第八章第4讲_离散系统频率响应

j
j
j
(三) 频率响应的几何确定法 利用系统函数在z平面上的极零点分布,通过几何方法 而直观地求出离散系统的频率响应。
bM z M bM 1 z M 1 b1 z b0 H ( z) a N z N a N 1 z N 1 a1 z a0 H0
因为ejT 是周期函数，所以H(ejT)是周期函数，周 期为2/T。
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系统的频率响应的意义 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上 的Z变换称作系统频率响应。
H ( e j )
n
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因为h(n)是实序列，故H(ejT)满足共轭对称条件，即
H(ejT)= H*(e-jT)
也就是H(ejT)的幅度为偶对称，
H(ejT)= H(e-jT)
相角为奇对称
arg[H(ejT)] =-arg[H(e-jT)]
jn h ( n ) e

对于线性移不变系统：
y ( n) x ( n) h( n) Y ( z) X ( z)H ( z) Y (e ) X (e ) H (e )
也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的 傅氏变换与频率响应的乘积。
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3.逆变换
1 x ( n) 2j 1 2j 1 2
z 1 j

X ( z) z )e
n 1
dz d (e
j
z 1

X (e
jn j
e
)



X (e
j
)e
jn
d
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DTFT的基本性质 序列的傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换 DTFT(Discrete Time Fourier Transform)
式中，T为抽样间隔，为数字角频率。
2. 序列的傅立叶变换与Z变换的关系
X ( z)
n
x(n) z

n
X (e
jT
) X ( z)
z e
jT

n
x(n)e

jnT
因此，单位圆上的序列的Z变换为序列的傅立叶变换。
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§8.9 序列的傅立叶变换(DTFT)
(一) 序列的傅立叶变换
1. 定义
jT jnT X ( e ) x ( n ) e n 1 T jT jnT x(n) 2 X (e )e d T T

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-1
z H ( z) z a1
0
a
Re [ z ]
1
1 1 a1
0

DTFT[ x(n)] X (e j )
jn0
则： DTFT[e
x(n)] X (e
j ( 0 )
)
频域位移对应时域的调制
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（4）序列的线性加权
j DTFT [ x ( n )] X ( e ) 若： d 则： DTFT [nx (n)] j[ X (e j )] d 时域的线性加权对应频域微分
设输入序列是频率为的复指数序列，即
x(n)= ejTn
单位函数响应为h(n)
则离散系统的零状态响应为：
y zs (n) h(n) * x(n) e
jTn
k
h ( k )e
jTn

jT ( n k )
k
h( k )e

jTk
e
H (e
jT
a1为实数,求系统的频率响应。
[解]: 对差分方程两边取Z变换:
Y ( z ) X ( z ) a1 z Y ( z ), Y ( z )(1 a1 z ) X ( z ) Y ( z) 1 z H ( z) , z a1 1 X ( z ) 1 a1 z z a1
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频率响应的幅度曲线
H (e )
j
0

2

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[例:]
设一阶系统的差分方程为:
y(n) x(n) a1 y(n 1),0 a1 1
DTFT[ x2 (n)] X 2 (e j )
则：
DTFT[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 (e j ) bX 2 (e j )
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（2）序列的位移： 若： DTFT[ x(n)] X (e j ) 则： DTFT[ x(n n0 )] e jn0 X (e j ) 时域位移对应频域相移 （3）频域的位移： 若：
（5）序列的反褶
j DTFT [ x ( n )] X ( e ) 若：
则：
DTFT[ x(n)] X (e
j
)
时域的反褶对应频域反褶
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(6)奇偶虚实性：
Re[ X (e j )] Re[ X (e j )] Im[ X (e )] Im[ X (e
)
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其中，
H (e jT )
H(ejT)是h(n)的傅立叶变换，被称为系统的频率响
应。它描述了复指数序列通过线性移不变系统后，
n


h(n)e jTn
复振幅（包括幅度和相位）的变化。
H(ejT)的性质： h(n)绝对可和，则系统稳定，同时也意味着系统的 频率特性H(ejT)存在且连续。
(z Z )
j
M
(z P )
i i 1
j 1 N
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H (e
jT
) H ( z)
M
z e jT

