高等数学(下册)第九章
第九章习题答案高数下
作 业 9—1一.填空:1.已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且⎰⎰=Dd x yf 1)(σ，则⋅=b adx x f )(2 .解：⎰⎰=Dd x yf σ)(⎰⎰⋅=baydy dx x f 1)(21⎰⋅badx x f )( 故⎰⋅=badx x f )( 22.若D 是由1=+y x 和两个坐标轴围成的三角形域,且⎰⎰⎰⋅=Ddx x dxdy x f 1)()(ϕ,那么.=)(x ϕ)()1(x f x -解：⎰⎰=Ddxdy x f )(⎰⎰-⋅=xdy x f xdx 1010)(⎰⋅-10)()1(dx x f x ⎰⋅=1)(dx x ϕ二、单项选择题：1． 设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心在（-1，1）处，记1I =⎰⎰---12222D xy x y dxdy e;2I =⎰⎰---22222D xy x y dxdy e;3I =⎰⎰---32222D xy x y dxdy e.则1I ，2I ，3I 大小顺序为（ B ）。
A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤2I ≤1I D. 3I ≤1I ≤2I解：因为三个被积函数一样，均为正值，213D D D ⊃⊃，故2I ≤1I ≤3I 2. 设D 是第二象限的一个有界闭区域,且10<<y ，记1I =⎰⎰Dd yx σ3;2I =⎰⎰Dd x y σ32;3I =⎰⎰Dd x y σ321.1I ,2I ,3I 的大小顺序是( )。
A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤1I ≤2I D. 3I ≤2I ≤1I 解：因10<<y ，故212y y y <<，而03<x ，从而323321x y yx x y <<，选（C ）。
三．利用二重积分定义证明： 1．σσ=⎰⎰Dd （其中σ为D 的面积）解：ini iiDf d σηξσλ∑⎰⎰=→∆=⋅10),(lim 1i ni σλ∑=→∆⋅=11limσσσλλ==∆=→=→∑01lim limini故 σσ=⎰⎰Dd （其中λ是各iσ∆的最大直径）2．k d y x kf D=⎰⎰σ),(⎰⎰Dd y x f σ),( （其中k 为常数）解：=⎰⎰Dd y x kf σ),( ini iif σηξλ∑=→∆1),(lim i ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(limi ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(lim ⎰⎰=Dd y x f k σ),( （k 为常数）四．利用二重积分的性质估计下列积分的值： 1．}10,10|),{(,)(⎰⎰≤≤≤≤=+=Dy x y x d y x xy I 其中Ｄσ解： 10,10≤≤≤≤y x∴2)(0≤+≤y x xy∴⎰⎰⎰⎰≤≤+≤DDd d y x xy 22)(0σσ2．}4|),{(,)49(22⎰⎰≤+=++=Dy x d y x I ２２ｙｘ其中Ｄσ 解： 中在D ,422ππσ=⋅=,()22222249499yx y x y x ++≤++≤++2549922≤++≤y x∴ σσσ25)49(922≤++≤⎰⎰⎰⎰DDd y x d即 ππ10036≤≤I五．根据二重积分的性质比较下列积分的大小： 1．⎰⎰⎰⎰++DDd y x d y x σσ32)()(与其中积分区域D 是由圆周2)1()2(22=-+-y x 所围成。
高等数学下复旦大学出版社王中兴第九章课后答案
习题9.1 1、略2、（1D ≥≡，故DDσ>σ⎰⎰⎰⎰（2）()2x y +和()3x y +在D 上连续且()()23x y x y +≤+，()()23x y x y +≡+，故()()23DDx y d x y d +σ<+σ⎰⎰⎰⎰。
（3）()0ln ln 2x y ≤+≤，()()2ln ln x y x y +≡+，()()()2ln ln x y x y +≥+，()ln x y +和()()2ln x y +，()ln x y +和()()2ln x y +在D上连续，故()()()2ln ln DDx y d x y d +σ>+σ⎰⎰⎰⎰（4）2,1,2,3ii D I d i =σ=⎰⎰，故213I I I <<3、(),f x y 在D 上连续，故(),f x y 在D 上有最大值M 和最小值m 。
(),DDDmd f x y d Md σ≤σ≤σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰，(),DmS f x y d MS ≤σ≤⎰⎰。
（1）若0S =，则对任意的(),D ξη∈，()(),,Df x y d f S σ=ξη⎰⎰。
（2）若0S ≠，则()1,Dm f x y d M S ≤σ≤⎰⎰，由介值定理可知存在(),D ξη∈，()()1,,Df f x y d S ξη=σ⎰⎰，从而有()(),,Df x y d f S σ=ξη⎰⎰4、由中值定理可知存在(),t t f D ξη∈，()()2,,ttDf x y dxdy f t=ξηπ⎰⎰，从而由(),f x y 连续可得()()0=lim ,0,0t t t f f +→ξη=原式 5、由轮换对称性可知22cos cos DDy d x d σ=σ⎰⎰⎰⎰，21444x πππ≤+≤+，2sin4x π⎤⎛⎫+∈ ⎪⎥⎝⎭⎦，()222sin cos sin 4D Dx x d x d π⎛⎫+σ=+σ ⎪⎝⎭⎰⎰，因此，()()22221sin cos sin cos DDx y d x x d ≤+σ=+σ≤⎰⎰⎰⎰习题9.21、（1）()()()()2222220020=3232223x x dx x y dy xy y dx x x dx --+=+=+-=⎰⎰⎰⎰原式 （2）11220011=13412x dx dy y ππ=⨯=+⎰⎰原式（3）)21122200514201=2133322140xdx x y dy x y y x x x dx ⎛+=+⎝⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰原式（4）()2222221112320000111221100011=3611112666yy y y y y y e dy x dx y e dy y de y ee dy e e e --------==-⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰原式（5）=0原式（6）()2222240001=212r r d e r dr e e