湖南省长沙市数学一模试卷(理科)及解析

∴ A={ x| x＜﹣ 2 或 x＞ 0} ，则 ?UA={ x| ﹣2≤x≤0} ；
由 sin πx=，0 得： πx=kπ， k∈Z，∴ x=k，k∈ Z．
则 B={ x| sin πx=}0={ x| x=k， k∈ Z} ，
则（ ?UA）∩ B={ x| ﹣2≤x≤0} ∩ { x| x=k， k∈Z} ={ ﹣2，﹣ 1， 0} ．
∴（ ?UA）∩ B 的元素个数为 3． ∴（ ?UA）∩ B 的子集个数为： 23=8．
故选： C．
3．（5 分）函数 f（x）=sin（ωｘ+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距
离为 ，若角 φ的终边经过点
，则
的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】 解：由题意相邻对称轴的距离为 ，可得周期 T=π，那么 ω=2，
．
∵ f（x）有两个绝对值大于 1 的极值点，∴ m﹣x2=0 有两个绝对值大于 1 的解， ∴ m＞1． 故选： D．
A．11 B． C． D． 8．（5 分）设等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且满足 S2014＞0，S2015＜ 0，对任意 正整数 n，都有 | an| ≥| ak| ，则 k 的值为（ ） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009 9．（5 分）已知非零向量 ， ， 满足 | ﹣ | =| | =4，（ ﹣ ）?（ ﹣ ）=0，
（φ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的
正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2，正方形 ABCD的顶点都 在 C2 上，且 A， B， C， D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（ 2， ）．
（ 1）求点 A， B， C， D 的直角坐标； （ 2）设 P 为 C1 上任意一点，求 | PA| 2+| PB| 2+| PC| 2+| PD| 2 的取值范围．
据用该组区间的中点值作代表） ；
（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过 4000 元的
居民中随机抽出 2 户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000 元的居民为 ξ户，求
ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐
款情况如表，根据表格中所给数据，分别求 b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d
（ 1）求 a，b 的值； （ 2）如果当 x≠ 0 时，都有 f （x）＞
+ke﹣x，求 k 的取值范围．
请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .[ 选
修 4-4：坐标系与参数方程 ]
22．（ 10 分）选修 4﹣ 4；坐标系与参数方程
已知曲线 C1 的参数方程是
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
附：临界值表参考公式： ，
．
20．（12 分）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F（0，c）（c＞0）到直线 l：x ﹣ y﹣ 2=0 的距离为 ，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A， B 为切点．
[ 选修 4-5：不等式选讲 ] 23．设 f（x）=| x| ﹣| 2x﹣1| ，记 f（x）＞﹣ 1 的解集为 M ． （ 1）求集合 M ； （ 2）已知 a∈M ，比较 a2﹣a+1 与 的大小．
2018 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1．（5 分）设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于实轴对称， z1=1+i，则 z1z2=（ ） A．2 B．﹣ 2 C．1+i D．1﹣i 【解答】 解：复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于实轴对称， z1=1+i， 所以 z2=1﹣i， ∴ z1z2=（1+i）（1﹣i） =2． 故选： A．
的值，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济
损失是否到 4000 元有关？
经济损失不超过 经济损失超过 合计
捐款超过
4000 元 a=30
4000 元 b
500 元
捐款不超
c
d=6
过 500 元
合计
P（ K2≥k） k
0.15 0.10 2.072 2.706
0.05 3.841
角 φ的终边经过点 即 tan φ＝ ， ∴ φ＝
，在第一象限．
故得 f （x） =sin（2x+ ）
则
=sin（ + ）=cos = ．
故选： A
4．（5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩， 图（二）的算法框图中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m，n 分别是 （）
（ 1）过 BD 作截面与线段 FC交于点 N，使得 AF∥平面 BDN，试确定点 N 的位置， 并予以证明； （ 2）在（ 1）的条件下，求直线 BN 与平面 ABF所成角的正弦值．
19．（12 分）2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风 “莲花 ”在我国广东省陆丰市甲东 镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾， 5.6 万人紧急转移安置， 288 间房屋倒塌， 46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元．距离陆丰市 222 千米的梅州也 受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造 成的经济损失，将收集的数据分成 [ 0，2000] ，（2000，4000] ，（ 4000， 6000] ， （ 6000， 8000] ，（8000，10000] 五组，并作出如下频率分布直方图： （Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失 （同一组中的数
，则
的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩， 图（二）的算法框图中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m，n 分别是 （）
