圆中的分类讨论典型例题讲解

圆中的分类讨论

、知识点回顾 由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。 如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条 直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。

因此，求 解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。 二、典型例题 一、点与圆的位置关系不唯一性

例1 :若所在O 0所在平面内一点 P 到O 0上的点的最大距离为 a ，最小距离为b (a

>b ),则此圆的半径为( a + i

A 、—

"V

分析： P 可能在圆内，也可能在圆外。 ⑴P 在圆内时。如图 1-1。 连接0、P 所在的直线交O 0于A 、B 。 贝y PA=a , PB=b 直径 AB=PA+PB=a+b ⑵P 在圆外时。如图 1-2。 此时直径 AB=PA — PB=a — b ,半径 0A=0B=1/2 AB=1/2 (a — b ) 由⑴⑵可知，应选(C )。 0A=0B=1/2 AB=1/2 (a+b

)

二、弦与弦的位置关系不唯一性

例2 :O 0的半径为5cm ，弦AB // CD , AB=6cm , CD=8cm ，贝U AB 与CD 之间的距 离是(

(A ) 7cm (B ) 8cm (C ) 7cm 或 1cm 分析：弦AB 与CD 可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。 (D1cm

* _____ . ___ B 圏2—1

图2—3

与CD 在圆心 如图2-1。 过0作弦AB 的垂线，交 AB 于M ,交CD 于N 。连接 0B , 0D 。 •/ AB / CD , 0M 丄 AB , 0N 丄CD

⑴弦AB 的同侧。

由垂径定理，BM=1/2AB=3cm , DN=1/2CD=4cm ，又 OB=OD=5cm 在 Rt △ BMO 中，OM 2=OB 2-

BM 2=16cm ，求得 OM=4，同理 ON=3cm

••• MN= OM — ON=4 — 3=1 cm

⑵弦AB 与CD 在圆心的异侧。如图 2-2 。 此时，MN=OM+ON=4+3=7cm

故选（C ）。

例3 :如图，已知 AB 是O O 的直径，AC 是O O 的弦，AB=2 , AC= V2，在图中画出 弦AD ，使

AD 等于1，并求出/ CAD 的度数。

分析：弦AC 与弦AD 可能在直径 AB 的同侧，可能在直径~~AB 的异侧。

如图3-1。

连 OC 、OD 。由 OC=OD=1/2 AB=1 , AC= V2

2 2 2

•- OC +OD =AC •••/ AOC=90 °，/ CAO= / ACO=45 又 OA=OD=AD ，•/ DAO=6O °

•••/ DAC= / DAO — / CAO=15 ° ⑵弦AC 与弦AD 在直径AB 的异侧。

此时，/ DAC= / DAO+ / CAO=115 ° 三、点在直径上的位置不唯一性

例4 :已知O O 的直径 AB=10cm ，弦CD 丄AB 于点于点 M 。若OM : OA=3 : 5 , 则弦AC 的长为多少?

•/ AB 是直径，弦CD 丄AB

•••在 Rt △ OMC 中， MC 2=OC 2-OM 2=16cm ，求得

又 AM=OA — OM=2cm __________________________

•••在 Rt △ AMC 中，AC 2=AM 2+MC 2=22+42=2O (cm ),求得：AC=4 V5

⑴弦AC 与弦AD 在直径AB 的同侧。 分析：垂足M 可能在半径 OA 上，也可能在半径

连接 OC 。

AB=5cm , 又 OM : 5,-・. OM=3cm 上。如图4-1。

OC=OA=1/2

MC=4cm

C

B

B

E3-2

B ⑴M 在半径 OA

OA=3 : OB 上。

£

^4-2

⑵M 在半径 OB 上。如图4-2. 此时，AM=OA+OM=8cm

2 2 2 2 2

AC =AM + MC =8 +4 =80 (cm )，求得 AC=4 V5.

四、弦所对圆周角的不唯一性 例5:圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为(

周角也有两个，并且这两个圆周角互补。

如图5。劣弧所对的角为/ ACB ，优弧所对的角为/ ADB 。 由 AB=OA=OB ,•••/ AOB=60 °

•••/ ACB=1/2 / AOB=30 °

/ ADB=1/2 (360 °-/ AOB ) =1/2

(360 °- 60 °) =150

五、圆与圆的位置关系不唯一性

(B ) 60 (A ) 30 °或 60 分析：弦(不是直径)所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧, (C ) 150

(D ) 30。或 150 因

此，一条弦所对的圆

_ 例6 .如果两圆相切，两圆的圆心距为 8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是

( )。 (A) 5cm

(B) 11cm (C ) 3cm (D )11cm 或 5cm

分析：圆与圆相切， 可能是内切，也可能是外切。 ⑴两圆外切。如

AB=8+3=11cm

图 6-1

。

故选(D )

分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。

⑴圆心在公共弦的异侧。如图 7-1 O 连接0i A , 02A0由圆的对称性，

0i 共弦 ABo••• AD=1/2AB=3

在 Rt △ A O 1D 中，O i D= O I A 2

-AD 2

=16 , O i D 2=4

2 2 2

在 Rt △ A O 2D 中，O 2D=O 2A-AD =7, O 2D= 7

••• O O = O D+ O D=4+ 7

⑵圆心在公共弦的同侧。如图

此时，O 1 O 2= O 1D — O 2D=4 —V 7

共弦长6cm ，则这两个圆的圆心距为(

图 6-2 O 故选(D ) 、. 相交

位 置关

的 半径

,公

02垂直平分公

7-2 O