函数）来表示。 按照问题的不同，要求的目标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。 其一般形式如下：
x1
简单地说，这也算线性 规划的几何意义。
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三、单纯形法
3.1 单纯形概念
单纯形是美国数学家G.B.丹捷格（乔治·丹捷格被认为是线 性规划之父）于1947年首先提出来的。
它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间 Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点 处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。
查恩斯（A.Charnes）与库伯（W.W.Cooper）继丹捷 格之后，于1961年提出了目标规划，艾吉利（Y.Ijiri）提 出用优先因子来处理多目标问题，使目标规划得以发展。 近十多年来，斯 姆 李（S.M.Lee）与杰斯凯莱尼 （V.Jaaskelainen）应用计算机处理目标规划问题，使 目标规划在实际应用方面比线性规划更为广泛，更为管 理者所重视。
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本 原理
x2
3 Q4 2
X1+2X2=8 Q3
4X1=16
4X2=12
Q2 (4,2)
1 0
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Q1 4
Z=2x1+3x2
x1
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二、线性规划问题及其数学模型
2.2 图解法
上例中求解得到的问题的最优解是唯一的，但对一般线 性规划问题，求解结果还可能出现以下几种情况：
自1947年丹捷格提出了一般线性规划问题求解的方法— —单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实用 中日益广泛和深入。特别是在电子计算机能处理成千上 万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规 划的适用领域更为广泛了。
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一、线性规划概述
从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交 通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发 挥作用。它已经成为现代科学管理的重要手段之一。
线性规划与目标规划
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目录
一. 线性规划概述 二. 线性规划问题及其数学模型 三.单纯形法 四.对线性规划的评价
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一、线性规划概述
线性规划是运筹学的一个重要分支。
线性规划是由丹捷格（G.B.Dantzig）在1947年发表的 成果。所解决的问题是美国制定空军军事规划时提出的， 并提出求解线性规划问题的单纯形法。而早在1939年前 苏联的学者康托洛维奇在解决工业生产组织和计划问题 时，已提出了类似线性规划的模型，并给出了“解乘数 法”的求解方法，遗憾的是当时，并没有得到领导重视。
(2-3)
am1x1+am2x2+···+amnxn≤(=, ≥)bm
x1, x2, ···, xn
≥0
在线性规划的数学模型中，式(2-1)称为目标函数，cj为价值 系20数20/3；/3 式(2-2)、式(2-3) 称为约束条件；aij称为技术系数，8
二、线性规划问题及其数学模型
2.2 图解法
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三、单纯形法
3.2 单纯形法求解线性规划的思路：
一般的线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数， 这是有不定的解。
但可以从线性方程组中找到一个个的单纯形，每个单纯形可以 求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小 ， 决定下一步选择的单纯形。
1）无穷多最优解（多重最优解）
2）无界解
3）无可行解
当求解结果出现2）、3）情况时，一般说明线性规划问题 的数学模型由错误。前者缺乏必要的约束条件，后者是有 矛盾的约束条件，建模时应注意。
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二、线性规划问题及其数学模型
2.2 图解法
x2
X1+2X2=8
3 Q4
Q3
2
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0
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二、线性规划问题及其数学模型
一般形式：
目标函数： max(min) z = c1x1+c2x2+···+cnxn (2-1)
满足约束条件： a11x1+a12x2+···+a1nxn≤(=, ≥)b1 a21x1+a22x2+···+a2nxn≤(=, ≥)b2 ···
(2-2)
甲
乙
设备
1
原材料A
4
原材料B
0
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2
8台时
0
16kg
4
12kg
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二、线性规划问题及其数学模型
甲
乙
设备
1
2
8台时
原材料A
4
0
16kg
原材料B
0
4
12kg
该工厂每生产一件产品甲可获利2元，每生产一件产品乙 可以获利3元，问如何安排计划使该工厂获利最多？
设x1、 x2 分别表示在计划期内产品甲、乙的产量
单纯形是指0维中的点，一维中的线段，二维中的三角形，三 维中的四面体，n维空间中的有n+1个顶点的多面体。
例如在三维空间中的四面体，其顶点分别为（0,0,0）， （1,0,0），（0,1,0），（0,0,1）。具体单位截距的单纯形的 方程是∑xi≤1，并且xi≥0，i=1，2，···，m。
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二、线性规划问题及其数学模型
2.1 问题的提出及模型建立
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合 理利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到更好 的经济效果。
例：某工厂在计划内要安排生产甲，乙两种产品，已知 成产单位产品所需的设备台时及A,B两种原材料的消耗， 如下表：