A．m=38， n=12B．m=26，n=12 C． m=12，n=12 D．m=24，n=10
2．（5 分）设全集 U=R，函数 （f x）=l（g | x+1| ﹣1）的定义域为 A，集合 B={ x| sin π x=} 0，
则（ ?UA）∩ B 的子集个数为（
）
A．7 B．3 C．8 D．9
3．（5 分）函数 f（x）=sin（ωｘ+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距
离为 ，若角 φ的终边经过点
5．（5 分）设不等式组
表示的平面区域为 Ω1，不等式（ x+2）2+（y﹣2）
2≤2 表示的平面区域为 Ω2，对于 Ω1 中的任意一点 M 和 Ω2 中的任意一点 N，| MN|
的最小值为（
）
A． B． C． D．
6．（5 分）若函数 f（ x）=
的图象如图所示，则 Байду номын сангаас 的范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣ 1） B．（﹣ 1， 2） C．（ 0， 2） D．（ 1， 2） 7．（5 分）某多面体的三视图如图所示， 则该多面体各面的面积中最大的是 （ ）
∈ [ ﹣ 1， 1] ，使得 x+y2ey﹣ a=0 成立，则实数 a 的取值范围是（
）
A．[ 1，e] B．
C．（1，e] D．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13 ．（ 5 分 ） 已 知 a ＞ 0 ，
展 开 式 的 常 数 项 为 15 ， 则
=
．
14．（5 分）设 a，b∈R，关于 x，y 的不等式 | x|+| y| ＜1 和 ax+4by≥ 8 无公共解，
若对每一个确定的 ，| | 的最大值和最小值分别为 m，n，则 m﹣ n 的值为（ ）
A．随 增大而增大 B．随 增大而减小 C．是 2 D．是 4 10．（ 5 分）已知如图所示的三棱锥 D﹣ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，△ ABC和△ DBC所在平面相互垂直， AB=3，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球 O 的表 面积为（ ）
2．（5 分）设全集 U=R，函数 （f x）=l（g | x+1| ﹣1）的定义域为 A，集合 B={ x| sin π x=} 0，
则（ ?UA）∩ B 的子集个数为（
）
A．7 B．3 C．8 D．9
【解答】 解：由 | x+1| ﹣1＞0，得 | x+1| ＞ 1，即 x＜﹣ 2 或 x＞0．
5．（5 分）设不等式组
表示的平面区域为 Ω1，不等式（ x+2）2+（y﹣2）
2≤2 表示的平面区域为 Ω2，对于 Ω1 中的任意一点 M 和 Ω2 中的任意一点 N，| MN|
的最小值为（
）
A． B． C． D．
【解答】 解：不等式组
表示的平面区域为 Ω1，不等式（ x+2）2+（y﹣2）
2≤2 表示的平面区域为 Ω2，如图： 对于 Ω1 中的任意一点 M 和 Ω2 中的任意一点 N，| MN| 的最小值就是可行域内的 点 O 与圆的圆心连线减去半径，
湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1．（5 分）设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于实轴对称， z1=1+i，则 z1z2=（ ）
A．2 B．﹣ 2 C．1+i D．1﹣i
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤 .）
17．（ 12 分）△ ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，且
，
AB=3
．
（Ⅰ）求 AD 的长； （Ⅱ）求 cosC．
18．（ 12 分）如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD为矩形，△ ADE，△ BCF 均为等边三角形， EF∥AB，EF=AD= AB．
（ 1）求抛物线 C 的方程；
（ 2）当点 P（ x0，y0）为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；
（ 3）当点 P 在直线 l 上移动时，求 | AF| ?| BF| 的最小值．
21．（ 12 分）已知函数 f（x）=
+be﹣x，点 M （0，1）在曲线 y=f（x）上，
且曲线在点 M 处的切线与直线 2x﹣ y=0 垂直．
所以， | MN| 的最小值为：
=．
故选： C．
6．（5 分）若函数 f（ x）=
的图象如图所示，则 m 的范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣ 1） B．（﹣ 1， 2） C．（ 0， 2） D．（ 1， 2） 【解答】 解：∵当 x＞0 时， f（x）＞ 0，∴ 2﹣ m＞0，故 m＜2．
f ′（x）=
A．m=38， n=12B．m=26，n=12 C． m=12，n=12 D．m=24，n=10 【解答】 解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成 绩中，成绩大于等于 80 的人数，和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数， 由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩大于等于 80 的人数有 80，80，81，
A．4π B．12πC．16πD．36π 11．（ 5 分）已知双曲线 C：
（a＞0，b＞0）的右顶点为 A，O 为坐标
原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若∠ PAQ=6°0，且
，则双曲线 C 的离心率为（
）
A． B． C． D．
12．（ 5 分）已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x∈ [ 0，1] ，总存在唯一的 y
84，84， 85，86，89， 90，91，96，98，共 12 人，故 n=12， 由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩小于 60 的人数有 43， 46，47，48， 50，51， 52，53，53，56，58， 59，共 12 人， 则在 50 名学生的成绩中， 成绩小于 80 且大于等于 60 的人数有 50﹣12﹣ 12=26， 故 m=26 故选： B．
则 ab 的取值范围是
．
15．（ 5 分）正项数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且
（ n∈ N* ），设
，则数列 { cn} 的前 2016 项的和为
．
16．（ 5 分）已知 F 是椭圆 C： + =1 的右焦点， P 是 C 上一点， A（﹣ 2，1），
当△ APF周长最小时，其面积为
．