运筹学课件 第四节 0—1型整数规划

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分析：
如果生产第j种产品，xj>0. 约束条件xj<=Mjyj,yj=1; 如果不生产第j种产品， xj=0.约束条件 xj<=Mjyj,yj=1或0。当 yj=1不利于目标函数的最大 化，因此在最优解必然是 yj=0。
件， M 1 100 ,
50 , M
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34
运 设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
产品3
a32
机床2
a33
机床3
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解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有
产品1:x11+a11≤x12 ; x13+a13≤x14
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4 求解： 7 C 6 6 6 0 0 0 0 0
当y1=1,y2=0;采用 新工艺,(2)式成立;
1 2
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p 个约束条件
a
j 1
p
ij
x j b i ( i 1, 2 ,..., p ) p 个 0 1变量
选择 q 个约束条件，引入
0 , 选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p ) yi 1, 不选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p )
约束条件组
n a ij x j b i My i j 1 st . ( i 1, 2 ,..., p ) p yi p q i 1
在约束条件中保证了在P个0-1 变量中有p-q个1,q个0;凡取值 =0的yi对应的约束条件为原约束 条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
运算36次
min Z 7 x 2 3 x1 x 4 x 3 3 x1 7 x 2 x 3 x 4 1 x1 2 x 2 6 x 3 4 x 4 8 st . 5 x1 3 x 2 x 4 5 x , x , x , x 1or 0 1 2 3 4
运算30次
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练习：使用一等价的整数规划表述下面的问题
max z 3 x 7 y 2 x y 25 st . x 2y 6 y 0 , x 只能等于 0， 4， 1， 6
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max z 3 x 7 y 2 x y 25 st . x 2y 6 x 0 y1 1 y 2 4 y 3 6 y 4 y1 y 2 y 3 y 4 1 y 0 , y , y , y , y 1or 0 1 2 3 4

