2模糊控制的数学基础 (2)

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2.2 模糊集合
例2.2.1 以年龄为论域，取 X 0, 200 ，Zadeh给出了“年轻” 的模糊集Y，其隶属函数为
0 x 25 1 1 2 Y ( x) x 25 1 5 25 x 200
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2.1 概述
模糊概念大量存在于人的观念之中： 没有明确外延的概念 概念本身具有开放性
概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围， 概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属 性的总和
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2.1 概述
模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
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个子高低
2.1 概述
隶属函数
都确定X上的一个模糊子集A，简称模糊集。对于x∈X，μA称为 模糊集合A的隶属函数，μA(x)称为x对于A的隶属度。 隶属函数μA(x)是x属于集合A的程度的数量指标，μA(x)的值越大， 表示x从属于A的程度越高，反之越低，当μA(x)仅取0，1二值时， A便成为普通集合，隶属函数就成为普通集合的特征函数。
X Y {( x, y) | x X , y Y }
注：由于序偶和顺序有关，所以 A B B A
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2.2 模糊集合
模糊集合的定义
给定论域X，X到[0, 1]闭区间的任一映射μA
模糊集合 两要素
论域
A : X [0, 1] x A ( x)
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2.1 概述
模糊性与随机性 概率论处理随机事件： 事件发生与否不确定，但事件本身有明确定义， 即发生不发生的界限明确。 模糊集合处理模糊事件：
事件本身模糊，出现不出现没有明确的分界线
事件本身有确切定义，发生与不发生的界限明确， 但事件发生的概率难于用精确的数值表示
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2.2 模糊集合
1 0.5 1 0.3 1 0.4 1 0.2 1 0.1 0.5 0.7 0.6 0.8 0.9 a b c d e a b c d e
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2.2 模糊集合
模糊集合的运算
设A，B为X中的两个模糊集合，隶属函数分别为μA和μB，则
0
20
40
60 X Years
80
100
120
“年轻”的隶属函数曲线
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2.2 模糊集合
模糊集合的表示法 有限离散论域 Zadeh表示法 论域为有限集，即 X {x1 , x2 , xn } 时，X上的模糊集可以表示为
A
A ( x1 )
x1

A ( x2 )
x2
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2.2 模糊集合
集合的表示法 例举法 将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该 方法只能用于有限集的表示。 例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为 A={10，12，14，16，18，20} 描述法 将集合中所有元素的共同特征列在大括号中描述出来。 上例中的集合A也可用描述法表示为 A={a|a为偶数， 10≤a≤20}
D ( x) A ( x) B ( x)
模糊集补 相等
A
_ ( x) 1 A ( x)
A
若 x X ，总有 A ( x) B ( x)成立，则称 A 和 B 相等，记作 A B
包含 若 x X ，总有 A ( x) B ( x) 成立，则称 A 包含 B ，记作 A B
代数积
代数和
A B
AB ( x) A ( x) B ( x)
A B
AB ( x) A ( x) B ( x) A ( x) B ( x)
有界和
有界差
A B
AB ( x) ( A ( x) B ( x)) 1

5 2 1 ( ) 0 x 50 O 0 x50 x 50 x200 x
1


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2.2 模糊集合
模糊集合的运算
设A，B为X中的两个模糊集合，隶属函数分别为μA和μB，则
模糊集交 C A B
模糊集并
D A B
C ( x ) A ( x ) B ( x)
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2.2 模糊集合
例2.2.3 以年龄为论域，取 X 0, 200，用模糊集Y表示“年 轻”，用O表示“年老”。隶属函数分别为定义为
1 1 Y ( x) x 25 2 1 ( ) 5
μ 1
0 x 25
0 1 25 x 200 ( x) O 5 2 1 ( ) x 50
μY(x) μO(x)
0 x 50 50 x 200
0 25 50
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20
100
u
2.2 模糊集合
例2.2.3 “年轻”和“年老”模糊集合可以写为：
x 25 2 1 ( ) 1 5 Y 0 x25 x 25 x200 x
1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
简化为：
1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 A 1 2 3 4 5 6
序偶表示法：
A {(1, 1), (2, 0.9), (3, 0.7), (4, 0.5), (5, 0.3), (6, 0.1)}
向量表示法：
A (1, 0.9, 0.7, 0.5, 0.3, 0.1, 0, 0, 0, 0)
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2.2 模糊集合
模糊集合的运算
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2.2 模糊集合
例2.2.4
设论域X={a, b, c, d, e}上有两个模糊集分别为：
求
A B
A B
A
0.5 0.3 0.4 0.2 0.1 A a b c d e
B
A B
，
A B
，
0.2 0.8 0.1 0.7 0.4 a b c d e
普通集合
* 集合
* 元素 组成集合的各个对象，称为元 素，也称为个体。通常用小写 字母a，b，……，z来表示。 * 论域 所研究的全部对象的总和，叫 做论域，也叫全集合。 * 空集 不包含任何元素的集合，称为 空集，记做Φ。 * 子集 集合中的一部分元素组成的集 合，称为集合的子集。
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具有特定属性的对象的全体， 称为集合。集合通常用大写字 母A，B，……，Z来表示。
模糊性与精确性 对立统一，相互依存，可互相转化
精确的概念可表达模糊的意思
模糊的概念也能表达精确的意思
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2.1 概述
模糊性与随机性 随机性是事件发生与不发生的因果规律被破坏而造成 的一种不确定性。在形容随机性时，虽然我们不知道 每次实验时该事件是否出现，但每一事件是什么样的， 则是非常明确和清晰的。 模糊性则是事物本身性态和类属的不确定性。 大体上说，随机性是一种外在的不确定性，模糊性是 一种内在的不确定性。
当x=33时，Y(x)=0.2808 当x=34时，Y(x)=0.2358 当x=45时，Y(x)=0.0588 当x=54时，Y(x)=0.0289
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2.2 模糊集合
例2.2.1
1 0.9 0.8
Degree of membership
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
AB
A B
AB ( x) ( A ( x) B ( x)) 0
AB ( x) ( A ( x) B ( x) 1) 0
有界积
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2.2 模糊集合
模糊集合的运算性质

