L0004华中师大一附中20062007学年度高一上学期期中考试卷

华中师大一附中2006—2007学年度上学期期中检测
高一年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把正确选项写在答题卡中相应的题号下。

1．全集U ＝R ，A ＝{x |x 2
－x <0}，B ＝{x |
1
x
≤1}，则 A ．A C U B B ．C U B A C ．A ＝C U B D ．（C U A ）∪B＝R 2．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．函数f (x )＝x 2
＋2(a －1)x ＋2在区间（－∞，4）上是减函数，则
A ．a ≥3
B ．a ≤－3
C ．a ≤5
D ．a ＝－3
4．211
5
113
3
662
2
1()(3)()3
a b a b a b -÷的结果是
A ．6a
B ．－a
C ．－9a
D ．9a
5．函数y
1（x ≥1）的反函数是
A ．y ＝x 2
－2x ＋2（x <1）
B ．y ＝x 2
－2x ＋2（x ≥1）
C ．y ＝x 2
－2x （x <1）
D ．y ＝x 2
－2x （x ≥1）
6．f (x )＝1221(0)(0)x x x
x -⎧-≤⎪
⎨⎪>⎩若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是
A ．（－1，1）
B ．（－1，＋∞）
C ．（－∞，－2）∪（0，＋∞）
D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
7．函数y ＝a x
（a >0且a ≠1），在[1，2]上的最大值与最小值的差为
2
a
，则a 的值为 A ．
1
2
B ．
32
C ．
2
3
或2 D ．12或32
8．若不等式5－x >7|x ＋1|与不等式ax 2
＋bx －2>0的解集相同，则a 、b 的值分别是
A ．a ＝－4，b ＝－9
B ．a ＝－1，b ＝9
C ．a ＝－8，b ＝－10
D ．a ＝－1，b ＝2 9．已知函数f (x )的图象过点（0，1），则y ＝f (x －4)的反函数图象过点
A ．（1，4）
B ．（4，1）
C ．（3，0）
D ．（0，3）
10．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (2－x )＝－f (x )，x >1时f (x )单调递增，如果x 1<x 2，x 1＋x 2<2，且(x 1－1)(x 2－1)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案写在答题卡中相应的横线上。

11．若函数f (x )的定义域为[－2，2]，则f (x 2
－1)的定义域为 ______。

12．已知函数f (x )是指数函数，若f (－23)
，则f (－1
2
)＝ ______。

13．函数y ＝223
1
()
3
x x -+的单调增区间是
___。

14．命题：①若a +b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数； ②“矩形的两条对角线相等”的逆命题； ≠
⊂ ≠ ⊂
③若a >b ，则a ＋c ≥b ＋c 的逆否命题； ④若x ＋y ≠5，则x ≠1或y ≠4的否命题。

上述命题中真命题的序号为 __。

（把真命题的序号都填上）
15．关于x 的方程x 2
－x －(m ＋1)＝0在区间[－1，1]上有解，则实数m 的取值范围是 __。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
设集合A ＝{x |x 2－ax －2＝0}，B ＝{x |x 2
＋bx ＋c ＝0}，且A∩B＝{－2}，A∪B＝{－2，1，5}，求a ，b ，c 的值。

17．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝
21
x
x +。

（1）判断函数f (x )的奇偶性； （2）用函数单调性的定义证明f (x )在（0，1）上是增函数。

18．（本小题满分12分）
已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋2<0}且A ≠Ø，B ＝{x |x 2
－3x ＋2<0}，若A B ，求实数a 的取值范围。

19．（本小题满分12分）
函数f (x )
A ，关于x 的不等式32ax <3(a ＋x )
(a ∈R)的解集为B ，求使A∩B＝A 的实 数a 的取值范围。

20．（本小题满分13分）
如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a （a >2），BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ， 绿地面积为y 。

（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域。

（2）当AE 为何值时，绿地面积最大？
21．（本小题满分14分）
已知f (x )=ax 2
-2ax +1=0有两正根x 1，x 2，且1<
1
2
x x ≤5。

（1）求x 1的取值范围； （2）求a 的取值范围； （3）当a 取最大值时，存在t ∈R，使得当x∈[1，m ]（m >1）时，f (t -x)≤5
4
536-x 恒成立，试求m 的最大值。