i 1
n
n
c ij x
j
j 1
n x ij 1 i 1 n st . x ij 1 ( i , j 1, 2 ,..., n ) j 1 x ij 1or 0
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例1：某商业公司计划开5家新商店，商业公司决定由5家建筑 公司分别承建。已知建筑公司Ai(i=1,2…5)对新商店Bj(j=1…5) 的建筑费用报价Cij.问题：商业公司对5家建筑公司如何分配任 务，才能使总的建筑费用最少？ Cij Ai Bj
有限要素 E 1, E 2 ,... E n , 每项 E j 有两种选择 1, E j 选择 A j xj 0 , E j 选择 A j
T (1,1,..., 1) T , 选择（ A1,... A n） T ( x1 ,... x n ) : T (1,1,..., 0 ) T , 选择（ A1,... A ） n
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例：固定费用问题 有三种产品被用于生产三种产品，资源量、产品单件费用、 资源消耗量以及生产产品的固定费用。要求制定一个生产计 划，总收益最大。
消耗 资源 产品
一、0—1规划数学模型
产品1
产品2
产品3
资源量
A
B C
2
2 1
4
3 2 5 150 10
8
4 3 6 200 12
500
300 100
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例 工件排序问题
使用4台机床加工3件产品.各个产品的机床加工顺序以及产品i在机床j 上的加工时间 aij见表.由于某种原因,产品2的加工总是件不得超过d.现 在要求各件产品在机床上的加工方案,使在最段时间内加工完全部产品.
产品1 a11 机床1 产品2 a21 机床1 a23 机床2 a13 机床3 a14 机床4 a24 机床4
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第四节
0—1型整数规划
一、0-1变量及其应用 某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简化为0或1， 1代表选择，0代表不选择。
选取某个特定方案 1, 当决策选取方案 x 0 , 当决策不选取方案 问题含有较多的要素， 每项要素有 2 种选择，用 Aj, A j 0 1变量描述。
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二、0-1型整数规划的解法
求解思路： 检测可行解的目标函数值，根据其目标函数值可以产生一个 过滤条件，对于目标函数数值比它差的变量组合删除，这样 有效减少运算次数，使最优解快速找到。
例：求解 0 1整数规划 max Z 3 x 1 2 x 2 5 x 3 x1 2 x 2 x 3 x 4 x2 x3 1 st . x1 2 x 2 4 x2 x3 x1 , x 2 , 2 2 2 2 x 3 1or 0 (a ) (b ) (c ) (d )
（2）再从所得矩阵的每列中减去该列最小元素。
步骤2：在变换后的系数矩阵中确定独立零元素。以最少数目的 水平线和垂直线划去所有的零元素。如果所用的直线等于行或 列数，则结束指派。否则继续。 步骤3：找到没有被划去的最小的元素，所有没有被划中的元素 减去这一最小值。在被直线覆盖的元素中出现负元素，为消除 负元素，则要加上这一最小值。再返回到第二步。最后根据零 元素的位置，确定最优分配方案。
产品2:x21+a21≤x22 ; x23+a23≤x24 产品3:x32+a32≤x33 ; 2.每一台机床对不同产品的加工顺序约束 一台机床在工作中,如果已经开始加工还没有结束,则不能开始加工另一件产 品.对于机床1,先加工1不能加工2.
为了容纳两种相互排斥的约束条件,对于每台机床,分别引入0-1变量:
B1
B2
B3
B4
B5
A1
A2 A3 A4 A5
4
7 6 6 6
8
9 9 7 9
7
17 12 14 12
15
14 8 6 10
12
10 7 10 6
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解：标准指派问题。设
0 1变量
1, A i 承建 B j x ij ( i , j 1, 2 ,... 5 ) 0 , A i 不承建 B j min Z 4 x 11 8 x 12 7 x 13 ...... 6 x 55 n x ij 1 i 1 n st . x ij 1 ( i , j 1 ... 5 ) j 1 x ij 1or 0
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0 , 先加工某种产品 yj 1，先加工另外产品
（ j 1, 2 , 3 , 4）
机床1:x11+a11≤x21+My1 ; x21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x22+a22≤x32+My2 ; x32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x13+a13≤x33 +My3 ; x33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x14+a14≤x24 +My4 ; x24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1. 3.产品2的加工总时间约束
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解：求解过程可以列表表示：
(x1,x2,x3)
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值
0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件 a b c d
过滤条件
z ≥0 z ≥5
z ≥8
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在求解0-1整数规划问题，为了进一步减少运算量，常按照目标函数中 各个变量系数的大小顺序重新排列各个变量，以便于最优解有可能较早 出现。
对于最大化问题，可以按照从小到大的顺序排列；
对于最小化问题，可以按照从大到小的顺序排列；
min Z 3 x1 7 x 2 x 3 x 4 3 x1 7 x 2 x 3 x 4 1 x1 2 x 2 6 x 3 4 x 4 8 st . 5 x1 3 x 2 x 4 5 x , x , x , x 1or 0 1 2 3 4
产品2的开始加工时间x21,结束家工时间为x24+a24,所以
x24+a24-x21≤d 4.目标函数的建立 由于三件产品的加工时间分别为x14+a14,x24+a24,x33+a33,全部产品的实际 加工时间为:w=max(x14+a14,x24+a24,x33+a33) Minz=W st. W≥x14+a14, W≥ x24+a24, W≥ x33+a33
y1 0 , B 采用原加工方式 1, B 不采用原加工方式 多余的约束 0 , B 采用新加工方式 1, B 不采用新加工方式
y2
0 . 3 x 1 0 . 5 x 2 150 My st . 0 . 2 x 1 0 . 4 x 2 120 My y1 y 2 1
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指派问题解法：匈牙利解法 解法思想：
若从系数矩阵C的任何一行（列）各元素中分别减去 一个常数K（K可正可负）得到新矩阵C’,则以C’为系 数矩阵的指派问题与原问题有相同的解，但最优值 比原问题最优值小K。
匈牙利法条件： MIN、i=j 、Cij≥0
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匈牙利法的主要步骤： 步骤1：变换系数矩阵，使在各行各列都出现零元素。 （1）从矩阵C的每行元素减去该行的最小元素；
单件费用 4 固定费用 100 单件售价 8
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解：xj是生产第j种产品的产量。 总收益等于销售减去所生产的产品的总费用。建立数学模型时，无法确 定某种产品是否生产，不能确定相应的固定费用是否发生，用0-1变量解 决此问题。
1, 生产第 j 种产品（ x j 0） yj 0 , 不生产第 j 种产品（ x j 0） max Z 4 x1 5 x 2 6 x 3 100 y 1 150 y 2 200 y 3 2 x1 4 x 2 8 x 3 500 2 x 3 x 2 4 x 3 300 1 x1 2 x 2 3 x 3 100 x1 M 1 y 1 st . x2 M 2 y2 x3 M 3 y3 x j 0 且为整数 y j 1或 0 M j 为 x j的上界 , 例如根据第三个约束条 M
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小结: 0-1型整数规划的应用。 作业: 5.9(1)

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第五节 指派问题
一、指派问题的标准形式及其数学模型 标准形式（以人和事）：有n个人作n件事情，已知第j人做第j 件事情的费用Cij; 要求：确定人和事之间一一对应的指派问题。
标准指派问题的数学模 型 1, 指派第 i 人做第 j 事 x ij （ i , j 1, 2 ,.. n ） 0 , 不指派第 i 人做第 j 事 min Z