高考总复习经典讲义空间向量及其运算

空间向量及其运算

知识点1、向量共线、共面的判定.

1、共线: 对空间任意两个向量a , b (b ≠0), a ∥b 的充要条件是_______________.

2、共面: 如果两个向量a , b (不共线), 那么向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x , y ), 使_______________. 答案: p ＝x a ＋y b .

3、不共面: 如果三个向量a , b , c 不共面, 那么对空间任一向量p , 存在有序实数组{x , y , z }, 使得p ＝____________________________, 把{a , b , c }叫做空间的一个基底.

知识点2、向量运算律 ① 两向量的数量积

已知两个非零向量a , b , 则____________________叫做向量a , b 的数量积, 记作________, 即__________________.数量积的坐标运算, 若a ＝(a 1, a 2, a 3), b ＝(b 1, b 2, b 3), 则 a·b ＝____________________.

② 空间向量数量积的运算律 结合律: (λa )·b ＝____________; 交换律: a·b ＝_______; 分配律: a·(b ＋c )＝_____________. ③ 模、夹角和距离公式

设a ＝(a 1, a 2, a 3), b ＝(b 1, b 2, b 3),

则|a |＝a·a ＝________________, cos 〈a , b 〉＝a·b

|a||b|

＝________________________ .

若A (a 1, b 1, c 1), B (a 2, b 2, c 2), 则|AB →

|＝__________________________.

题型一 直线的方程形式

(1) 空间向量: 在空间中, 具有______和______的量叫做空间向量. (2) 相等向量: 方向______且模______的向量. (3) 共线向量定理

1. 若a ＝(2x,1,3), b ＝(1, －2y,9), 且a ∥b , 则( )

A. x ＝1, y ＝1

B. x ＝12, y ＝－12

C. x ＝16, y ＝－32

D. x ＝－16, y ＝3

2

解: 选C, ∵a ∥b , ∴2x 1＝1－2y ＝39, ∴x ＝16, y ＝－3

2

.

2. (2016·青岛月考)

如图所示, 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, M 为AC 与BD 的交点, 若A 1B 1→＝a , A 1D 1→

＝b , A 1A →＝c , 则下列向量中与B 1M →

相等的向量是( )

A. －12a ＋12b ＋c

B.12a ＋12b ＋c

C.12a －12b ＋c

D. －12a －12

b ＋c

解: 选A, [B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－A 1B 1→＋A 1A →

＋⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AD →

＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋1

2

b ＋

c .

3. (2016·广州调研)在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中, 已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°,

AB ＝3, AD ＝4, AA ′＝5, 则|AC ′→

|＝________.

解: ∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→, ∴|AC ′→|2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2AB →·AD →＋2AD →·AA ′→＋2AA ′→·AB →

＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97, ∴|AC ′→

|＝97.

4. 有下列4个命题:

① 若p ＝x a ＋y b , 则p 与a 、b 共面; ② 若p 与a 、b 共面, 则p ＝x a ＋y b ;

③ 若MP →＝xMA →＋yMB →, 则P 、M 、A 、B 共面; ④ 若P 、M 、A 、B 共面, 则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 4. 选B, ①正确. ②中若a 、b 共线, p 与a 不共线, 则p ＝x a ＋y b 就不成立. ③正确. ④中若M 、

A 、

B 共线, 点P 不在此直线上, 则MP →＝xMA →＋yMB →

不正确.

5. A (1,0,1), B (4,4,6), C (2,2,3), D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).

5. 共面, 解: AB →＝(3,4,5), AC →＝(1,2,2), AD →＝(9,14,16), 设AD →＝xAB →＋yAC →

,

即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y ). ∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2

y ＝3, 从而A 、B 、C 、D 四点共面.

题型二 空间基向量的应用

6、已知空间四边形OABC 中, M 为BC 的中点, N 为AC 的中点, P 为OA 的中点, Q 为OB 的中点, 若AB ＝OC , 求证: PM ⊥QN .

设OA →＝a , OB →＝b , OC →＝c . ∵OM →＝12(OB →＋OC →)＝12(b ＋c ), ON →＝12(OA →＋OC →

)＝12

(a ＋c ),

∴PM →＝PO →＋OM →

＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(b ＋c －a ),

QN →＝QO →＋ON →

＝－12b ＋12(a ＋c )＝12

(a ＋c －b ).

∴PM →·QN →＝14[c －(a －b )][c ＋(a －b )]＝14[c 2－(a －b )2]＝14

(|OC →|2－|BA →

|2)

∵|AB →|＝|OC →|, ∴PM →·QN →＝0. 即PM →⊥QN →, 故PM ⊥QN .

7、如图, 在正四面体ABCD 中, E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点, 则异面直线AF 和CE 所成角的余弦值为________.

设{AB →, AC →, AD →}为空间一组基底, 则AF →＝12AB →＋12

AC →,

CE →＝12CA →＋12CD →＝12CA →＋12(AD →－AC →)＝－AC →＋12

AD →.

∴AF →·CE →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →·⎝⎛⎭⎫－AC →＋12AD →＝－12AB →·AC →－12AC →2＋14AB →·AD →＋14

AC →·AD → ＝－14AB →2－12AC →2＋18AB →2＋18AC →2＝－12

AC →2.

又|AF →|＝|CE →|＝32|AC →|, ∴|AF →|·|CE →|＝34|AC →|2. ∴cos 〈AF →, CE →

〉＝AF →·CE →|AF →||CE →|＝－12AC →

2

34

|AC →|

2＝－23

.

∴异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为2

3

.