动能、动能定理、做功和能量的关系

鲁教版高一物理动能、动能定理、做功和能量的关系
本周教学内容： 1、动能 2、动能定理
3、做功和能量的关系
细解知识点 1. 动能
物体由于运动而具有的能量叫动能；
公式：
221mv E k =
动能是标量，只有大小没有方向；
动能是状态量，因为动能对应的是物体的一个运动状态；
动能是相对量，因为速度具有相对性，参考系不同速度往往不同，动能也就不同，一般取地面作为惯性参考系；
动能相等的两个物体，它的速度不一定相等。

动能单位是J 。

它的推导过程是 1kg·m 2/s 2＝1N·m ＝1J 2. 动能定理
（1）动能定理的推导
因为ma F = 和 as v v 22
122=-
1
2212
2212221212k k E E mv mv a v v ma Fs W -=-=-==
12k k E E W -=
即合力所做的功，等于物体动能的变化。

（2）动能定理的表述
合外力做的功等于物体动能的变化。

（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。

表达式为K E w ∆=
动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。

实际应用时，后一种表述比较好操作。

不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。

（3）应用动能定理解题的步骤 ①确定研究对象和研究过程。

②对研究对象进行受力分析。

（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。

③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。

如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。

④按照动能定理列式求解。

3. 做功和能量的关系
做功的过程就是能量改变的过程。

外力对物体做正功，物体的能量增加；外力对物体做负功或物体对外做功，物体能量减少。

例如：使一个本来静止的物体运动且具有50J 的动能，那就是说外力使物体产生了加速度，使物体提高了速度，做了50J 的功，才使它具有50J 的动能。

所以功的数量表示了物体有多少能量发
生了转化。

即功是能量转化的量度。

【典型例题】
例1、如图所示，斜面倾角为α，长为L ，AB 段光滑，BC 段粗糙，且BC ＝2 AB 。

质量为m 的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C 端时速度刚好减小到零。

求物体和斜面BC 段间的动摩擦因数μ。

解析：以木块为对象，在下滑全过程中用动能定理：重力做的功为mgL sin α，摩擦力做的功为
αμcos 32
mgL -
，支持力不做功。

初、末动能均为零。

mgL sin α
α
μcos 32
mgL -
＝0，αμtan 23=
小结：从本例题可以看出，由于用动能定理列方程时不牵扯过程中不同阶段的加速度，所以比用牛顿定律和运动学方程解题简洁得多。

例2、将小球以初速度v 0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。

由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。

设空气阻力大小恒定，求小球落回到抛出点时的速度大小v 。

v
v f G
G
f
解析：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：
2
021mv mgH =和()20218.0mv H f mg =+，可得H ＝v 02/2g ，mg
f 41=
再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。

全过程重力做的功为
零，所以有：
2
2021218.02mv
mv H f -=
⨯⋅，解得053v v =
小结：从本题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。

有时取全过程简
单；有时则取某一阶段简单。

原则是尽量使做功的力减少，或所求各个力的功相对计算方便；或使初、末动能等于零。

例3、 一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为S ，如图所示，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的摩擦因数相同，求摩擦因数μ。

解析：以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，考查全过程中物体的动能没有变化，即ΔE K ＝0，因此可以根据全过程中各力的合功与物体动能的变化上找出联系。

设该面倾角为α，斜坡长为l ，则物体沿斜面下滑时， 重力和摩擦力在斜面上的功分别为
物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S 2，则
对物体在全过程中应用动能定理 mg l ·sinα－μmg l ·cosα－μmgS 2＝0 得 h －μS 1－μS 2＝0
式中S 1为斜面底端与物体初位置间的水平距离，故
小结：本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动，依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题。

比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性。

用动能定理解题，只需抓住始、末两状态动能变化，不必追究从始至末的过程中运动的细节，因此不仅适用于中间过程为匀变速的，同样适用于中间过程是变加速的。

不仅适用于恒力作用下的问题，同样适用于变力作用的问题。

例4、质量为500t 的机车以恒定的功率由静止出发，经5min 行驶2.25km ，速度达到最大值54km/h ，设阻力恒定且取g ＝10m/s 2。

求：（1）机车的功率P ＝？（2）机车的速度为36km/h 时机车的加速度a ＝？
解析：因为机车的功率恒定，由公式P ＝Fv 可知随着速度的增加，机车的牵引力必定逐渐减小，机车做变加速运动，虽然牵引力是变力，但由W ＝P·t 可求出牵引力做功，由动能定理结合P ＝f·v m ，
可求出机车的功率，利用求出的功率和最大速度可求阻力，再根据
v P
F =
求出36km/h 时的牵引力，
再根据牛顿第二定律求出机车的加速度a 。

