热力学统计物理玻耳兹曼统计

义
粒子处在该
能级的几率
有效状 态数
al
N Z1
l
e
l
al
el l
N
Z1
el l el l
玻耳兹
曼因子 粒子总是优先占据较低能级；温度升高，占 据该能级的几率增大。
Z1——有效状态和 一个粒子所有可能达到的有效状态的总和。
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f e s
l 能量为εl的一个量子态s上的平均粒子数
p
3.粒子配分函数的经典表达式
处元于内能层的l 粒l内子，数运为动：状态处于相体积
al
l
h0r
fs
l h0r
e l
N Z1
l
h0r
el
l x
Z1
l
el l
h0r
al
N Z1
l
h0r
el
取 l 足够小，求和可化为积分：
Z1
el d
h0r
e ( p,q) dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr h0r
l l
FD l l! BE
l
l
l
e l
ln
l l
l
对于满足非兼并条件的处
于平衡态（最可几分布） lnFD lnBE l ln l lnl !
的非定域（玻色、费米） 系统，通过对所对应的系 统微观状态数目取对数， 得到了微观状态数目的对 数ln与系统包含的粒子数
l
l
l ln l l ln l 1
玻尔兹曼、玻色、费米系统之间的关系
玻色粒子，玻色分布
＝
e＋
1
非兼并条件
e》1 l l
费密粒子，费密分布
＝e＋ 1
注意：全同性带 来的微观状态
数目的差异
BE＝NM！B
可分辨粒子，玻尔兹曼分布
＝ e－－
e
注意：全同性带 来的微观状态
数目的差异
FD＝NM！B
全同性对微观状态数目的影响：粒子之间的交换能否引起系统微观状态的改变！
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二、热力学量
1. 内能
U
e l ll
l0
e (
l0
l e l )
2. 功
N ( Z1 ) N ln Z1
Z1
dU dW dQ
l
统计表达式 能级不变
al ' 分布变
l
1
al
0
1
l'
0
U al l l0
1'
0'
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它的混乱度就愈大，熵也愈大。在理想的绝对零度下，系统 处于基态，状态数很小，所以熵近似为0或者等于0。
S ' k(N ln N N) Nk ln e N
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SFD k ln FD SBE k ln BE
在非兼并条件下，对于非定域的玻 色和费米系统，粒子虽然不可以分 辨，但是近似服从玻尔兹曼分布 （最可几分布），它们的微观状态 数目为右式。而且满足最可几分布 的限制条件：
y等式Biblioteka 边同乘β：(dU Ydy ) Nd( ln Z1 ) N ln Z1 dy
y
而
Z1
e l l
且
l0
fl
l
y
所以
Z1 Z1( , y)
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求全微分
d
ln
Z1
ln Z1
d
ln Z1 y
dy
之前求得
(dU Ydy ) Nd( ln Z1 ) N ln Z1 dy
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§7.1 热力学量的统计表达式
一、粒子配分函数
al
e l l
1、确定α、β
aall
e
e e l
ll
l
NN
ll
ll
粒子
al
N Z1
l
e
l
Z1
el l
配分 函数
l
1
kT
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e N Z1
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2、粒子配分函数的物理意
e ( 1
y l
l e l )
N1
Z1 y Z1
N 1 ln Z1
y
功
p N ln Z1
V
广义力统计表达式
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Ydy dy
l
l
y
a
l
aldl
l
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3. 熵
由
dQ dU Ydy dS
T
T
得 dQ dU Ydy
Nd ( ln Z1 ) N 1 ln Z1 dy
y
d(N
ln
Z1
N
ln Z1
)
由
dQ dU Ydy dS
T
T
得到
dS
N
T
d (ln
Z1
ln Z1 )
Nkd (ln
Z1
ln Z1 )
其中令 1
kT
熵
S
Nk
ln
Z
ln Z
S'
S是积分常数，熵常数
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三. 熵S的统计意义：
经过一系列推导，我们得 到了服从玻耳兹曼分布的 系统的熵S与粒子数N、温 度T、内能U之间的关系。 其中，熵常数S待定。
（N！）
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现在，我们已经知道：
1、微观粒子运动状态的描述 2、可能状态数目（态密度）的计算方法 3、系统微观状态数目的计算 4、处于平衡态的系统的分布公式等
Therefore,
We are ready to go!
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后面的任务：
近独立粒子系统的宏观性质的计算： 一、玻尔兹曼统计 二、玻色统计 三、费米统计
l
l
l
l
ln
l l
l
l
l
l
ln
l l
N
N、、内能U之间的关系 l l N N U N
式。
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这样，熵就有了它的统计意义：它是系统的微观状 态数目的对数乘以k。同时熵也有了一个绝对的数值。
S k ln
玻耳兹曼关系式
熵是混乱度的量度。如果某个宏观状态的微光状态数目愈多，
al 能级变 分布不变
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dU al d l l dal
l0
l0
能级变
能级不变
分布不变 分布变
能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。
力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。
改变边界，即做功。
每个粒子受力：fl
l
y
外界对系
统的力
Y
l
l
y
al
l
l
y
l
e
l
熵S的表达式：
S k N ln N N U S '
定域系统的微观状 态数目的对数：
经典极限条件的非定域系 统微观状态数目的对数：
lnMB N ln N N U
lnFD lnBE N U N
对于定域系统， 取S＝0，有：
SMB k ln MB
对于满足经典极 限条件的非定域 系统，取：
N eα Z ln Z ln N
S
Nk
ln
Z
ln Z
S
'
S
Nk
ln
Z
ln Z
S'
Nk ln N U S '
N
k N ln N N U S '
目前还是看不出熵 的统计意义是什么。
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我们现在来比较一下各种系统的微观状态数目的对数与系统的熵的 统计表达式，以图发现它们之间的联系，并得到熵常数S。