高考总复习经典讲义空间向量及其运算

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空间向量及其运算

知识点1、向量共线、共面的判定.

1、共线: 对空间任意两个向量a , b (b ≠0), a ∥b 的充要条件是_______________.

2、共面: 如果两个向量a , b (不共线), 那么向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x , y ), 使_______________. 答案: p =x a +y b .

3、不共面: 如果三个向量a , b , c 不共面, 那么对空间任一向量p , 存在有序实数组{x , y , z }, 使得p =____________________________, 把{a , b , c }叫做空间的一个基底.

知识点2、向量运算律 ① 两向量的数量积

已知两个非零向量a , b , 则____________________叫做向量a , b 的数量积, 记作________, 即__________________.数量积的坐标运算, 若a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则 a·b =____________________.

② 空间向量数量积的运算律 结合律: (λa )·b =____________; 交换律: a·b =_______; 分配律: a·(b +c )=_____________. ③ 模、夹角和距离公式

设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3),

则|a |=a·a =________________, cos 〈a , b 〉=a·b

|a||b|

=________________________ .

若A (a 1, b 1, c 1), B (a 2, b 2, c 2), 则|AB →

|=__________________________.

题型一 直线的方程形式

(1) 空间向量: 在空间中, 具有______和______的量叫做空间向量. (2) 相等向量: 方向______且模______的向量. (3) 共线向量定理

1. 若a =(2x,1,3), b =(1, -2y,9), 且a ∥b , 则( )

A. x =1, y =1

B. x =12, y =-12

C. x =16, y =-32

D. x =-16, y =3

2

解: 选C, ∵a ∥b , ∴2x 1=1-2y =39, ∴x =16, y =-3

2

.

2. (2016·青岛月考)

如图所示, 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, M 为AC 与BD 的交点, 若A 1B 1→=a , A 1D 1→

=b , A 1A →=c , 则下列向量中与B 1M →

相等的向量是( )

A. -12a +12b +c

B.12a +12b +c

C.12a -12b +c

D. -12a -12

b +c

解: 选A, [B 1M →=B 1A 1→+A 1A →+AM →=-A 1B 1→+A 1A →

+⎝⎛⎭⎫12AB →+12AD →

=-a +c +12(a +b )=-12a +1

2

b +

c .

3. (2016·广州调研)在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中, 已知∠BAD =∠A ′AB =∠A ′AD =60°,

AB =3, AD =4, AA ′=5, 则|AC ′→

|=________.

解: ∵AC ′→=AB →+BC →+CC ′→=AB →+AD →+AA ′→, ∴|AC ′→|2=AB →2+AD →2+AA ′→2+2AB →·AD →+2AD →·AA ′→+2AA ′→·AB →

=32+42+52+2×3×4×cos 60°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60°=97, ∴|AC ′→

|=97.

4. 有下列4个命题:

① 若p =x a +y b , 则p 与a 、b 共面; ② 若p 与a 、b 共面, 则p =x a +y b ;

③ 若MP →=xMA →+yMB →, 则P 、M 、A 、B 共面; ④ 若P 、M 、A 、B 共面, 则MP →=xMA →+yMB →. 其中真命题的个数是( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 4. 选B, ①正确. ②中若a 、b 共线, p 与a 不共线, 则p =x a +y b 就不成立. ③正确. ④中若M 、

A 、

B 共线, 点P 不在此直线上, 则MP →=xMA →+yMB →

不正确.

5. A (1,0,1), B (4,4,6), C (2,2,3), D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).

5. 共面, 解: AB →=(3,4,5), AC →=(1,2,2), AD →=(9,14,16), 设AD →=xAB →+yAC →

,

即(9,14,16)=(3x +y,4x +2y,5x +2y ). ∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x =2

y =3, 从而A 、B 、C 、D 四点共面.

题型二 空间基向量的应用

6、已知空间四边形OABC 中, M 为BC 的中点, N 为AC 的中点, P 为OA 的中点, Q 为OB 的中点, 若AB =OC , 求证: PM ⊥QN .

设OA →=a , OB →=b , OC →=c . ∵OM →=12(OB →+OC →)=12(b +c ), ON →=12(OA →+OC →

)=12

(a +c ),

∴PM →=PO →+OM →

=-12a +12(b +c )=12(b +c -a ),

QN →=QO →+ON →

=-12b +12(a +c )=12

(a +c -b ).

∴PM →·QN →=14[c -(a -b )][c +(a -b )]=14[c 2-(a -b )2]=14

(|OC →|2-|BA →

|2)

∵|AB →|=|OC →|, ∴PM →·QN →=0. 即PM →⊥QN →, 故PM ⊥QN .

7、如图, 在正四面体ABCD 中, E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点, 则异面直线AF 和CE 所成角的余弦值为________.

设{AB →, AC →, AD →}为空间一组基底, 则AF →=12AB →+12

AC →,

CE →=12CA →+12CD →=12CA →+12(AD →-AC →)=-AC →+12

AD →.

∴AF →·CE →=⎝⎛⎭⎫12AB →+12AC →·⎝⎛⎭⎫-AC →+12AD →=-12AB →·AC →-12AC →2+14AB →·AD →+14

AC →·AD → =-14AB →2-12AC →2+18AB →2+18AC →2=-12

AC →2.

又|AF →|=|CE →|=32|AC →|, ∴|AF →|·|CE →|=34|AC →|2. ∴cos 〈AF →, CE →

〉=AF →·CE →|AF →||CE →|=-12AC →

2

34

|AC →|

2=-23

.

∴异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为2

3

.

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