（1）以机车为研究对象，机车从静止出发至达速度最大值过程，根据动能定理有
当机车达到最大速度时有
m fv P = （2）
当机车速度v ＝36km/h 时机车的牵引力
根据ΣF ＝ma 可得机车v ＝36km/h 时的加速度
小结：机车以恒定功率起动，直到最大速度，属于变力做功的问题，由于阻力恒定，所以机车
在任一时刻运动的加速度
m f mv P a -
=。

由于速度增大导致加速度减小，汽车做加速度逐渐减小而速度逐渐变大的变加速运动。

此类问题应用牛顿第二定律求解，在中学物理范围内是无法求解的。

但应用动能定理求解变力做功，进而求解相关物理量是一种简捷优化的解题思路与方法。

例5、在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体。

当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J ，则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少？
解析：由题意：物体先做匀加速运动，后做匀减速运动回到原处。

整个过程中的位移为零，根据牛顿第二定律和运动学公式，即可确定两个力的大小关系，然后根据全过程中两个力做功和动能的变化即可得解。

物体从静止受水平恒力F 甲作用，做匀加速运动，经过一段时间t 后的速度为
经时间t 后回到原处，前后两段时间内的位移大小相等，方向相反，所以
因此F 乙＝3F 甲
设在F 甲作用下物体的位移为S ，对全过程应用动能定理F 甲·S ＋F 乙·S ＝ΔE k ，代入F 乙＝3F 甲，F 甲·S ＋3F 甲·S ＝ΔE k ，所以恒力甲和乙做的功分别为
小结：本题属多阶段物理过程求功问题，运动往复性的不同阶段有不同的恒力作用，运用功能定理从整体上考证功能转换比从力和运动关系去研究要简便。

当然此题也可根据两个力作用时间相同、两个物理过程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出两者末速度的关系求解；也可以利用v－t图线更直观地得到启发，根据图线上下方与t轴间的面积相等求两段加速度之比，进而求解。

【模拟试题】
1. 如图所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，射入深度为d，平均阻力为f。

设木块离原点s远时开始匀速前进，下列判断正确的是（）
A. 功fs量度子弹损失的动能
B. f（s＋d）量度子弹损失的动能
C. fd量度子弹损失的动能
D. fd 量度子弹、木块系统总机械能的损失
2. 下列关于运动物体所受的合外力、合外力做功和动能变化的关系，正确的是（）
A. 如果物体所受的合外力为零，那么，合外力对物体做的功一定为零
B. 如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零
C. 物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化
D. 物体的动能不变，所受的合外力必定为零
3. 关于做功和物体动能变化的关系，不正确的是（）
A. 只要动力对物体做功，物体的动能就增加
B. 只要物体克服阻力做功，它的动能就减少
C. 外力对物体做功的代数和等于物体的末动能与初动能之差
D. 动力和阻力都对物体做功，物体的动能一定变化
4. 一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度为2 m/s，则下列说法正确的是（）
A. 手对物体做功12J
B. 合外力对物体做功12J
C. 合外力对物体做功2J
D. 物体克服重力做功10 J
5. 光滑水平面上，静置一总质量为M的小车，车板侧面固定一根弹簧，水平车板光滑. 另有质量为m的小球把弹簧压缩后，再用细线拴住弹簧，烧断细线后小球被弹出，离开车时相对车的速度为v，则小车获得的动能是（）
6. 静止在光滑水平面上的物体，在水平力F的作用下产生位移s而获得速度v，若水平面不光滑，物体运动时受到摩擦力为F/n（n是大于1的常数），仍要使物体由静止出发通过位移s而获得速度v，
则水平力为（）
7. 物体在水平恒力作用下，在水平面上由静止开始运动，当位移s时撤去F，物体继续前进3s 后停止运动，若路面情况相同，则物体的摩擦力和最大动能是（）
8. 一颗子弹速度为v时，刚好打穿一块钢板，那么速度为2v时，可打穿_____块同样的钢板，要打穿n块同样的钢板，子弹速度应为_____。

9. 质量为m的跳水运动员以高为H的跳台上的速度率v1起跳，落水时的速率为v2，运动中遇有空气阻力。

那么运动员起跳时做功是______，在空气中克服空气阻力所做的功是______。

10. 质量为M＝500t的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t＝5min在路面上行驶了s＝2.25km，速度达到了最大值v m＝54km/h，试求该机车的功率及机车在运动中所受到的平均阻力。

11. 质量为m的滑块，由仰角θ＝30°的斜面底端A点沿斜面上滑，如图所示，已知滑块在斜面底时初速度v0＝4m/s，滑块与接触面的动摩擦因数均为0.2，且斜面足够长，求滑块最后静止时的位置。

【试题答案】
1. BD
2. A
3. ABD
4. ACD
5. D
6. A
7. D
8. 4 v n
9.
2
2
2
1
2
12
1
2
1
2
1
mv
mgH
mv
mv+
+
，
10. P＝37.5kW f＝2.5×104N
11. S AC＝1.21m。