华南师范大学电磁学第一章 静电学的基本规律(电势与静电能)

因为各 E i q 0 dr 与路径无关，所以A与路径无关.
b a
a
a
a
结论：静电场力(库 仑力)是保守力！
2
2.静电场的环路定理
静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒 等于零.
E dr 0
L
证明: 将一点电荷q在静电场中沿任意闭合路径走一圈 静电场力是保守力
f dr qE dr 0

dq 4 0 r
d
Q
Q
dφ •P r
2）叠加 式中的 i 和d的物 理意义是 什么？
9
点电荷系的场
连续带电体的场
4. 电势的计算
（1）点电荷场电势公式
P E dr
P

Q
Q 4π 0 r
r
P dr E


dr
E dr
上式表明：当 p 与 E 方向相同时，电势能最小；当 p 与E 方向相反时，电势能最大.由于系统势能最小时的平衡 是稳定平衡，而势能最大时的平衡是不稳定平衡 ,所以 在外电场中，电偶极子总力求转到 p 与 E 方向相同30 .
W pE
五、电荷系的静电能 状态a时的静电能是什么？ 定义1：把系统从状态 a 无限 分散到彼此相距无限远的状态 中静电场力作的功 叫作系统 在状态a时的静电势能简称静 电能.也称为相互作用能(互能). 或:把这些带电体从无限远离 的状态聚合到状态a的过程中 外力克服静电力作的功
点电荷的电场线与等势面
+
19
电偶极子的电场线与等势面
+
20
平行板电容器的电场线与等势面
+ +
+ +
+
+
+
+
+
21
3.电场强度与电势的微分关系 两邻近等势面： a< b d ˆ 沿 l 方向电势变化率：
dl d ˆ 沿 n 方向电势变化率： dn
dn
b
•
ˆ n
a•

dl
<
• ˆ l
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外 壳等为参考点 2)电势的单位与量纲
SI制：单位 V (伏特)
量纲
W L2 MT 3 I 1 q
Aab q( a b )
3)一个常用公式：电场力的功
3.电势叠加原理(Principle of
superposition of electric potential ) P dr
E
E d r 0 ,
L
E dS
S
q
i
i内
0
5
二、电势差和电势 电势叠加原理 1.电势差(potential difference) 如图示，点电荷在场中受力
b
a
b

f dr q E dr Wa Wb
a
E
0
p0
思考：
1）证明 中，为什 么可认为
E dr
P
P0
P0
P i
P E d r E d r i i i i
P
dr dri
i
i
或

ri • •• •qi •
p • φi dq
(Q )
d d cos dn dr
E
Er r
Ex x
ˆ n
r 方向
θ
Er
b a
在直角坐标系中 算符(拉普拉斯算符) ˆ ˆ ˆ i j k x y z
场强等于电势 梯度的负值
23
Ey
y Ez z
2)图示
r R 球内是等势区域 r R

与电量集中在球心的 点电荷的电势分布相同
0
R
r
14
例2 计算电量为 Q 的带电球面球心的电势
解：用方法二 在球面上任取一电荷元 dq
dq
o
Q R
dq 则电荷元在球心的电势为 d 4π 0 R
由电势叠加原理
球面上电荷在球心的总电势
思考： •电量分布 均匀？ •圆环？
解: 本题有两种解法
R1 r o o
•
R2
dr
P
x
σ
方法1:直接由场强叠加原理(积分法)求P点的
场强.(略,自行解)
方法2:先求电势,再由电势梯度求场强. • 把圆环分成无限多的细圆环(电荷元),任取一个半径为r, 宽度为dr的细圆环,其面积为dS=2πrdr,带电量为 dq=σdS=σ2πrdr
• 这细圆环在P点处产生的电势为
dq Q d 4π 0 R Q Q 4π 0 R
•圆弧？ 15
例3 平行板电容器两板间的电势差 解：用方法一 平行板电容器内部的场强为 E 0 两板间的电势差

E
dr
d
Δ E d r


E , dr
带电体系处于状态 a
定义2:一个带 电体的静电能 也称为自能,也 就是组成它的 各电荷元之间 的静电互能(相 互作用能).
带电体系的总静电能＝互能＋自能
b
E
a
q
f qE
Wa Wb E dr q q a
根据静电场 Wa Wb q 的环路定理 q
b
与试验电荷无关 反映了电场在a b两 点的性质 6
令 E dr
a
b
a b
称 为a、 b两点的电势差

P

r
Q dr 2 4π 0 r R
12
Q odr dr 2 4π 0 r r R
R

Q
Po
Q 4 π 0 R
2)场点在球面外 即

R

r> R
P
r
Q Q dr 2 4π 0 r 4π 0 r r
13
1)电势分布
Q 4 π 0 R Q 4 π 0 r
i
i

d
Q
11
3) 利用已知电势公式和电势叠加原理
例1 计算均匀带电球面的电势分布 如图 Q 解：用方法一 Po R 均匀带电球面电场的分布为
r <R r >R
E0 Q ˆ E r 2 4π 0 r

