第一章一元多项式习题及解答

习 题 一

A 组

1.

判别

{}

,a a b =+∈Q Q 是否为数域？

解 是．

2. 设3

2

()1f x x x x =+++，2

()32g x x x =++，求()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ． 解

32()()243f x g x x x x +=+++， 3()()21f x g x x x -=--，

5432()()46652f x g x x x x x x =+++++．

3．设1993

2199431995()(54)

(421)(8112)f x x x x x x =----+，求()f x 的展开式中各项系数的和．

解 由于()f x 的各项系数的和等于(1)f ，所以

199319941995(1)(54)(421)(8112)1f =----+=-．

4. 求()g x 除以()f x 的商()q x 与余式()r x ． (1) 3

2

2()31,()321f x x x x g x x x =---=-+；

(2) 42()25,

()2f x x x g x x x =-+=-+．

解 (1) 用多项式除法得到

2323222732131

39

23374

1337147399

26299

x x x x x x x x x x x x x x -+-----

+----+---

所以，17262

(),()3999

q x x r x x =

-=--． (2) 用多项式除法得到

24

2432

323222225

1

22252452

57

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-++--+--+-+--+-+--+

所以，2

()1,

()57q x x x r x x =+-=-+．

5．设,a b 是两个不相等的常数，证明多项式()f x 除以()()x a x b --所得余式为

()()()()

f a f b af b bf a x a b a b

--+

--． 证明 依题意可设()()()()f x x a x b q x cx d =--++，则

(),

().f a ca d f b cb d =+⎧⎨

=+⎩

解得

()()()()(),

()()).

c f a f b a b

d af b bf a a b =--⎧⎪⎨

=--⎪⎩ 故所得余式为

()()()()

f a f b af b bf a x a b a b

--+

--． 6. 问,,m p q 适合什么条件时，()f x 能被()g x 整除？ (1) 3

()f x x px q =++，2

()1g x x mx =+-； (2) 4

2

()f x x px q =++，2

()1g x x mx =++．

解 (1) 由整除的定义知，要求余式()0r x =．所以先做多项式除法，

23

3222221(1)(1)()

x mx x px q x m

x mx x

mx p x q mx m x

m

p m x q m +-++-+--+++--++++-

要求2

()(1)()0r x p m x q m =+++-=， 所以2

(1)0,0p m q m ++=-=．即2

1,p m q m =--=时，

可以整除．

(2) 方法同上．先做多项式除法，所得余式为

22()(2)(1)r x m p m x q p m =--++--，

所以22(2)0,10m p m q p m --=+--=，即01m p q ==+，或2

2,

1p m q -==时，可以整除．

7. 求()f x 与()g x 的最大公因式: (1) 432

32()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--；

(2) 43

32()41,

()31f x x x g x x x =-+=-+；

(3)

42

432()101,

()61f x x x g x x x =-+=-+++．

解 (1) 用辗转相除法得到

3243232432222211134124

31

2213

84

12312233

13122244

33

144

1

x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x -++--+---+

++--------+-----------

用等式写出来，就是

2()()(231)f x xg x x x =+---，

2113

3()(231)244

4g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

28

4332313

344x x x x ⎛⎫⎛⎫---=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，

所以()(),()1f x g x x =+．

(2) 同样地，