πθ=π=π-⎰⎰原式（7）()()()()11222200=ln 1ln 112ln 2144d r rdr r d r πππθ+=++=-⎰⎰⎰原式 （8）22242224401113=2264r d rdr d rdr πππθθθ=θθ==π⎰⎰⎰⎰原式 2、（1）()11=,xdx f x y dy ⎰⎰原式（2）()21=,x xdx f x y dy ⎰⎰原式（3）()120=,y y dyf x y dx -⎰⎰原式 （4）()()11111ln =,,e x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰原式3、（1）()20=cos ,sin R d f r r rdr πθθθ⎰⎰原式（2）()2sin 20=cos ,sin R d f r r rdr πθθθθ⎰⎰原式（3）()1210cos sin =cos ,sin d f r r rdr πθ+θθθθ⎰⎰原式（4）()sec 40sec tan =cos ,sin d f r r rdr πθθθθθθ⎰⎰原式4、（1）)asec 4400=sec ln1rd dr a d a rππθθ=θθ=⎰⎰⎰原式（2）a3420=8d r dr a ππθ=⎰⎰原式 5、()1112=04413xDx dxdy xdx dy x x dx -+==-=⎰⎰⎰⎰⎰原式 6、()623D V x y d =--σ⎰⎰，[][]0,10,1D =⨯11111111200621316235656257622xdx dy ydy dx xdx ydyxdx x =--=--=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7、()221DV xy d =++σ⎰⎰，[][]0,40,4D =⨯4444220442204423001116441685608161633x dx dy y dy dx x dx y dy x dx x =++=++=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8、2cos 42cos 3330165330=cos sin cos sin 41211394cos sin sin cos 14328416r d r dr d d d θππθππθθθ=θθθ⎛⎫⎛⎫=θθθ-θθθ=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰原式9、()()123222cos 332231=18cos 38161sin sin 183189d r dr d d ππππθππθ=-θθππ=--θθ=-+⎰⎰⎰⎰原式10、()()()()()1222220132301422233xxDM x y d dx xy dyx x x x dx -=+σ=+⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰11、01r ≤≤，123316r r r r ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭202Dd πσ=θ=π⎰⎰⎰121114400021226r r dr r dr ⎛⎫π-≤π≤π ⎪⎝⎭⎰⎰⎰10971122225551025ππ⎛⎫=π-≤π≤ ⎪⎝⎭⎰ 9761255165ππ> 因此，6121655D ππ≤σ≤12、（1）令u xy y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩，则11221122x u v y u v -⎧=⎪⎨⎪=⎩，()(),1,2x y u v v α=α 原式43221128ln 323u du dv v ==⎰⎰（2）令u x y v y x =+⎧⎨=-⎩，则()()1212x u v y u v ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，()(),1,2x y u v α=α()[][]()122211142240011,1,11,142122111214255945D u v dudv D du u u v v dv=+=-⨯-=++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰原式（3）令cos sin x ar y br =θ⎧⎨=θ⎩，()(),,x y abr r α=αθ 原式122042abd r abrdr ππ=θ=⎰⎰ （4） 令u x y v y =+⎧⎨=⎩，则x u v y v=-⎧⎨=⎩，()(),1,x y u v α=α()111112u vv uuu e du e dv uedu e udu -===-=⎰⎰⎰⎰原式 （5）令u x y v x y =-⎧⎨=+⎩，则()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()(),1,2x y u v α=α 1100011001cos cos 21sinsin1sin12v v v vu u dvdu dv du v vuv dv vdv v -=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（6）令u v ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x uy v ⎧=⎨=⎩，()(),4,x y ur u v α=α ()()()1111230001320144232222315uuu du u v urdv u v v duu u u u du --⎛⎫=+=+⎪⎝⎭=-++=⎰⎰⎰⎰原式习题 9.31、（1）23561156120001=4111428364xyxyxyD D x xy dxdy z dz x y dxdy x dx y dx x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）()()()131122001100=11111821621111115ln 22116216xyxy x yD x D xdzdxdy x y dx dxdy dx x y x y dx x y ----+++δ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭=--=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()()2020020=sin 1sin 1sin 111sin 1222xyxyx D D ydxdy zdzxy x x dxdy dx ydy x xx dx π-ππ-=-=π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（4）()2222221112=129x