2020年中考数学总复习 反比例函数压轴题专题练习(含答案)

∴a＝1 或 2，
∴点 P（1，﹣2）或（2，﹣1）
（2）∵一次函数 y＝x﹣3 与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点，
∴点 A（3，0），点 B（0，﹣3）
∴OA＝3＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3 ，
∵x﹣3＝﹣
∴x＝1 或 2，
∴点 C（1，﹣2），点 D（2，﹣1）
∴BC＝
解：（1）∵BD＝OC，OC：OA＝2：5，点 A（5，0），点 B（0，3）， ∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3， 又∵点 C 在 y 轴负半轴，点 D 在第二象限， ∴点 C 的坐标为（0，﹣2），点 D 的坐标为（﹣2，3）． ∵点 D（﹣2，3）在反比例函数 的图象上， ∴a＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为 ．
（1）求 k 的值； （2）已知点 P（a，﹣2a）（a＜0），过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y ＝﹣2x﹣2 于点 M，交函数 y＝ （x＜0）的图象于点 N． ①当 a＝﹣1 时，求线段 PM 和 PN 的长； ②若 PN≥2PM，结合函数的图象，直接写出 a 的取值范围．
解：（1）∵函数 y＝ （x＜0）的图象经过点 A（﹣1，6）． ∴k＝﹣1×6＝﹣6． （ 2）①当 a＝﹣1 时，点 P 的坐标为（﹣1，2）． ∵直线 y＝﹣2x﹣2，反比例函数的解析式为 y＝﹣ ，PN∥x 轴， ∴把 y＝2 代入 y＝﹣2x﹣2，求得 x＝﹣2，代入 y＝﹣ 求得 x＝﹣3， ∴M（﹣2，2），N（﹣3，2）， ∴PM＝1，PN＝2． ②∵当 a＝﹣1 或 a＝﹣3 时，PN＝2PM， ∴根据图象 PN≥2PM，a 的取值范围为 a≤﹣3 或﹣1≤a＜0．
2020 年中考数学总复习反比例函数压轴题专题练习 1．已知一次函数 y＝kx﹣（2k+1）的图象与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点，
与反比例函数 y＝﹣ 的图象分别交于 C、D 两点．
（1）如图 1，当 k＝1，点 P 在线段 AB 上（不与点 A、B 重合）时，过点 P 作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足为 M、N．当矩形 OMPN 的面积为 2 时，求出点 P 的位置； （2）如图 2，当 k＝1 时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以 A、B、E 为顶点 的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，说明理由； （3）若某个等腰三角形的一条边长为 5，另两条边长恰好是两个函数图象的 交点横坐标，求 k 的值． 解：（1）当 k＝1，则一次函数解析式为：y＝x﹣3，反比例函数解析式为：y ＝﹣ ， ∵点 P 在线段 AB 上 ∴设点 P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0， ∴PN＝a，PM＝3﹣a， ∵矩形 OMPN 的面积为 2， ∴a×（3﹣a）＝2，
坐标，
∴1＝ ，或 5＝
∴k＝
2．如图，已知直线 y＝ kx+b 与反比例函数 y＝ （x＞0）的图象交于 A（1，4）、 B（4，1）两点，与 x 轴交于 C 点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接回答：在第一象限内，当 x 取何值时，一次函数值大于反 比例函数值？ （3）点 P 是 y＝ （x＞0）图象上的一个动点，作 PQ⊥x 轴于 Q 点，连接 PC，当 S△CPQ＝ S△CAO 时，求点 P 的坐标．
解：（1）由题意知，k＝1， 针对于 P1（2，1），a＝2，b＝1， ∴ka+b＝2+1＝3＞0， ∴点 P1（2，1）的 1 倍相关圆为以点 P 为圆心，3 为半径的圆， 针对于 P2（1，﹣3），a＝1，b＝﹣3， ∴ka+b＝1﹣3＝﹣2＜0， ∴点 P2（1，﹣3）不存在 1 倍相关圆 故答案为：P1；3；
（1）解：∵直线 y＝kx+b（b＞0）与 x 轴正半轴相交于点 D，于 y 轴相交于 点 C， ∴D（0，b），C（﹣ ，0） ∴由题意得 OD＝b，OC＝﹣ ， ∴S＝ ∴k•（ ）+8＝0，