参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．B
4．C
5．B
6．D
7．D
8．A
9．A
10．A
二、填空题 D A
F C
H
11．]3,3[- 12．2
13．（－∞，1）
14．①③ 15．]1,4
5
[-
三、解答题
16．解：∵A∩B＝{－2}，∴2∈A，∴22＋2a －2＝0，解得a ＝－1. 由x 2
＋x －2＝0，得x ＝1或－2， ∴A＝{1，－2}.由A∩B＝{－2}，A∪B＝{－2，1，5}，得B ＝{－2，5}. ∴523
,5(2)10b b c c -=-=-⎧⎧∴⎨
⎨
⨯-==-⎩⎩
, ∴a ＝－1，b ＝－3，c ＝－10. 17．解：(1)∵f (－x )＝
)(1
1)(2
2x f x x
x x -=+-=+--，∴f (x )是奇函数. （2）设x 1，x 2是（0，1）上任意两个实数值，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝
)
1)(1()1)((112
2212112222211++--=+-+x x x x x x x x x x .∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，又0<x 1<1，0<x 2<1， ∴0<x 1x 2<1，∴x 1x 2－1<0.于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)。

∴f (x )在（0，1）上是增函数。

18．解：由x 2－3x ＋2<0，得1<x <2，∴B＝{x |1<x <2},∵A B ，且A≠Ø，∴方程x 2
＋ax ＋2＝0有两不等
实根，且两根在区间（1，2）内,⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧->->-<<->-<⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧>++>++<-<>-=∆3
32422220
2240212210
82a a a a a a a a a 或 ⇒－3<a <－22，∴实数a 的取值范围是{a |－3<a <－22}.
19．解：由A∩B＝A ，知A ⊆B,由01
2≥--x x
得1<x ≤2，∴A={x |1<x ≤2},由32ax <3(a ＋x )，得2ax <a ＋x ， 即(2a －1)x <a 。

（1）当a ＝
2
1
时，x ∈R，即B ＝R ，有A ⊆B 。

（2）当a >21时，x <12-a a ，∴B＝{x |x <12-a a },∵A ⊆B ，∴2<12-a a
⇒a <32，∴3221<<a .
（3）当a <21时，x >12-a a ，∴B＝{x |x >12-a a },∵A ⊆B ，∴12-a a ≤1⇒a ≤1，∴a <2
1
.
综上所述：a 的取值范围是（－∞，3
2
）.
20．解：（1）S ΔAEH ＝S ΔCFG ＝21x 2，S ΔBEF ＝S ΔDGH ＝2
1
(a －x )(2－x )。

∴y ＝S ABCD －2S ΔAEH －2S ΔBEF ＝2a －x 2－(a －x )(2－x )＝－2x 2
＋(a ＋2)x 。

由000 2.202
x a x x x a >⎧⎪->⎪∴<≤⎨-≥⎪⎪>⎩,
∴y ＝－2x 2
＋(a ＋2)x ，0<x ≤2).
（2）当242<+a ，即a <6时，则x ＝
42+a 时，y 取最大值8)2(2+a 。

当4
2
+a ≥2，即a ≥6时， y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，在(0，2]上是增函数，则x ＝2时，y 取最大值2a －4.
综上所述：当a <6时，AE ＝4
2
+a 时，绿地面积取最大值8)2(2+a ；当a ≥6时，AE ＝2时，绿地面积
取最大值2a －4.
21．解：（1）x 1＋x 2＝2 ⇒x 2＝2－x 1，代入1<
512≤x x ，得1<521
1
≤-x x .∵x 1>0, ∴131
52211
111<≤⇒⎩⎨⎧≤--<x x x x x 。

（2）∵方程有不等正根，∴10
00
2
121>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆a x x x x .又a 1＝x 1x 2＝x 1(2－x 1)＝2
1x -＋2x 1，≤31x 1<1，
∴
a 195≤<1，∴1<a ≤5
9。

方法二：∵1311<≤x ，∴1<x 235≤, 5910
131********
13290)35
(0)1(0)31(≤<⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+-<+-≥+-⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≥a a a a a a
a f f f .
（3）当a ＝
59时，由f (t －x )≤5
4
536-x ，得x 2－2(t ＋1)x ＋t 2－2t ＋1≤0，在[1，m ]恒成立 ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-++-≤-++-0
)1()1(20)1()1(21222
t m t m t t ，∴0≤t ≤4 ,∴t ＋1－2t ≤m ≤t ＋1＋2t ，∴当t ＝4时，m 有最大
值9。