y y zdzdxdy z dz +≤+=π+δ=π⎰⎰⎰⎰原式（5）()222011=243xD xdx dydz x x dx =-=⎰⎰⎰⎰原式2、（1）2222233210002116=2223r d r dr dz r r dr π⎛⎫θ=π-=π ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰原式（2）()22112407=212rd rdr r r r dr πθ=π--=π⎰⎰⎰原式3、（1）（2）22cos 240022cos 34045404=sin cos sin cos 8sin cos 76a a d d r r drd d r dra d a ππϕππϕπθϕϕϕ=θϕϕϕ=πϕϕϕ=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）21402140=sin sin 122545d d r drd d r drππππθϕϕ=θϕϕ=π=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式4、（1）113201320=cos sin cos sin 18xyD xydxdy dz d r d d r drππ=θθθθ=θθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式22402340442400=sin cos sin cos 112sin 248aaad d r r drd d r dra r πππππθϕϕϕ=θϕϕϕπ=πϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）2cos 320242052=sin 1sin cos 41cos 2510d dr drd d ππϕπππθϕϕ=θϕϕϕππ=ϕ=⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()()52222223002450=55121104108xyxyD D x y dxdy x y dxdyr d r drr r π+⎛=+- ⎝⎛⎫=θ- ⎪⎝⎭⎛⎫=π- ⎪⎝⎭=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（4）()()2222420024200552=32sin 32sin 3415b a b a x y z dv d d rdrd d r drb a Ωππππ++=θϕϕ=θϕϕπ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式5、（1）()2222424300244220430=22256433x y zx y dv zdvdz d dr zd dxdyz dz z dz z ΩΩπ+≤++=θ+δ=π+π=π=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）设1Ω是由1z z ==所围成的有界闭区域，则))12222222222110021102=22232536x y x y z x y x y z z dv z dvdzdz zdz dxdy zdzdxdyΩΩ+≤+≤+≤+≤-=--+ππ=--π+=-π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()1222=4357xy z dv Ω++⎰⎰⎰原式，1Ω为Ω位于第一卦限的部分。
高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9_1基本概念
1 y
又如, z sin( x y ) , ( x, y ) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 的图形一般为空间曲面 . 三元函数 u arcsin( x 2 y 2 z 2 ) 定义域为 单位闭球
O
O
x
y
图形为
空间中的超曲面.
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则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心 邻域
P D Rn
常用
二元函数 (图形一般为空间曲面)
三元函数
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3. 多元函数的极限
P P0
lim f ( P) A
ε 0 , δ 0 , 当0 PP0 δ 时， 有 f ( P) A ε
4. 多元函数的连续性 1) 函数 f ( P) 在 P0 连续 有界定理 ; 最值定理 ;
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
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(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
y kx
k 值不同极限不同 !
高等数学下9_课件2.ppt
Wi P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi .
n
W Wi
近似值
i 1
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ].
i 1
n
取极限
W
lim
0
[P(i ,i ) xi
i 1
Q(i ,i ) yi ].
精确值
2.第二型曲线积分的定义 定义9.2 设C为xOy面内从点A到点B的一条有向光 滑曲线弧，函数 P(x,y)、Q(x,y) 在C上有界。在C上沿
n
Q(
x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
,
i
)
yi
.
n
R( x,
y,
z)dz
lim
0
i 1
R(i ,i ,
i
)zi .
依次为:
P( x, y, z) 在曲线弧 上对坐标 x 的曲线积分，
Q( x, y, z) 在曲线弧 上对坐标 y 的曲线积分，
R( x, y, z)在曲线弧 上对坐标 z 的曲线积分.
0
2π(πb2 a2 ).
z
⑵ C2 的参数方程为 x a, y 0, z t,0 ≤ t ≤ 2πb. • B(a,0,2πb)
D(a,0, πb)
2πb
W 0 (a t)dt
2πb(a πb).
C2 O
C1
•
x A(a,0,0)
y
9.2.2 第二型曲线积分计算
2.沿有向闭曲线的积分 ●对平面闭曲线 C，其上任一点都可看作既是起点， 又是终点.约定逆时针方向（图 9.5（a））称为 C 的正向， 顺时针方向（图 9.5（b））称为 C 的负向.