∴b＝4（b＞0 ）；
（2）证明：∵
，
∴
，
∴x1•x2＝﹣16
∴
，
∴点（y1，y2）在反比例函数 y＝ 的图象上． 4．如图，双曲线 y＝ 上的一点 A（m，n），其中 n＞m＞0，过点 A 作 AB⊥x
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当一次函数 y＝﹣x+b 的图象经过点 A 时，直接写出△DCE 内的整点的坐 标； ②若△DCE 内的整点个数恰有 6 个，结合图象，求 b 的取值范围．
解：（1）依题意知：B（﹣2，2）， ∴反比例函数解析式为 y＝﹣ ． ∴k 的值为﹣4； （2）①∵一次函数 y＝﹣x+b 的图象经过点 A， ∴b＝2， ∴一次函数的解析式为 y＝﹣x+2，
9．如图，已知点 D 在反比例函数 y＝ 的图象上，过点 D 作 DB⊥y 轴，垂足为 B（0，3），直线 y＝kx+b 经过点 A（5，0），与 y 轴交于点 C，且 BD＝OC， OC：OA＝2：5． （1）求反比例函数 y＝ 和一次函数 y＝kx+b 的表达式； （2）连结 AD，求∠DAC 的正弦值．
解：（1）把 A（1，4）代入 y＝ （x＞0），得 m＝1×4＝4，
∴反比例函数为 y＝ ；
把 A（1，4）和 B（4，1）代入 y＝kx+b 得
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得：
，
∴一次函数为 y＝﹣x+5．
（2）根据图象得：当 1＜x＜4 时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）设 P（m， ），
由一次函数 y＝﹣x+5 可知 C（5，0），
（3）①如图 3 中，记直线 AB 与 x 轴的交点为 E，直线 l 与 x 轴的交点为 F，
∵B（1，m）在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴m＝6， ∴B（1，6） ∵A（0，3）， ∴直线 AB 的解析式为 y＝3x+3，令 y＝0，则 3x+3＝0， ∴x＝﹣1， ∴E（﹣1，0）， ∵直线 l 是直线 AB 关于 y 轴对称， ∴点 F 与点 E 关于 y 轴对称， ∴F（1，0）， ∴直线 l 的解析式为 y＝﹣3x+3， ∵点 C 在直线 l 上， ∴设 C（c，﹣3c+3），由题意知，k＝3，
将 A（5，0）、C（0，﹣2）代入 y＝kx+b，得
，
解得：
，
∴一次函数的表达式为
．
（2）∵OA＝BC＝5，OC ＝BD＝2，∠DBC＝∠AOC＝90°，
∴△BDC≌△OCA（SAS），
∴∠DCB＝∠OAC，DC＝CA，
∴∠DCA＝90°，
∴△DCA 是等腰直角三角形，
由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，
∵AB⊥x 轴，
∴∠ABE＝90°，
∴四边形 ABED 是矩形，
∴∠DEB＝90° ，
∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，
∴C（m+n，n﹣m），
∵点 A，C 都在双曲线上，
∴mn＝（m+n）（n﹣m），
即 m2+mn﹣n2＝0，
方程两边同时除以 n2，得
+ ﹣1＝0，
解得 ＝
，
∵n＞m＞0，
∴＝
．
5．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（a，b）和实数 k（k＞0），给出如下 定义：当 ka+b＞0 时，将以点 P 为圆心，ka+b 为半径的圆，称为点 P 的 k 倍相关圆．
例如，在如图 1 中，点 P（1，1）的 1 倍相关圆为以点 P 为圆心，2 为半径的 圆．
∴S△CAO＝
＝10，
∵S△CPQ＝ S△CAO，
∴S△CPQ＝5，
∴ |5﹣m|• ＝5，
解得 m＝ 或 m＝﹣ （舍去），
∴P（ ， ）．
3．如图，直线 y＝kx+b（b＞0）与抛物线 y＝ x2 相交于点 A（x1，y1），B（x2， y2）两点，与 x 轴正半轴相交于点 D，于 y 轴相交于点 C，设△OCD 的面积 为 S，且 kS+8＝0． （1）求 b 的值． （2）求证：点（y1，y2）在反比例函数 y＝ 的图象上．
的图象交于点 M，且 B 为 AM 的中点．
（1）求反比例函数 y＝
的表达式；
（2）过 B 做 x 轴的平行线，交反比例函 数 y＝
图象于点 C，连接
MC，AC．求△AMC 的面积．
