第三讲 倍长中线与截长补短

第三讲倍长中线与截长补短法
2021.1方法概述
倍长中线：将三角形的中线（或类似中线）加倍延长，构造全等三角形，实现角和线段的转化。

截长补短：证明两条线段之间的倍分关系或几条（通常为3条）线段之间的和差关系时，将长线段截成两段分别与已知两条短线段相等，或者延长一条短线段，使其与长线段相等。

基本模型
一、倍长中线
AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，
则△ACD≌△EBD，（也可连CE，则△ABD≌△ECD），可看作旋
转变化构造全等三角形。

△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（异于端点），
连接ED并延长，使DF=DE，连接CF，则△FC D≌△EBD。

AB//CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（异于端点），连
接FE并延长，交DC的延长线于点G，则△AFE≌△CGE。

◎典型例题1-1
AD是△ABC的边BC上的中线，AB=4，AC=8，则中线AD的取值范围是。

【分析】倍长中线，将已知边和倍长后的边转化到同一三角形中，运用
三边关系求范围。

【解答】
【小结】1.三角形的三边关系是求线段范围的常用方法。

2.出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化。

◎典型例题1-2
如图，已知D为△ABC的边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（）
A.大于EF
B.小于EF
C.等于EF
D.与EF的大小关系无法确定
【分析】
【小结】1.出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全
等三角形，转换线段。

2.出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形。

◎典型例题1-3
（1）操作发现：如图1，矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE 折叠得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G。

猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论。

（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。

【分析】（1）易证△EFG≌△ECG，得GF=GC；（2）E为BC的中点，可加倍延长AE与DC的延长线交于点H，构造出△CHE与△BAE全等，得AF=AB=CH，且△GAH为等腰三角形，GA=GH，易得出结论。

【解答】
【小结】1.注意辅助线的描述发生了变化，但构造全等的实质相同。

2.该题可连接CF，由“等角的补角相等”得∠EFG=∠ECG，再根据“等角对等边”证得结论。

◎变式训练1-1
如图，已知D为线段BC的中点，AB=CE.求证：∠A=∠CED.
◎变式训练1-2
如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，求证：AF=EF。

◎变式训练1-3
如图1，已知AB//CD，AB=CD，∠A=∠D.
（1）求证：四边形ABCD为矩形.
（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=
2∠BCE.
①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度；
②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC= 。

AF= 。

二、截长补短
截长补短法分为截长法和补短法，截长法：一般用来证明3条线段之间的和差关系，如a=b+c应将线段a截成两段，一段等于b，再证明另一段等于c。

补短法：通过延长或者旋转变换等方法将b和c拼补成一条线段，再证明与a相等。

截长补短的精髓在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形北出已知的等角或等边，这是构造的关键。

◎典型例题2-1
如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C.求证：AC=AB＋BD.
【分析】证明线段的和差关系，考虑截长补短法。

【解答】
【小结】1.结合已知条件，通过截长补短，构造出了全等三角形和等腰三角形；
2.等腰三角形与顶角相邻的外角等于底角的2倍，且该外角的平分线平行于底边；反之可推出三角形为等腰三角形。

◎典型例题2-2
如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为BC上一点，C E⊥AD于E.求证：AE=BD+DE.
【分析】分析条件找到相等的角和边，结合截长补短法构造全等三角形，转化线段。

【解答】
【小结】圆中截长补短的关键是利用圆周角定理找到相等的角，结合已知条件作出辅助线，构造全等三角形。

◎典型例题2-3
如图，已知□ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，
且AD=DF。

过点D作DC的垂线，分别交AE和AB于点M，N。

（1）若M为AG中点，DM=2，求DE.
（2）求证：AB=CF十DM.
【分析】（1）由已知条件可得DE=DA，在Rt△ADG中用勾股定理求解：
（2）分析条件找到相等的角和边，结合截长补短法构造全等三角形，转化线段。

【解答】
【小结】1.方法一中，不直接截AB的原因是难以构造全等三角形，因而截与AB相等的CD。

2.方法二中，辅助线也可描述为：作EP∥DF，交MD的延长线于点P。

3.此题另有其他证法，思路大致相同。

◎变式训练2-1
如图，AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D。

求证：AD+BC=AB。

◎变式训练2-2
如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2。

（1）若AD=2，DE=1，求AP的长。

（2）求证：PB=PF+FM。

◎变式训练2-3
如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AD 与△ABC 的外接圆⊙O 恰好相切于点A ，边CD 与⊙O 相交于点E ，连接AE ，BE 。

（1）求证：AB =AC .
（2）若过点A 作AH ⊥BE 于点H ，求证：BH =CE +EH 。

◎变式训练2-4
如图，AC =BC ，点O 为AB 的中点，AC ⊥BC ，∠MON =45°，求证：CN +MN =AM 。

中考真题
1.正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ，过B 点作BF ⊥AE ，交CD 于F
点，交AE 于G 点，连接GD ，过A 点作AH ⊥GD 交GD 于H 点。

（1）求证：△ABE ≌△BCF
（2）若正方形边长为4，AH =
5
16，求△AGD 的面积。

2.先阅读下面的材料，然后解答问题。

已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是内角平分线，交BC边于点D。

求证：AC=AB+BD。

证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE。

由已知条件易知Rt△ADB≌Rt△ADE，∴∠AED=∠B=90°，DE=DB，又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴DE=EC，∴AC=AE+EC=AB+BD。

我们将这种证明一条线段等于另两线段和的方法称为“截长法”。

解决问题：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D，如图2”，其他条件不变，请你猜想线段AC，AB，BD之间的数量关系，并证明你的猜想。

3.如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF。

（1）猜想BE，EF，DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想。

（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系。

1（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=
2∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你猜想。

4.如图，△ABC 内接于⊙O ，BC =2，AB =AC ，点D 为C A 上的动点，且cos B =
10
10 （1）求AB 的长度. （2）在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 延长线于点E ，问AD ·AE 的值是否变化？若不变，请求出AD ·AE 的值；若变化，请说明理由。

（3）在点D 的运动过程中，过点A 作AH ⊥BD ，求证：BH =CD +DH 。

5.如图1，在平面直角坐标系中，直线α：y=－x －2与坐标轴分别交于A ，C 两点。

（1）求点A 的坐标及∠CAO 的度数。

（2）点B 为直线y=
22上的一个动点，以点B 为圆心，AC 长为直径作⊙B ，当⊙B 与直线α相切时，求B 点的坐标.
（3）如图2，当⊙B 过A ，O ，C 三点时，点E 是劣
弧上一点，连接EC ，EA ，EO ，当点E 在劣弧上运动时（不
与A ，O 两点重合），EO
EA EC −的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由。

6.如图1，在平面直角坐标系中，⊙O1，与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B，C两点，且BC=8，连接AB，O1B。

（1）AB的长为。

（2）求证：∠ABO1=∠ABO
（3）如图2，过A，B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM，MN当⊙O2的大小变化时，问BM-BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM－BN的值。