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高等数学教材下册目录第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义1.1.2 常用的数列极限1.1.3 函数极限的定义1.1.4 常用的函数极限1.2 极限运算法则1.2.1 有界函数的极限1.2.2 极限的四则运算法则1.2.3 极限的复合运算法则1.3 连续与间断1.3.1 连续函数的定义1.3.2 间断点与间断类型1.3.3 切线与连续函数的性质第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 微分中值定理2.1.3 罗尔中值定理2.2 常用函数的导数与微分2.2.1 幂函数与指数函数的导数2.2.2 对数函数与反三角函数的导数 2.2.3 反函数与隐函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 微分法的应用2.4 凹凸性与曲线的形状2.4.1 凹凸性的判定条件2.4.2 拐点与曲率第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质与运算3.1.3 定积分的几何应用3.2 不定积分与原函数3.2.1 不定积分的定义与性质3.2.2 基本积分公式与换元法3.2.3 分部积分法与定积分求值3.3 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用 3.3.1 牛顿—莱布尼兹公式的表述3.3.2 定积分的物理应用3.4 定积分的近似计算3.4.1 零散数据的近似积分计算3.4.2 定积分上和下的近似计算第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.1.1 微分方程的定义与解4.1.2 初等函数与初等微分方程4.1.3 常见的一阶微分方程4.2 可分离变量与线性微分方程4.2.1 可分离变量的微分方程4.2.2 线性微分方程的解法4.2.3 齐次和非齐次线性微分方程4.3 高阶线性微分方程4.3.1 高阶线性微分方程的解法4.3.2 常系数与非齐次线性微分方程 4.4 变量可分离与齐次微分方程4.4.1 变量可分离的微分方程4.4.2 齐次微分方程的解法4.5 常见微分方程的物理与几何应用 4.5.1 指数增长模型与对数增长模型 4.5.2 简谐振动与受阻振动4.5.3 驻点与稳定性分析第五章：向量与空间解析几何5.1 空间直角坐标系与向量的基本概念 5.1.1 空间直角坐标系的建立5.1.2 空间向量的定义与运算5.1.3 向量的数量积与数量积的几何应用 5.2 空间中的直线和平面5.2.1 空间中直线的方程及性质5.2.2 空间中平面的方程及性质5.3 空间曲面与二次曲线5.3.1 空间曲面的分类与方程5.3.2 二次曲线的分类与方程5.3.3 曲面与曲线的几何应用5.4 空间解析几何的应用5.4.1 空间几何的物理与工程应用5.4.2 空间几何的计算机图形学应用第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义与取值空间6.1.2 多元函数的极限与连续6.1.3 多元函数的偏导数6.2 多元函数的方向导数与梯度6.2.1 多元函数的方向导数6.2.2 多元函数的梯度与最速上升方向 6.3 多元复合函数与隐函数6.3.1 多元复合函数的求导法则6.3.2 多元隐函数的求导法则6.3.3 多元隐函数的微分与线性近似 6.4 多元函数的极值与条件极值6.4.1 多元函数的极值与极值判定条件 6.4.2 多元函数的条件极值与约束条件 6.5 多元函数的泰勒公式与误差估计6.5.1 多元函数的二阶泰勒公式6.5.2 误差估计与局部线性化第七章：重积分7.1 重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与性质7.1.2 二重积分的计算与重要定理7.2 二重积分与坐标变换7.2.1 极坐标系下的二重积分 7.2.2 广义换元公式与坐标变换 7.3 三重积分的概念与计算7.3.1 三重积分的定义与性质 7.3.2 直角坐标系下的三重积分 7.4 三重积分与坐标变换7.4.1 柱面坐标系下的三重积分 7.4.2 球面坐标系下的三重积分 7.5 重积分的应用7.5.1 重心、质心与形心7.5.2 质量、质心与转动惯量 7.5.3 重积分的物理与几何应用第八章：曲线积分与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质8.1.1 曲线积分的定义与性质 8.1.2 第一类曲线积分的计算 8.1.3 第二类曲线积分的计算8.2 曲线积分的应用8.2.1 质量、质心与转动惯量8.2.2 流量与环量8.3 曲面积分的概念与性质8.3.1 曲面积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的计算与重要定理 8.4 曲面积分的应用8.4.1 曲面的质量与曲面的质心8.4.2 流量与散度定理8.4.3 曲面积分的物理与几何应用第九章：无穷级数与傅里叶级数9.1 无穷级数的概念与性质9.1.1 数项级数的收敛性判定9.1.2 幂级数的收敛域与求和9.1.3 函数展开成级数9.2 函数项级数的点态与一致收敛性 9.2.1 函数项级数的定义与性质9.2.2 函数项级数的收敛定理9.3 傅里叶级数与傅里叶级数展开9.3.1 傅里叶级数的定义与性质9.3.2 傅里叶级数的收敛定理9.4 傅里叶级数的应用9.4.1 周期信号与频谱分析9.4.2 偏微分方程的分离变量法此为《高等数学教材下册》目录，供参考学习之用。
大学高数下册试题及答案第9章
大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
高等数学-第9章---(方向导数与梯度)
u
1 (6 x 2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n
的方向
z
导数.
