人教A版高中数学选修4-4第一讲第一节平面直角坐标系

y
C
C
EE
O
(A)
F
0 (A)
F
B
B
x
典例分析
设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ x2 ，y2 ）. 由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
即 x2 y2 c2 5[(x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
数学问题 （建立数学模型）
典例分析
1 已知△ABC的三边a,b, c满足b2 c2 5a2 , BE,CF分别为 边AC、AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
坐标分别为
c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
yC
B
o
信息中心
A
x
L Γ
规范解答
解： 以信息中心为原点O，设A、B、C分别是东、西、北观测点，
以直线BA为x轴，建立直角坐标系.设巨响发生点P为（x,y），
则 A(1020,0), B(－1020,0), PO的方程为y=－x，
∵|PA|－ |PB|=340×4=1360
C(0,1020) y
C P
学有 所获
在伸缩变换下，直线仍然变成直线， 而圆可以变成圆或椭圆。
在伸缩变换下，椭圆可以变成圆、 椭圆。
在伸缩变换下，抛物线变成抛物线， 双曲线变成双曲线。
乘胜追击
在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换，
01
曲线4x2 9 y 2 36变成x'2 y'2 1。
变式
02
答案：
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换xy''
x 2x
y
3
y
后的图形。
12x 3y 0 2x2 y2 1
答案：1x' y' 0 2 x' y' 1
49
小试牛刀
在同一平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换
x
'
y
'
1 3 1 2
x 后的图形。
y
1 x2 y2 1
94
2 x2 y2 1
18 12
3y2 2x
归纳总结
2
两个思想：转化思想，数形结合思想
1 一种探究方法：由特殊到一般（归纳法）
探究新知
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y
y=sin2x 1
O
2 x
-1
y=sinx
y sin x横坐标缩短到原来的一半 纵坐标不变
y sin 2x
探究新知
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y
3
y=3sinx
2
1
y=sinx
y sin x
O
-1
伸缩 变换
的作用下，点P(x,y)对应到点 p x, y ，称
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。
注意
（1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸 缩变换。
辨析定义
运用中提升
2 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
问题一：从点的轨迹角度分 析点P在什么样的曲线上？
两个观测点同时听到一声巨响，正东
观测点听到巨响的时间比其他两个观
测点晚4s，已知各观测点到中心的距
离都是1020m，试确定该巨响的位置。
（ 假 定 当 时 声 音 传 播 的 速 度 为 340m/s ，
各相关点均在同一平面上）
实例分析
P
问题三问：题根二据：你请所你建在立图的中坐建标立系适，当求的出坐点标P的系坐，标。 说出点P并在说信明息你中所心建点立的坐什标么系位的置依？据是什么？
平面 直 角坐 标系
故事中发现
笛卡尔，法国伟大的哲学家、 物理学家、数学家。解析几何的 创始人。1637年，他发表了《几 何学》，创立了直角坐标系，把 相互对立的“数”与“形”统一 了起来，人们称他为“近代科学 的始祖”。
笛卡尔
互动中领悟
声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北 方向三个观测点的报告：正西、正北
C P
x 680 5, y 680 5,
即P(680 5,680 5),故PO 680 10
B
o
A
x
680 10m
归纳总结
坐标法解决实际问题的关键：
代入坐标
设点的坐标
进行运算
2
4
1
建立适当的
3
限定点所满足
坐标系
的条件
5
化简方程还原实
际（查漏除杂）
以上过程概括为：建设现（限）代化
实际问题 转化
Hale Waihona Puke Baidu
2 x
-2 -3
横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍
y 3sin x
探究新知
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
3 2
y=3sin2x
1
y=sinx
y sin x
O
-1 -2 -3
横坐标缩短为原来的一半
纵坐标伸长为原来的3倍
y 3sin 2x
2 x
抽象定义
定、义 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
3x后， y
由曲线C变为曲线x'2 9 y'2 9，求曲线C的方程。
答案：
反思中收获
对自己说，你有什么收获？
凯旋归来话收获
对老师说，你有什么疑惑？
对同学说，你有什么温馨提示？
盘点收获
1 一种工具：平面直角坐标系
2
两个思想：转化思想，数形结合思想
1 一种解题方法：坐标法
盘点收获
1 一种变换：坐标伸缩变换
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线B 上，
x2 a2
y2 b2
1
o
A
x
规范解答
a 680 , c 1020
b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
故双曲线方程为 x2 6802
5
y2 3402
1(x
0)
y
用y=－x代入上式，得 x 680 5，∵|PA|>|PB|,
因为 BE ( x c, y ), CF ( c x, y),
22
2
所以BE • CF ( x c)( c x) y2 0.
22
2
因此，BE与CF互相垂直。
y
C
C
E
E
(A)
F
O
0
(A)
F
B
x
B
归纳总结
比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应 注意什么问题？
据几何特点选择
如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点；
如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标 轴；
使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
探究新知
1 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x? 2 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? 3 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?