运筹学及其应用10.2 最短路问题

3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 ∞,1
11,4
∞,1
v8
18
v2 5,3 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
19
v2 5,3 1
9
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
10
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
11
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
22
v2 5,3 1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
从v1 到 v8 的最短路的长度为：12
7
这是因为从v1到达v4的任一条路P，假如不是
（v1 ,v4），则必先沿（v1 ,v2）到达v2，或者沿 （v1 ,v3）到达v3，而这时的路程已是6或者3单位。 由于所有的权wij ≥0，因此，不论他如何再从v2 或 者v3 到达v4 ，所经过的总路程都不会比1少，于是 就有d（v1 ,v4）=1。这样就使v4 变成具有P标号的 点。现在看从v1 和v4指向其余点的弧。如上所述，
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
11,4
∞,1
v9
3
∞,1
v8
14
v2 15,53 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
11,4
∞,1
v9
3
∞,1
v8
15
v2 5,3 1
6 2
v1
经过这个交通网到达v8，要寻求总路程最短的线路。
v2 1
v5
2
v9
6 2
6
3
v1
3 v3 6
1
2
3 4 10
4
v8
v4
10
2 v7
v6
2
从v1到v8：
P1=（v1，v2，v5，v8）
费用 6+1+6=13
P2=（v1，v3，v4， v6， v7， v8） 费用 3+2+10+2+4=21
P3= ……
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
12
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4v6ຫໍສະໝຸດ 2v7∞,1
11,4
∞,1
v9
3
∞,1
v8
13
v2 16,51 1
6 2
下面介绍在一个赋权有向图中寻求最短路 的方法——Dijkstra算法，它是在1959年提出来 的。目前公认，在所有的权wij ≥0时，这个算法 是寻求最短路问题最好的算法。并且，这个算法 实际上也给出了从一个始定点vs到任意一个点vj 的最短路。
5
Dijkstra算法的基本思想是从vs出发，逐步向外寻找 最短路。
在运算过程中，与每个点对应，记录一个数，叫做
一个点的标号。它或者表示从vs到该点的最短路权 （叫做P 标号），或者表示从vs到该点最短路权的 上界（叫做T 标号）。
算法的每一步是去修改T标号，把某一个具有T 标号
的点改变为具有P 标号的点，使图D中具有P 标号的
顶点多一个。这样，至多经过n-1 步，就可求出从vs
到各点vj 的最短路。
6
以例题说明这个基本思想。在例中，S=1。因 为Wij ≥0，d（v1 ,v1）=0。这时，v1是具有P标号的 点。现在看从v1出发的三条弧（v1 ,v2），（v1 ,v3） 和（v1 ,v4）。如果一个人从v1出发沿（v1 ,v2）到达 v2，这时的路程是d（v1,v1）+w12=6单位。如果从v1 出发，沿（v1 ,v3）到达v3 ，则是d（v1 ,v1）+w13=3 单位。同理，沿（v1 ,v4）到达v4，是d（v1, v1） +w14=1单位。因此，他从v1出发到达v4的最短路必 是（v1 , v4），d（v1 ,v4）=1。
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
11,4
∞,1
v9
3
∞,1
v8
16
v2 5,3 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 ∞,1
11,4
∞,1
v8
17
v2 5,3 1
6 2
v1
从v1出发，分别沿（v1 ,v2），（v1 ,v3）到达v2，v3，
经过
8
的路程是6或者3单位。从v4出发沿（v4 ,v6）到达 v6，经过的路程是d（v1,v4）+ w46=1 +10=11单位。 而min {d（v1 ,v1）+w12，d（v1 ,v1）+w13，d（v1 ,v4） +w46}=d（v1,v1）+w13=3单位。根据同样的理由， 可以断定，从v1到达v3的最短路是（v1,v3），d （v1,v3）=3。这样，又使点v3变为具有P标号的点， 不断重复以上过程，就可以求出从vs到达任一点vj 的最短路。
v2 1
v5
2
v9
6 2
6
3
v1
3 v3 6
1
2
3 4 10
4
v8
v4
10
2 v7
v6
3
最短路问题：
设一个赋权有向图D=（V，A），对于每一个弧a =(vi ,vj)， 相应地有一个权wij , vs ,vt是D中的两个顶点，P 是D中从vs 到vt 的任意一条路，定义路的权是P 中所有弧的权的和， 记作S(p)。
从v1 到 v8 的最短路线为：
v1
v3 v2 v5 v8
23
步骤：
1、给起点一个永久标号（0，0）。标号中的第一 个数表示从起点到该点的距离；第二个数表示该点 的前面没有点了。
2、修改非永久标号点 vi 的临时标号为 (a,b), 其中 a 为以 vi 为终点的弧长，如果其起点为永久标号，则 求其永久标号的第一个数与弧长的和，如果这样的 和有多个，则取最小值。b为前一个点的下标。
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
20
v2 5,3 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
21
v2 5,3 1
3、在临时标号中取第一个标号的最小值，将该标 号改为永久标号，再返回到 2步
24
作业： P254 6.1
25
无向图上的Dijkstra算法
方法： 1. 无向变有向 2. 寻找邻点时注意区别 结果：
所有顶点都有标号； 最优结果不会劣于相应有向图的最优结果。
26
注：含有负权的最短路
v1 2
1 v2
§10. 2 最短路问题
一.引言 最短路径问题是图论中十分重要的最优化问
题之一，它作为一个经常被用到的基本工具，可以 解决生产实际中的许多问题，比如城市中的管道铺 设，线路安排，工厂布局，设备更新等等。也可以 用于解决其它的最优化问题。
1
例 如图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字
表示这条单行线的长度。现在有一个人要从v出发， 1
-3 v3
Dijkstra算法失效
27
最短路问题就是要在所有从vs到vt的路P中，寻找一个权最 小的路P0 ，即S(P0)=minS(p)。P0 叫做从vs到vt的最短路。
P0的权S(P0) 叫做从vs到vt 的距离，记作d（vs，vt）。
由于D是有向图，很明显d（vs，vt）与d（vt，vs）一般不
相等。
4
二.Dijkstra算法（双标号法）