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
Fx
故
Pn 4Fx xP,
4, Fy ,
Fy Fz
P
6 y P 6,
4, 6, 2,
Fz P
2z P
2,
n
42 62 22 2 14,
方向余弦为
cos 2 , cos 3 ,
x cos , y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
例 3 设n 是曲面2 x2 3 y2 z2 6 在点
P (1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
轴正向e1 {1,0} 、
y 轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
方向导数的几何意义
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
l
x0
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
《高等数学(下册)》 第9章
4 2 3 2
3 4
9.2 空间直角坐标系及向量坐标
9.2.1 空间直角坐标系
在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，把平面上的点与 二元有序实数组对应起来．同样，在空间解析几何中，通过建立空间 直角坐标系，也可以把空间的点与三元有序实数组对应起来．
如图所示，过空间一定点 O ，作三个两两垂直的单位向量 i ，j ，k ，就确定了三 条都以 O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 x 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、 z 轴（竖 轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为 Oxyz 坐标系或[O；i ，j ，k] 坐标系．通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上，而 z 轴则是铅垂线，它们的正向符合右
如果 (a ，b) 0 或 π ，就称向量 a 与 b 平行，记作 a ∥ b ；如果 (a ，b) π ，就 2
称向量 a 与 b 垂直，记作 a b ． 由于零向量与另一向量的夹角可以在 0 到 π 之 间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量是平行的，也可以认为零向量与任 何向量是垂直的．
9.1.3 二阶与三阶行列式
三阶行列式还可以按行（列）展开，转化为三个二阶行列式的和的形式．例如， 三阶行列式按第一行展开有
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
9.1.2 向量的线性运算
定理 1 设向量 a 0 ，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实 数 ，使 b a ．
证明 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性． 设 b ∥ a ．取 | | | b | ，当 b 与 a 同向时 取正值，当 b 与 a 反向时 取负值，
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
高等数学下册复习第九章(二重积分)
1 x2 0 0
典型例题
13 把下列积分化为极坐标形式 并计算积分值 （2） dx x y dy (4) dy (x y )dx 14 利用极坐标计算下列各题
a x 2 2 0 0
a
a2 y2
2
2
0
0
(2) ln(1 x y )d ， 其中 D 是由圆周 x2y2 1 及坐标轴
(x2
y 2 )]d
y 轴上半平面部分
定理3
设 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，若 D
关于原点对称，则
D
0 f x，y d 2 f x，y d D3
f x，-y ＝ f x，y ， x，y D f x，-y f x，y ， x，y D
第九章 二重积分
内容要点 一、二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义： 和式的极限
n
f ( i ,i ) i D f ( x , y )d lim 0
i 1
2.曲顶柱体的体积: V f ( x, y )d
D
平面薄片的密度: M ( x, y )d
将D分割, 如图. 则 2 2 xyf ( x y )d 0, D2 xd 0. D
D xd D1 xd
2
0 x3 xdx x 3 dy 1
0 4 dx x 1
2 , 5 2 . 5
所以, D x[1 yf
x 2 ( y )
D
c
c
x 2 ( y )
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第9章
定义1 在随机试验中，一次试验可能出现也可能不出现，而在大量
重复试验中却具有的某种规律性的试验结果，称为这些随机试验 的随机事件，简称事件。
随机事件通常用大写英文字母A，B，C， 表示。有时也用 { }表示，其中大括号内用文字或式子表述事件的内容。
基本事件 在每次试验中至少发生一个，也仅发生一个的事件