r
1)若场点在球内或球面上 即 r R 如图
R E dr odr
r2
f Eq0

dr
dr
•b
注意区别：
把q0从a点移动到b点，电场力的功为
qq 0 1 1 A k 2 dr kqq0 ( ) r r1 r2 r1
r2
dr与 dr
与路径无关
1
(2)在点电荷系的电场中
静电场力的功为
b b A Eq0 dr Ei q0 dr Ei q0 dr b i i
b
b
这种沿某一方向的变化率称为：方向导数
a
显然，沿不同方向的变化率不同.而沿 n ˆ 方向的变化率最大 d d cos dl dn 方向：沿 增加最快的方向 定义： d n ˆ 称为电势梯度 d
dn
大小：
也可写为grad
dn
22
电势梯度在任一 方向上的投影为：
2.电势(electric potential) 若选b点的电势为参考零点 则 a点的电势：电势零点 Nhomakorabeaa
讨论
a
E d r
这是一个常用公式
1)电势零点的选择(参考点)： ①任意，视分析问题方便而定； ②参考点不同电势不同.
7
通常： 当（源）电荷分布在有限区域时选无限远为参 考点
dq
q
qx 于是 Ex 3 2 2 x 4 ( R x ) 2 0
ˆ ˆ Ey ˆ 故 E Ex i j Ez k
Ey E z 0
y
P
qx ˆ i 2 2 32 4 0 ( R x )
o
• x
q
E
x
z
26
例2:如图所示,内、外半径分别 为R1、R2的均匀带电圆环，面 电荷密度为σ，试求其轴线上 任一点P的场强.
2 2 2 2 [(R2 x ) ( R1 x ) ] 2 0
1 2 1 2
2
rdr
2
R1 r o o
0
(r x )
2
1
2
dr
E • x P
R2
Ey Ez 0 由对称性易知 x x ˆ ˆ E E i [ ] i 所以 1 1 • x 2 2 0 ( R12 x 2 ) 2 ( R2 x2 ) 2
E
求电场强度 E 分布的四种方法
1.利用点电荷场强公式和场强叠加原理
2.利用已知场强公式和场强叠加原理 3.利用高斯定理（电荷分布具有很好的 对称性） 4.利用 E （ 容易求时）
24
例1：求均匀带电细圆环轴线上任一点的场强 在圆环上任取一个电 解： 荷元dq 它在P处产生的电势为
一、静电场的环路定理 1.静电场的保守性——静电场力是保守力
• 静电场力(库仑力)的功
(1)在点电荷的电场中
qq0 ˆ dr 电场力的元功 dA Eq0 dr k 2 r r qq0 qq0 k 2 dr cos k 2 dr r r
r1 q 0
•
a r
q0
r
r


ˆ dr r 2
r
Q 4 0 r
2
Q 4π 0 r
球对称
标量
正负
10
1) 由定义式出发( E已知或
容易求时,注意分段积分) 2) 利用点电荷电势公式和 电势叠加原理
（2）求任意带电体系电场中电势 分布的三种方法
E dr
P
P 0
(2)静电势能W是电荷和电场所共有
29
例：求电矩为 p ql 的电偶极子在均匀外电场
中的电势能.
解：在外电场中，电偶极子中的正、 A ＋ +q 负电荷的电势能分别是： l E θ W q A ， W q B -q - B 所以电偶极子在外电场的电势能为 W W W q( A B ) qlE cos pE cos 式中θ是 p 与 E 的夹角，把上式写成矢量式，则有：
L L
E dr 0
L
3
3.静电场力作功等于相应电势能的减少量
Aab

a
b
f dr Wa Wb
点电 b 势能
b
q
E
点电 a势能
a
4
讨论
E d r 0
L
思考：
有如图所示 的静电场吗？
1) 静电场的基本方程之一
表明静电场是保守场 2) 环路定理要求电场线不能闭合 3) 表征静电场的性质有两个方程
3
n
17
2.电场线与等势面的关系 1)电场线处处垂直等势面
q
等势面 电场线
证明： 在等势面上任取两点 a、b，则 b 等势 =0 E dr a b
a
a、b 任取
处处有 E dr
2)电场线指向电势降落的方向 3)等势面越密处，电场强度越大
18
Edr



E

d r
方向一致
均匀场
Δ Ed
16
三、等势面 电势梯度 1.等势面 由电势相等的点组成的面叫等势面 满足方程
x , y , z C
1
2
取一系列的等势面φ1、φ2、φ3…， 要求：
Δ12 Δ 23
Δ EΔn
等势面的疏密反映 了场的强弱
y
dq
r
P
d
dq 4 0 r
o
•
x
z
q
据电势叠加原理可知 均匀带电细圆环在P处产生的电势为 dq q q 2 2 12 4 0 r 4 0 r 4 0 ( R x ) l
25
q 2 2 12 4 0 r 4 0 r 4 0 ( R x ) q
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•于是整个圆环在P点处产生的电势为
d
R2 R1
dq rdr d 2 2 12 2 2 12 4 0 (r x ) 2 0 (r x )
x x • Ex x 2 [ ( R 2 x 2 ) 12 ( R 2 x 2 ) 12 ] 0 1 2
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四、电荷在外电场中的(静)电势能
电荷 q0在外电场中 ＝ 电场力所做的功 它的电势能的减少
A12 w1 w2
而
A12 q0 (1 2 ) q01 q02
对比可取
一般地可取
w1 q01 w q
，
w2 q02
注意： (1)是外电场在q所在处产生的电势