交换律 结合律 分配律
A B B A， A B B A
A
0.5 0.2 0.3 0.8 0.4 0.1 0.2 0.7 0.1 0.4 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 a b c d e a b c d e
0.5 0.2 0.3 0.8 0.4 0.1 0.2 0.7 0.1 0.4 0.5 0.8 0.4 0.7 0.4 a b c d e a b c d e
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2.2 模糊集合
集合的运算 集合的交
X Y P
P X Y
集合的并
X
Y Q
Q X Y
集合的补
Y X
X
X {x | x X }
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2.2 模糊集合
集合的直积 序偶 将不同的事物按一定顺序排列起来组成一个整体， 用以表达它们之间的关系，这就叫做序偶。 集合的直积 有两个集合X，Y，从X中取一个元素x，从Y中取一个元 素y，把它们组成一个序偶，所有元素序偶的全体组成一 个新的集合，这个集合叫做集合X，Y 的直积，表示为
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A ( xn )
xn
隶属度为零的项可以不写。 式中的“＋”和“/”仅仅 是分隔符号，并不代表 “加”和“除”。
向量表示法
A [ A ( x1 ) A ( x2 ) A ( xn )]
序偶表示法
隶属度为零的项 不能省略 隶属度为零的项 可以不写
A {( x1 , A ( x1 )) ( x2 , A ( x2 )) ( xn , A ( xn ))}
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2.2 模糊集合
模糊集合的表示法 连续论域 Zadeh表示法：
A

X
A ( x)
x
A ( x)
之间的对应关系； 既不表示“积分”也不是“求和”记号， 而是表示论域X上的元素x与隶属度 A ( x) 对应关系的一个总括。
A ( x) 不是表示“分数”，而表示论域上的元素x与隶属度 x
* 属于 若元素 a 是集合 A 的元素，则 称元素 a 属于集合 A ，记为 a A； 反之，称a不属于集合A，记 a A *包含 若集合A是集合B的子集，则称集 合A包含于集合B，记为 A B；或 者集合B包含集合A，记为 B A 。
*相等 对于两个集合A和B，如果A B 和 B A 同时成立，则称A和B相等，记做 A=B。 *有限集 如果一个集合包含的元素为有限 个，就叫做有限集；否则叫做无 限集。
A ( B C ) ( A B) C， A ( B C ) ( A B) C
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
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2.2 模糊集合
特征函数 设x为论域X中的元素，A为论域X中定义的一个集合， 则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。
1, A ( x) 0,
x A x A
特征函数的值域是{0，1}，它表示元素x是否属于集 合A。如果x属于集合A，那么它的值为1；如果x不 属于集合A，那么它的值为0。
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2.2 模糊集合
例2.2.2
设X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，以A表示“小的数”，分别写出 上述三种模糊集合的表达方式。 解：根据经验，“小的数”这一模糊概念，可以定量地给出其隶 属函数 Zadeh表示法： A 1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 0 0 0
智能控制
北京理工大学自动化学院 sunjian@bit.edu.cn 孙 健
第二章 模糊控制的数学基础
概述 模糊集合 模糊集合与普通集合的联系 隶属函数 模糊关系与模糊关系合成 模糊逻辑与模糊推理
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2.1 概述
引子 谷堆论证——欧布利德
秃头悖论
模糊概念 模糊的英文为Fuzzy，它具有“不分明”，“边界不清” 的意思。模糊数学是用来描述、研究、处理事物所具 有的模糊特征（即模糊概念）。 模糊数学（模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由 美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。 模糊概念大量存在于人的观念之中：