球的表面积公式的四种推导方法

解法一

用^表示平方

把一个半径为R的球的上半球切成n份。每份等高。

并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径。

则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)*h

其中h=R/n r(k)=根号[R^-(kh)^]

S(k)=根号[R^-(kR/n)^]*2πR/n

=2πR^*根号[1/n^-(k/n^)^]

则 S(1)+S(2)+……+S(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πR^

乘以2就是整个球的表面积 4πR^

解法二

这是重积分的应用问题

首先知道这个定义:若和数∑ΔAk(k=1 到n)存在极限,设极限是A

,则称A是曲面S的面积,即A=∫∮√(1+fx′^2(x,y)+fy′^2(x,y))dσ

半经为r的球面积A,球心在原点的球面方程是x^2+y^2+z^2＝r^2

第一卦限球面方程是z＝√(r^2-x^2-y^2)

Zx'＝-x/√(r^2-x^2-y^2) ;Zy′＝-y/√(r^2-x^2-y^2)

∴√(1+Zx'^2+Zy′^2)=r/√(r^2-x^2-y^2)

A＝8∫∫√(1+Zx'^2+Zy′^2)＝8r∫∫dxdy/√(r^2-x^2-y^2)

(设x=tsinθ y=tcosθ)=8r∫(定积分0到π/2)dθ∫(定积分0到r)t/√(r^2-t^2)d t =4πr∫(定积分0到r)t/√(r^2-t^2)d t=4πr(-√(r^2-t^2))⊥0到r=4πr^2

注;√(x)表示根号x.

解法三

设球的半径为 R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用△S1,△S2, △S3......△Si...表示，则球的表面积:

S=△S1+△S2+ △S3+...+△Si+...

以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积△Si 可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高hi ，因此，第i个小棱锥的体积Vi=hi* △Si，当“小锥体”

的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:V≈(h1* △S1+h2* △S2+...hi* △Si+...)/3.又∵hi≈R且S= △S1+△S2+...△Si+...

∴可得 V≈RS/3，

又∵V=4πRΔ3/4(3分之4倍的πR的立方)，

∴S=4πR的平方即为球的表面积公

解法四

思路: 已知球的体积公式为4πRΔ3/4(3分之4倍的πR的立方)。现在请想一下，如果你能将一张厚度忽略不计的一张纸把一个球完整无缺的包住（不遗漏，也不会重叠），那么你能够通过测量这张纸的面积来间接测量这个球的表面积吗？

类比我们所知道的一个著名的实验——测量油膜分子的半径，我们可以想象在一个球上包上一层厚度可以忽略不计的纸（设厚度为ΔX）。假设没有包纸钱前球的半径为R，包之后为（R+ΔX）。用包后球的体积减去包前球的体积，我们就得到了这层纸的体积，这时在类比测油膜分子的半径的方法，用这层纸的体积除去它的高ΔX（也就是它的厚度）就得到了这层纸的面积，也就是球的表面积。提示：当你在按照我的这种方法运算时，你会发现用笔者的这种方法还能用来解释为什么球的导数就是球的表面积。

谢谢