或统一表示为 Ai {有 i 粒发芽} （ i =0，1，2，3，…，50）
二、事件间的关系与运算
引例5 掷一枚骰子，观察出现的点数，考察以下事件：
A {出现奇数点}， B {出现的点数不小于4}， C {出现大于3的偶数点}。
1．事件的包含与相等
如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件B包含事件 A，或称事件A包含于事件B，记作 A B 。如图9-1所示。
例4 一个学生宿舍有6名学生，问： 〔1〕6个人的生日都在星期天的概率是多少？ 〔2〕6个人的生日都不在星期天的概率是多少？ 〔3〕6个人的生日不都在星期天的概率是多少？
解 设三个事件分别为A，B，C。由于每个人的生日可在7天中的
任何一天，且是等可能的，于是基本事件的总数为n 76 。
（1）事件A包含的基本事件数为
或
n
102，mA
72，P( A)
72 102
49 100
mB
C17 C13
C13C17
42，P(B)
42
102
21 50
P(B)
1
P(B)
1
72 102
32 102
第 9 章 概率论
本章内容
1 随机事件 2 随机事件的概率 3 条件概率和事件的独立性 4 随机变量及其分布 5 随机变量的数字特征
高等数学下册第09章知识图
第九章多元函数微分法及其应用多元函数的基本概念定义域①分母≠0②根号≥0③对数函数ln x里的对象x>0④tan x 中的x≠/2+k (k=0,±1,±2, ±3, …)⑤反三角函数arcsin x和arccos x中的x∈[-1,1]极限(1-4,5)，按如下方式计算1）利用平方差公式2）使用等价无穷小量：①x ～ sin x ～ arcsin x ～ tan x ～ arctan x②x ～ ln(1+x) ～ e x-1③1–cosx ～ x2/2连续(1-7,8)直接带入点坐标，计算结果偏导数偏导数(2-1,2,3,4)z=f(x,y)，对其中的每个变量求偏导数：f x,f y(求法与一元函数的微分法相同)高阶偏导数(2-6)由低阶偏导数去求高阶偏导数:f xx,f xy,f yx,f yy, …②f xxx,f xxy,f xyy,f yxx,f yyy,…全微分全增量全微分(3-1,2,3)多元复合函数的求导法则z=f(u,v) u=u(t)v=v(t)(4-1,2,3,4) z=f(u,v) u=u(x,y)v=v(x,y) ,z=f(u,v) u=u(x,y)v=v(y) ,隐函数求导F(x,y)=0 (5-1)F(x,y,z)=0 (5-2)F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0(5-3)求法1：直接对两个方称求偏导，利用解方程来计算求法2：直接带入公式(参看课本P86 隐函数存在定理3)：，，，空()()()x ty tz tϕψω=⎧⎪=⎨⎪=，，，切向量切”线”方程：)()()(tzztyytxxωψϕ'-='-='-间曲线Γ：)(βα≤≤t(6-1)))(,)(,)((tttTωψϕ'''=法平”面”方程：))(()()()()(=-'+-'+-'zztyytxxtωψϕ()()y xz xϕψ=⎧⎨=⎩切向量))(,)(,1(xxTψϕ''=切“线”方程：)()(1xzzxyyxxψϕ'-='-=-法平“面”方程：))(()()()(=-'+-'+-zzxyyxxxψϕF(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(6-5)切向量切“线”方程：法平“面”方程：空间曲面∑：),,(=zyxF(6-6)法向量000000000((,,),(,,),(,,))xyzn F x y zF x y zF x y z=切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x xxF x y z x x F x y z y yF x y z z z-+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx-=-=-),(yxfz=(6-7)0000((,),(,),1)xyn f x yf x y=--或0000((,),(,),1)xyn f x yf x y=-切平“面”方程：)())(,())(,(=---+-zzyyyxfxxyxfyx法“线“方程：1),(),(--=-=-zzyxfyyyxfxxyx方向方向导数（7-1,2）数值导数与梯度梯度(7-3)向量方向导数与梯度的关系(7-4,5)函数增加最快e l与梯度grad f(x0,y0)的方向相同函数减少最快e l与梯度grad f(x0,y0)的方向相反函数变化率为0 e l与梯度grad f(x0,y0)的方向正交多元函数极值的求法无条件极值(8-4)f x(x0,y0)=0f y(x0,y0)=0f xx(x0,y0)=Af xy(x0,y0)=Bf yy(x0,y0)=CAC-B2>0A>0，函数有极小值A<0，函数有极大值AC-B2<0，无极值AC-B2=0 无法判断条件极值(8-7,8)利用拉格朗日乘数法来进行计算：要找函数z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点，先做函数（其中λ为参数）分别对x,y求一阶偏导数，并使之为0，然后与附加条件联立，得方程组：解得x,y, λ,就得到z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点，再加以验证。
高数下第九章的答案
，即 ；又 在直线 上，
联立方程 解得
从而点 到直线 的距离为 .