H0
j 1 N i 1
(e jT Z j ) (e jT Pi )

j j
DTFT[ x(n)] X (e j )
n n jn x ( n ) e
1 j IDTFT[ X (e )] x(n) 2


j jn X ( e ) e d
DTFT的基本性质： （1）线性： 若：
DTFT[ x1 (n)] X 1 (e j )
)
j 1 H0 N
Bj
i 1
M
Ai
N
( )

j j 1 i 1
M
i
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频率响应的幅度等于各零点至ejT点矢量长度之积除 以各极点至ejT点矢量长度之积，再乘以常数H0;
H (e
j
) H0
所有零点矢量长度之积 所有极点矢量长度之积
频率响应的相位等于各零点至ejT点矢量 的相角之和 减去各极点至ejT点矢量的相角 之和。
arg[H (e )] （所有零点矢量相角和）
-（所有极点矢量相角和）
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j
d1
j Im[z] j e
c2 d 2
c1
Re[z ]
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频率响应的幅度曲线
H (e )
j
0
/2

3/2
2

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H(z)的极零点分布与频率响应的幅度形状的关系 1. 位于原点的极、零点对幅度响应没有影响； 2. 靠近单位圆的极点处可能出现峰值； 3. 靠近单位圆的零点处可能出现波谷；
(7)时域卷积定理
j DTFT [ x ( n )] X ( e ) 若： DTFT[h(n)] H (e j )
时域卷积对应频域相乘。
则： DTFT[ x(n) * h(n)] X (e j ) H (e j ) (8)频域卷积定理 j 若： X (e ) DTFT[ x(n)]
4. 单位圆上的零点处形成零点。
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练习：已知
H ( z) 1 z N
zN 1 N z
设 N=8，求零极点分布图，并根据零极点图画出 幅度特性示意图。 解：零点：
z 1 0
N
ze
极点： z=0
8.10离散系统的频率响应特性
1.单位圆上（z=ejT ） 的系统函数就是离散系统的频 率特性 2.离散系统的频率响应的意义
为了研究离散线性移不变系统对输入频谱的处理作用
，有必要研究离散线性移不变系统对复指数或正弦序 列的稳态响应，
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1
1
这是一因果系统，其单位抽样响应为 h(n) a1nu (n);
j H ( e ) H ( z ) z e j 而频率响应为:
1 1 j 1 a1e 1 a1 cos ja1 sin
h( n) a n u ( n)
:
H (e ) : arg H (e j ) :
j
0 1 1 a1 0
2 1
1 a1 tg 1a1
2

1 1 a1 0
3 2 1 1 a1 tg 1a1
2
2 1 1 a1
H0(e j )


jI m [ z ]
1 1 a1
j
2 k N
k 0,1,2( N 1)
N阶极点
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j Im[z]
零极点分布如图：
Re[z]
当 从零变化到 2 时，每遇到一个零点，幅度为零； 在两个零点之间，幅度最大，形成一个峰值。
原点处的极点不影响幅度特性。
幅度响应为: | H (e j ) | (1 a 2 2a cos ) 1 1 相位响应为: arg[ H (e
j 1

1 2
a1 sin )] tg [ ] (1 a1 cos )
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H (e jT ) e j ( )
令
e
jT
Zi B j e
,e
jT
Pi Ai e
j i
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e
jT
Z j B je
H (e
jT
j j
e
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P i Ai e
ji
则有
j j
X (e j ) X (e j )
)]
( ) ( )
X (e j ) X * (e j )
复函数
X (e j )
的实部为偶函数，虚部为奇函数， 模为偶函数，幅角为奇函数。
X (e j ) 与 X (e j ) 共轭
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H (e j ) DTFT[h(n)]
则： 1 [ X (e j ) * H (e j )] 1 2 2 DTFT[ x(n)h(n)]



X (e j )H [e j ( ) ]d
时域相乘对应频域卷积。
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