解：（1）过点 M 作 MH⊥y 轴，垂足为 H． ∵AB＝MB，∠MHB＝∠AOB，∠MBH＝∠ABO， ∴△ABO≌△MBH（AAS）， ∴BH＝BO，MH＝AO， ∵直线 y＝2x+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， ∴当 y＝0 时，x＝﹣1．当 x＝0 时，y＝2．
∴A（﹣1，0），B（0，2）．
∴BH＝BO＝2，MH＝AO＝1．
∴M（1，4）．
把 M （1，4）代入 中，得 k＝4．
∴反比例函数的解析式为 ．
（2）∵AB＝BM，
∴S△ABC＝S△BCM． ∵点 C 在反比例函数图象上，且 BC∥x 轴，
∴点 C 纵坐标为 2．
把 y＝2 代入 ，得 x＝2．
∴点 C 坐标为（2，2），
∴
，
∴S△AMC＝4．
7．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，2），正方形 OABC 的顶 点 B 在函数 y＝ （k≠0，x＜0）的图象上，直线 l：y＝﹣x+b 与函数 y＝ （k≠0，x＜0）的图象交于点 D，与 x 轴交于点 E． （1）求 k 的值；
＝，
设点 E（x，0），
∵以 A、B、E 为顶点的三角形与△BOC 相似，且∠CBO＝∠BAE＝45°，
∴
，或
，
∴
，或 ＝ ，
∴x＝1，或 x＝﹣6，
∴点 E（1，0）或（﹣6，0）
（3）∵﹣ ＝kx﹣（2k+1），
∴x＝1，x ＝ ，
∴两个函数图象的交点横坐标 分别为 1， ，
∵某个等腰三角形的一条边长为 5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横
∴3c+（﹣3c+3）＝3，
∴点 C 的 3 倍相关圆的半径是 3，
故答案为：3；
②∵点 D 在直线 AB 上，设 D（d，3d+3），由题意知，k＝ ，
∴R＝ d+（3d +3）＝ d+3＞0，
∴d＞﹣ ．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝2x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两
点，与反比例函数 y＝
解
得，
，
，
∴D（1﹣ ，1+ ），E（2，0）， ∴△DCE 内的整点的坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1）； ②当 b＝2 时，△DCE 内有 3 个整点，当 b＝3 时，△DCE 内有 6 个整点， ∴b 的取值范围是 2＜b≤3． 8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ （x＜0）的图象经过点 A（﹣ 1，6）．
（2）如图 2 中，结论：直线 ON 与点 M 的 倍相关圆的位置关系是相切．
理由：设点 M 的坐标为（n，0），过 M 点作 MP⊥ON 于点 P， ∴点 M 的 倍相关圆半径为 n． ∴OM＝n． ∵MP⊥ON，∴∠OPM＝90°，∵∠MON＝30°， ∴MP＝ OM＝ n， ∴点 M 的 倍相关圆的半径为 MP， ∴直线 ON 与点 M 的 倍相关圆相切；
（1）在点 P1（2，1），P2（1，﹣3）中，存在 1 倍相关圆的点是 P1 ，该 点的 1 倍相关圆半径为 3 ． （2）如图 2，若 M 是 x 轴正半轴上的动点，点 N 在第一象限内，且满足∠ MON＝30°，判断直线 ON 与点 M 的 倍相关圆的位置关系，并证明．
（3）如图 3，已知点 A 的（0，3），B（1，m），反比例函数 y＝ 的图象经 过点 B，直线 l 与直线 AB 关于 y 轴对称． ①若点 C 在直线 l 上，则点 C 的 3 倍相关圆的半径为 3 ． ②点 D 在直线 AB 上，点 D 的 倍相关圆的半径为 R，若点 D 在运动过程中， 以点 D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数 y＝ 的图象最多有两个公共点， 直接写出 h 的最大值．
轴于点 B，连接 OA．
（1）已知△AOB 的面积是 3，求 k 的值；
（2）将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ACD，且点 O 的对应点 C 恰
好落在该双曲线上，求 的值．
解：（1）∵双曲线 y＝ 上的一点 A（m，n），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B， ∴AB＝n，OB＝m， 又∵△AOB 的面积是 3， ∴ mn＝3， ∴mn＝6， ∵点 A 在双曲线 y＝ 上， ∴k＝mn＝6； （2）如图，延长 DC 交 x 轴于 E，