9.5空间曲面
P.31.习题9.5
1.指出下列方程在平面解析几何和在空间解析几何中分别表示什么图形.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
解：（1） 在平面解析几何中表示平行于y轴的直线，在x轴上的截距为2； 在空间解析几何中表示平行于yoz面的平面，在x轴上的截距为2；
.
（3）已知非零向量a、b、c且满足 ，证明 .
（4）设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
证明：（1）
（2）
相加得 .
（3）已知 ，右乘b得 ，即 ；同理 ；
所以 .
（4）因为 ；
所以设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
南阳理工学院高等数学（下）课后答案选解
第九章向量代数与空间解析几何
9.1向量及其坐标表示
P.9习题9.1
2.已知一边长为a的正方体，现取正方体下底面的中心为原点，正方体的顶点在x轴、y轴上，求此正方体各顶点的坐标.
解：下底面的四个顶点分别是：
对应的上底面的四个顶点分别是：
3.求出点 到原点、各坐标轴及坐标面的距离.
；所求直线为 .
（5）过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
；则 ；联立
解得
所以，过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
.
2.用点向式方程及参数方程表示直线
解：设直线的方向向量为 ；在直线
上任取一点 ，则 解得
所以，点向式方程为 ；参数方程为
3.求直线 与平面 之间的夹角.
解：因为
高等数学下册(第9章)多元函数微分学及其应用教案
高等数学教学教案第9章多元函数微分学及其应用授课序号01),n x 的全体组成的集合称为{(R x n =),n x 称为n 维空间中的一个点，数维空间中任意两点(),,n P x 与),,n Q x 之间的距离为2222(()n n PQ y x y x +-++- 2中的一个平面点集，如果对于每个点D y x ∈),(，变量y x y x f ∈),(),(),n x 或),n x D ∈授课序号02授课序号03授课序号04授课序号05授课序号06设0M 为曲面∑上的一点，若∑上任意一条过点0M 的曲线在点0M 有切线，且这些切线均在同一平面内，则称此平面为曲面∑在点0M 的切平面，称过0M 而垂直于切平面的直线为∑在点0M 的法线. 称法线的方向向量（切平面的法向量）为∑在点0M 的法向量.1．设曲面∑的方程为(),,0=F x y z ，()0000,,M x y z 是曲面∑上的一点，曲面∑上过点()0000,,M x y z 的 切平面的方程为()()()()()()000000000000,,,,,,0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=. 法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.2．若曲面方程为(),z f x y =，曲面在点0M 的切平面方程为0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=， 法线方程为0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-.三．例题讲解例1 求曲线231,2,3x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩在点()2,3,4处的切线及法平面方程.例2 求曲线2226,x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点()1,2,1M -处的切线及法平面方程.例3 求椭球面222236x y z ++=在点()1,1,1处的切平面及法线方程.例4 求旋转抛物面221z x y =+-在点()2,1,4处的切平面及法线方程.例5 橄榄球运动是由足球运动派生出来的一项球类运动.因球形似橄榄，中国称为“橄榄球”.橄榄球运动分为英式橄榄球和美式橄榄球两大类.其中英式橄榄球相较于美式橄榄球更大、更短，如图9.22所示.（1）试建立橄榄球的空间曲面方程；（2）求上顶点处的切平面方程.图 9.22授课序号07。
高等数学同济版下第九章课件
割线 MM 的方程为:
xo y
xx0yy0zz0 点向式(对称式) x y z
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
空间直线的方程
割线 MM的方程为
xx0yy0zz0 x y z
z
M
M
xo y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t,
xx0yy0zz0, x y z
注意： 第二种情况中的三个雅可比行列式
(F,G),(F,G),(F,G)其 中 至 少 一 个 不 为 零 (y,z) (x,z) (x, y) 均 满 足 定 理 . 条 件
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6， x y z 0在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
则 曲 线 在M(x0, y0,z0)处 的 切 线 方 程
xx0 y y0 zz0
(z0) (z0)
1
法平面方程为
(z0)x (x0)(z0)y (y0)(zz0)0
类似的可以写 一点处方的程切和线法平面 . 方程
偏导数 (3,4,5 在 )处点 的值 6,8分 ,1,0 6,别 8,1为 0
由于 (F,G)
8 10
160 0
(y,z)
8 10
(3,4,5)
(F,G)
dz
dx
1,
dx(1,2, 1)
dx
由此得切向量 T {1 ,0 , 1 },
所求切线方程为 x1y2z1, 1 0 1
法平面方程为 ( x 1 ) 0 ( y 2 ) ( z 1 ) 0 ,
xz0
例3 求球x面 2 y2 z2 50与锥x面 2 y2 z2
高等数学下册第九章课件.ppt
(2) lim lim f (x, y) xx0 y y0 lim lim f (x, y) y y0 xx0 一般地，A1 A2
(x, y) (x0, y0 ) (x, y) (x0, y0 )
f A1
f A2
第一节 多元函数
例
设
f
(x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节 多元函数
多元函数的极限
定义 设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
解 函数 xy 的定义域为 D x, y xy 0 , 0,0 为 xy 1 1
D 的聚点.由积的极限运算法则,得
lim
xy
xy( xy 1 1) lim
( x, y)(0,0) xy 1 1 ( x, y)(0,0)
xy
lim ( xy 1 1) 2 . ( x, y)(0,0)
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时，有
f (x)－A ＜
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f
(x)
()0
x x0 P0 P ，因此，
f (x, y) f (x0 , y0 ) cos x cos x0
高等数学下册复旦大学出版社第九章答案(黄立宏著)
故切线方程为
x
π 1 y 1 z 2 2 2 . 1 1 2
法平面方程为
x
即
π 1 y 1 2( z 2 2) 0 2
π x y 2z 4 0. 2
3. 证明：螺旋线 x = acost, y = asint, z = bt 的切线与 z 轴形成定角。 证明： x a sin t , y a cos t , z b. 螺旋线的切向量为
(2) z = e2x(x+y 2+2y); (4) z = (x2+y 2) e
( x2 y 2 )
;
得驻点为（0,0） ,(0,2),(2,0),(2,2). zxx=6x－6, zxy=0, zyy=6y－ 6 2 在点（0，0）处，A=－ 6，B=0，C=-6，B －AC=－36<0，且 A<0,所以函数有极大值 z(0,0)=0. 在点（0， 2）处，A =－6，B =0， C=6，B 2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2， 0）处，A =6，B =0， C=－ 6，B 2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2， 2）处，A =6，B =0， C=6，B2－AC=－36<0，且 A >0,所以函数有极小值 z(2,2)=-8.
习题九
1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x=asin2t,y =bsint cost,z=c cos2t,点 t (2)x2+y 2+z2=6,x+y+z=0,点 M0(1,-2,1); (3)y2=2mx,z2=m-x,点 M0(x0,y0,z0). 解： x 2a sin t cos t , y b cos 2t , z 2c cos t sin t 曲线在点 t
高等数学第9章知识点
z
Fx
k
D
x(x, y)
(x2
y2
a2
3
)2
d,
Fy
k
D
(x2
y(x, y)
y2 a2
)
3 2
d
,
M0(0,0,a)
O
y
x
(x, y,0)
D
Fz
k
D
a(
(x2 y2
x,
y) a2
)
3 2
d
,
k为引力常数
第九章 重积分习题课—天津大学 数学学院
22
二、三重积分的主要内容
1、三重积分的定义
b) 若f (x, y, z)关于x是偶函数，即 f (x, y, z) f (x, y, z),
则 f (x, y, z)dV 2 f (x, y, z)dV.
1
第九章 重积分习题课—天津大学 数学学院
32
a) 若f (x, y, z)关于y是奇函数，即 f (x, y, z) f (x, y, z),
z
(１) 直角坐标系下
先投影，再穿区域
a) 投影法（“先一后二”、“穿针法”）
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
上下型: : z1(x, y) z z2(x, y);
O a
穿入曲面 a x b,
穿出曲面 b
y1 ( x) y y2 ( x).
