【2020石嘴山三中三模】宁夏石嘴山市第三中学2020届高三第三次模拟考试数学(文)试题

石嘴山三中2020届高三年级第三次模拟考试
数学（文科）试卷
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}
2
,B x x n n A ==∈，则A B =I （ ）
A ．{1,2}
B ．{1,4}
C ．{1,2,3,4}
D ．{2,3}
2．91i 1i
+=- （ ）
A ．1-
B ．i -
C ．1
D ．i
3.设112
3
13
13,log 2,3a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则( ) A. b c a << B. c b a << C. c a b << D.b a c <<
4.“01x <<”是“2sin sin x x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是
A. 33
B. 33
C.
12π D. 1
4π
6.如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32
7.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A ．8
43π+
B ．8
83
π+
C ．88π+
D ．84π+
8.已知()
π3
cos 45α-=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则sin cos αα-=（ ）
A. 725
B. 725
-
C.
42
5
D. 42
5
-
9.已知数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则
1
a d
=（ ） A. 4 B. 3
C. 2
D. 1
10.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c C
b b B
-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ）
3
B. 2
C.23
D. 43
11.已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，其导函数为
()f x '，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫
<⋅ ⎪⎝⎭
的解集为
（ ）
A ．,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12.已知椭圆22
221x y a b
+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45o 的直线与椭
圆交于,A B 两点，且112F B AF =u u u r u u u r
，则椭圆的离心率=（ ）
A. 3
B.
2
C.
2
D.
3
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
13.平面向量a r 与b r 的夹角为45o
，(1,1),1a b =-=r r ，则2a b +=r r ______．
14.已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 坐标为______；若双曲线
22
21(0)2
x y a a -=>的一个焦点与点F 重合，则该双曲线的渐近线方程是______． 15.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元3/m ，侧面造价是10元3/m ，则该容器的最低总造价是________元．
16.已知函数223,1
()2,1x x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩，则函数(())y f f x =图象与直线4y =的交
点个数为__________．
三、解答题（本大题共7小题，共70分） 17.（本小题满分12分）
设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12-=n
n S ，等差数列{}n b 满足2,3463=-=b b b ．
（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．
18.（本小题满分12分）
下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额单位：万元，其中年份代码2013-=年份x ．
年份代码x 1 2 3 4 线下销售额y
95
165
230
310
（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；
（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？
参考公式及数据：∑∑∑∑=-=-
-=-
-
=-Λ
--=
---=
n
i n
i i n
i i
i n
i i
x
n x
y x n y
x x x
y y x x
b 1
2
2
11
1
2
1
)()
)((，，，
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠BAD 为直角，AB ∥CD ， PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝4，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （1）证明：平面APD ∥平面BEF ； （2）求三棱锥P －BED 的体积．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的点到准线的最小距离为
2.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，M 、N 分别为弦AB 、DE 的中点，求MF NF ⋅的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数3()(36)()x f x e ax x a R =-+∈（e 为自然对数的底数)．
（1）若函数()f x 的图像在1x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值； （2）对(0,4]x ∈总有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围．
请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t m x 2222 （t 是参
数）.
（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,
且AB =试求实数m 值. （2）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.
23. （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲.
已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；
（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>.
