十字交叉法的数学原理和它的应用

十字交叉法的数学原理和它的应用

可能是一个学过化学的人都知道“十字交叉法”，但其中的数学原理是什么，它的应用有什么条件，这些问题有多少人想过？我想尝试着介绍一下，由于我只是一个高中生，解释中不免会有一些不当之处，希望读者能够予以指出。

不明白原理就不会知道如何应用，和应用的条件，所以首先看一下十字交叉法的数学原理：

对于二元一次方程：Ax+By=(x+y)C 经过整理可以变成：x C - B

----- = ---------

y A - C

这个公式就是十字交叉法的原理。对这个公式进行化简可以写成：

x A C -B

\ /

\ /

C

/ \

/ \

y B A - C 这就是我们熟悉的十字交叉法。

对于方程“Ax+By=(x+y)C”有什么解释呢，它实际上是一个平均数的公式，可以表述为，已知在X，Y分别含有A,B个Z，在他们的二元体系中，平均每个X,Y拥有C个Z，则X,Y在二元体系中的个数比

x : y = ( C - B) : (A - C) 。

总结一下，化学中对十字交叉法的应用大致有以下几种：

（1）有关质量分数的计算（用两种不同浓度溶液的质量分数与混合溶液的质量分数作十字交叉，求两种溶液的质量比）

（2）有关物质的量浓度的计算（用混合钱的物质量的浓度与混合后的物质量的浓度做十字交叉，求体积比）（3）有关平均分子量的计算（通过纯物质的物质量分数与混合后的平均分子量做十字交叉，求百分数）（4）有关平均原子量的计算（用同位素的原子量或质量数与元素原子量作交叉，求原子个数比或同位素百分数）

（5）有关反应热的计算（有单个反应的热效应与混合都反应热做十字交叉，求百分数）

（6）有关混合物反应的计算（利用单个反应消耗某种反应物的量与混合后做十字交叉，求分数）

（7）相关结构的推测（找到相对应的比例关系，如点，边，面等的关系，在做交叉，球分数）

（8）有关体积分数的测定（用组分的式量与混合气的平均式量做十字交叉，求组分体积比或含量）

（9）有关两种含相同元素物质的质量比（用两种物质中同一元素的质量分数求两物质的质量比）

有以下几道例题来分别对这几点的应用作解释（一～六题转载自/b346440/d1*******.htm

）

一．有关质量分数的计算：

例：实验室用密度为1.84克/厘米3 98%的浓硫酸与密度为1.1克/厘米3 15%的稀硫酸混和配制密度为

1.4克/厘米3 59%的硫酸溶液, 取浓、稀硫酸的体积比最接近的值是

A. 1:2

B. 2:1

C. 3:2

D. 2:3

[分析] 9844

\ 59 /

/\其体积比为:44/1.84 : 39/1.1≈ 2:3

1539答案为 D

根据溶质质量守恒, 满足此式的是98%X + 15% Y = 59%(X+Y)

X 和Y 之比是溶液质量比,故十字交叉得出的是溶液质量比为44 : 39 ,再换算成体积比

二.有关物质的量浓度的计算

例: 物质的量分别为6摩/升, 1摩/升的硫酸溶液,按怎样的体积比才能配成4摩/升的溶液?

[分析] 6 3

\ 4 /

/\

1 2

根据溶质物质的量守恒, 满足此式的是6X + Y = 4 (X+Y)

X 和Y 之比是体积比,故十字交叉得出的是体积比为3 : 2 ,答案为6摩/升, 1摩/升的硫酸溶液,按3 : 2的体积比才能配成4摩/升的溶液?

三. 有关平均分子量的计算

例: 实验测得乙烯与氧气混合气体的密度是氢气的14.5倍,可知其中乙烯的质量百分比为:

A.25.0%

B.27.6%

C.72.4%

D.75.0%

[分析]28 3

\ 29 /

/\

32 1

根据质量守恒, 满足此式的是28X + 32 Y = 29(X+Y)

X 和Y 之比是物质的量之比,故十字交叉得出的是物质的量比3 : 1,

3×28

乙烯的质量百分含量= ------------------ ×100% = 72.4 % 答案为C

3×28＋1×32

四. 有关平均原子量的计算

例: 铜有两种天然同位素63Cu和65Cu , 参考铜的原子量为63.5 , 估算63Cu 的平均原子百分含量约是

A. 20%

B.25%

C.66.7%

D.75%

[分析]63 1.5

\ 63.5 /

/\

650.5

根据质量守恒, 满足此式的是63X + 65 Y = 63.5 (X+Y)

可知X :Y 应为原子个数比,故十字交叉法得出的是原子个数比.

1.5

故63Cu的原子百分含量= ---------×100% =75%

1.5 + 0.5

五. 有关反应热的计算

例: 已知下列两个热化学方程:2H 2(气) + O2 (气) = 2H2 O(液) +571.6千焦

C3H8 (气) +5O2 (气) = 3CO2 (气) + 4H2O (液) + 2220千焦, 实验测知氢气和丙烷的混和气体共5摩尔完全燃烧时放热3847千焦, 则混和气体中氢气和丙烷的体积比是

A. 1:3

B. 3:1

C.1:4

D. 1:1

[分析]571.6

--------1450.6

2\3847/

-----

5

/\

2220483.6

根据总热量守恒, 满足此式的是285.8X + 2220 Y = 769.4 (X+Y)

可知X :Y 应为物质的量比,故十字交叉法得出的是物质的量比, 即体积比

当然本题用估算法更简单.

六. 有关混和物反应的计算

例：已知白磷和氧气可发生如下反应：P4 +3O2 = P4O6 ，P4 +5O2 = P4O10 在某一密闭容器中加入62克白磷和50.4升氧气(标准状况), 使之恰好完全反应, 所得到的P4O10 与P4O6 的物质的量之比为

A. 1:3

B. 3:2

C. 3:1

D. 1:1

[分析]P4O105 1.5

\ 2.25/0.5 /

/\

P4O630.5

根据O2物质的量守恒, 满足此式的是5X + 3Y = 2.25/0.5 (X+Y)

X 和Y 之比是P4O10 和P4O6物质的量比,故十字交叉得出的物质的量比为3:1, 答案为C

七.相关结构的推测

1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60是由60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点引出3条棱，各面的形状分为五边形和六边形两种，计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？

解析：因每两个顶点共有一条棱故每个顶点独立拥有1.5条棱，所以棱数=1.5*60=90

根据欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2（Y+F-E=2）

可知C60的面数=2+90-60=32

若此多面体的面全为五边形则应有32*5/3个顶点（一个五边形有5个顶点每个顶点被三个面所共有），同理若全为六边形则应有32*6/3个顶点。

五边形32*5/3 4