x
（投影区域）
1
r1 ( , )
第九章 重积分习题课—天津大学 数学学院
30
4、三重积分的对称性
z
a) 若f (x, y, z)关于z是奇函数， 即 f (x, y,z) f (x, y, z),
高等数学第五版下册第九章知识点总结
高等数学第五版下册第九章知识点总结咱今儿就来说说这高等数学第五版下册第九章的知识点啊。
我跟你说，这高等数学啊，就像一座大山，你得一点点儿往上爬，才能看到那山顶的风景。
这第九章啊，那也是这大山里头挺关键的一段路。
我还记得我当年学这部分内容的时候，那真是一头雾水啊。
坐在那教室里，眼睛盯着黑板，老师在上面写写画画，我在下面脑袋里跟浆糊似的。
看着那些密密麻麻的公式和符号，我心里就犯嘀咕：“这都是啥玩意儿啊？”咱先说说这第九章里的多元函数微分学这一块儿。
这多元函数啊，就好比是一个大家庭，不像以前咱学的一元函数那么简单，一个人吃饱全家不饿。
这多元函数得考虑好多方面呢，就像家里头有老有小，每个人的需求都得照顾到。
比如说那偏导数，它就像是这个大家庭里的一个调皮鬼。
你得盯着它，看它在不同方向上的变化。
我跟你讲啊，算偏导数的时候，那可得细心点儿，稍微一马虎，就像做饭的时候盐放多了或者放少了，那味儿可就不对了。
还有那全微分，这玩意儿就像是给这个多元函数穿上了一件合身的衣服，把它各个部分都给严严实实地包裹起来，让你能清楚地看到它的整体变化。
我当时学全微分的时候，那真是绞尽了脑汁，草稿纸都用了一堆。
有时候算着算着，就觉得自己好像掉进了一个数字的迷宫里头，怎么也找不到出口。
再说说这多元复合函数求导法则。
这可真是个让人头疼的家伙。
它就像一个复杂的人际关系网，你得搞清楚谁跟谁有关系，谁又影响着谁。
我那时候啊，为了搞懂这个法则，天天拿着书在宿舍里琢磨，室友都笑话我，说我像着了魔似的。
不过啊，等你真把这些知识点都搞明白了，那感觉就像打了一场胜仗似的，心里别提多高兴了。
就好像你在爬山的路上，终于翻过了一座陡峭的山峰，眼前突然出现了一片美丽的风景。
咱再聊聊这多元函数的极值和最值问题。
这就好比是在生活中找最优解一样。
你想啊，我们做很多事情都希望能做到最好，这多元函数的极值和最值就是帮我们找到那个最好的答案。
有时候，你算着算着，突然发现找到了那个极值点，就像在黑暗中找到了一盏明灯，那种成就感啊，真让人忍不住想欢呼雀跃。
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第一节 多元函数
(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集称为 E 的导集 .
例 集合 E x, y | x2 y2 1 2，3
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节 多元函数
多元函数的极限
定义 设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
集合 U M0, x, y | x x0 2 y y0 2 称为点 M0 x0, y0 的邻域
集合 U M0, x, y | 0 x x0 2 y y0 2 称为点 M0 x0, y0 的空
第九章 多元函数微分学
一元函数微分学 推广
多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
第九章 多元函数微分法
第一节 多元函数 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的微分法 第五节 隐函数的微分法 第六节 多元函数微分学在几何中的应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值与最值
第一节 多元函数
邻域
(1)一元函数中，x 的取值：数轴上的区间、邻域
集合 U a, x | a x x 称为a 的 邻域
o
集合 U a, x | x a, a x x 称为 a 的 空心邻域
(2)二元函数中， (x, y) 的取值：平面上的邻域
多元函数的概念 长方体的体积
定量理想气体的压强 x y
大气污染指数的运算模型
其中x表示单位体积空气中固体污染物的数量，y表 示单位体积空气中气体污染物的数量.
第一节 多元函数
定义 设非空点集 在 D 上的 n 元函数 , 记作
映射
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) ,P D
解 满足 0 x2 y2 1 的 一 切点 x, y 都 是 E 的 内 点； x2 y 2 1 的一切点 x, y 都是 E 的外点； 0,0 是 E 的边界点 不属于 E ，满足 x 2 y 2 1的一切点 x, y也是 E 的边界点它们
都属于 E 点集 E 以及它的边界E 上的一切点，即满足 x 2 y 2 1
的距离记作
规定为
Rn 中的点 x (x1, x2 , , xn ) 与零元 O 的距离为
x x12 x22 xn2 当n 1, 2,3时, x 通常记作 x .
R n 中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0 记作 x a.
Rn 中点 a 的 邻域为
第一节 多元函数
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f (x)
()0
f (x) 0 A 0 f (x) 0 A 0
第一节 多元函数
二元函数的极限
(1) lim f (x, y) A 0, 0, xx0 y y0 当 0 x x0 2 y y0 2 时，有 f x, y A
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ;
D
连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
第一节 多元函数
例 设平面点集 E x, y0 x2 y 2 1 ，确定集 E 的内
点、外点、边界点及聚点.
一元函数的极限
lim
x xo
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时，有
f (x)－A ＜
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
的点都是 E 的聚点
第一节 多元函数
n 维空间 n 元有序数组 记作 Rn , 即
Rn RR R
的全体称为 n 维空间,
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
一个点,
称为该点的第 k 个坐标 .
当所有坐标
称该元素为 Rn中的零元,记作 O .
第一节 多元函数
Rn 中的点 x (x1, x2 , , xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
x, y 以任何方式趋于 x0，y0 时 ，有
心邻域
第一节 多元函数
区域
E
(1) 内点、外点、边界点
设有点集 E 及一点 P :
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
则称 A 为函数
记作
lim f (P) A(也称为 n 重极限)
PP0
当 n =2 时, 记 PP0
(x x0 )2 ( y y0 )2
二元函数的极限可写作：
lim f (x, y) A lim f (x, y) A
0
x x0
y y0
第一节 多元函数
内点：x2 y2 1 ； 边界来自：x2 y2 1 以及点2，3
聚点：x2 y2 1
第一节 多元函数
(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ; 若点集 E E , 则称 E 为闭集；