参考答案
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.) 13. ___
___ 14. __
________y x =±__
15.___160 ___． 16. 3 三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17.设等比数列
的前n 项和为，且21n
n S =-，等差数列{}n b 满足
3643,2b b b =-=3643,2,b b b =-=．
（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和．
【答案】 （1）设等差数列
的公差为d ，则
，
又，所以
所以数列的通项公式为． （2）由
知，
，当
时，
n －1
，
所以数列的通项公式
，
也满足，
故，
则
， ，
由
，得
所以．
18.下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额单位：万元，其中年份代码年份．
年份代码x1234线下销售额y95165230310已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；
随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”
中任选一种，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？
参考公式及数据：，，
，
【答案】解：由题意得，
，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为；
由于，所以当时，，
所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为万元；
由题可得列联表如下：
持乐观态度持不乐观态度合计
男顾客104555
女顾客203050
合计3075105
计算的观测值，
由于，
所以可以在犯错误的概率不超过的前提下，
认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关．
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD 为直角，AB∥CD，PA＝AD＝CD＝2AB＝4，E，F分别为PC，CD的中点．
(1)证明：平面APD∥平面BEF；
(2)求三棱锥P －BED 的体积．
【答案】解 (1)证明：∵AB ∥CD ，且∠BAD 为直角，CD ＝2AB ，F 为CD 的中点，∴FD ＝AB ，故四边形ABFD 是矩形，
∴AD ∥BF ，∴BF ∥平面APD, 又∵E ，F 分别为PC ，CD 的中点． ∴EF ∥PD ，∴EF ∥平面APD ， 3分 又∵⎩⎪⎨⎪⎧
BF ⊂平面BEF ，EF ⊂平面
BEF ，EF ∩BF ＝F ，
所以平面APD ∥平面BEF . 5分 (2)解法一：如图所示， ∵E 为PC 的中点，
∴V P －BED ＝V P －DBC －V E －DBC ＝13S △DBC ·12AP ， 9分 ∴V P －BED ＝16×4×12×4×4＝16
3. 12分
解法二：过点A 作AG ⊥PD 交PD 于点G (图略)，
∵PA ⊥底面ABCD ，
∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥AG ，又AG ⊥PD ，
∴AG ⊥平面PDE ，又∵AB ∥平面PDE ， 8分
∴V P －BED ＝V B －PDE ＝13·AG ·12S △PDC ＝16×22×12×4×42＝163. 12分
20．（本小题满分12分）
已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的点到准线的最小距离为2.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，M 、N 分别为弦AB 、DE 的中点，求MF NF ⋅的最小值.
（1）因为抛物线C 上的点到准线的最小距离为2，所以22
p
=，解得4p =. 故抛物线C 的方程为2
8y x =； （2）由（1）知焦点为()2,0F .
由已知可得AB DE ⊥，所以两直线AB 、DE 的斜率都存在且均不为0. 设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为1k
-， 故直线AB 的方程为()2y k x =-.
联立方程组()
2
82y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x ，整理得2
8160ky y k --=.
设点()11,A x y 、()22,B x y ，则128y y k
+=
. 因为(),M M M x y 为弦AB 的中点，所以()12142M y y y k
=+=. 由()2M M y k x =-，得2422M M y x k k =
+=+，故点24
42,M k
k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.
同理，可得(
)
2
42,4N k k +-.
故()()
()2
2
2
2
2
422441NF k
k k k =+-+-=+，2
422
161641k MF k k k
+=+=. 所以
()2222
241111411616||16232k k k MF NF k k k k k k k ⎛⎫++⋅=⋅+=⋅=+≥⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
， 当且仅当1
k k
=
，即1k =±时，等号成立. 所以MF NF ⋅的最小值为32.
21.已知函数3
()(36)()x
f x e ax x a R =-+∈（e 为自然对数的底数)．
(1)若函数()f x 的图像在1x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值；
(2)对(0,4]x ∈总有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围．
【答案】解：Ⅰ
， ，
函数
的图像在
处的切线与直线
垂直，
；Ⅱ时，
．
设，
，
令得；令得， 时，
为增函数，
时，
为减函数，
，
．
请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半
轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是: 2{
22
x m t y t =+
=
（t 是参数）.
（Ⅰ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14AB =,试求实数m 值. （Ⅱ）设
为曲线
上任意一点，求x y +的取值范围.
详细分析：（1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：
直线的直角坐标方程为：
圆心到直线l 的距离（弦心距）
圆心()2,0到直线
的距离为 ：
或
（2）曲线
的方程可化为22
2)4x y -+=（，其参数方程为： 22{
2x cos y sin θθ
=+= (θ为参数）
(),M x y Q 为曲线上任意一点， ()2225sin x y θα+=++
x y ∴+的取值范围是225,225⎡-+⎣
24. （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲.
已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；
（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>. 【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）证明见解+析
（1）解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=-<<⎨⎪
⎪≥⎪⎩
，
由()4f x <，解得11x -<<， 故{}|11M x x =-<<.
（2）证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->，
所以10ab a b --+>.。