初中数学思想方法篇——方程思想

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解题思想之方程思想
一、注解：
所谓方程思想就是先分析问题中的未知元素（未知量）的个数，再寻找关于这些未知量的相应个数的方程，从而用解方程（组）的方法探求解题途径的思想。

解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确定未知量的个数；其次，适当选择一个或几个未知量用x （或y, z ……）表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系；再根据题设中的条件，列出方程（组），并求解。

二、 实例运用：
1.在基本概念中的运用 【例1】单项式1
13
a b a x y +--
与23x y 是同类项，则a-b 的值为（ ） A 2 B 0 C -2 D 1 【例2】 若函数51
2
+=+-m m
mx y 是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m= 。

2. 在确定函数解析式中的运用 【例3】已知点P （2，-1）在双曲线k
y x
=
（k ≠0）上，则k= 。

【例4】如图，一次函数y=kx+n 的图象与x 轴和y 轴分别相交于点A(6，0)，B （0，3AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D 。

（1）试确定这个一次函数的解析式；
（2）求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数关系式。

3. 在列方程（组）中的运用
【例5】已知某项工程由甲，乙两队共同完成需要12天，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需的时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元。

（1）求甲，乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
（2）若工程主管部门决定由这两个工程队之一单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪家工程队？请说明理由。

【例6】甲问乙今年多少岁？乙对甲说：“等你到我这样的岁数时，我已经是60岁的老头，而当我像你一样大时，你还是个6岁的顽童。

”则甲今年多少岁？
4. 在几何计算中的运用
【例7】如图，在河边有一座小山，从山顶A处测得河对岸观测点C的俯
角为30°，河岸观测点D的俯角为45°，河宽CD为50米，现需从山顶
到河对岸C点拉一条笔直的缆绳AC，求所需要的缆绳的长。

【例8】如图，宽为50cm的矩形团由10个全等的小长方形拼成，其中一
个小长方形的面积为（）
A 400cm2
B 500cm2
C 600cm2
D 40000cm2
三、随堂练习
1、古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驼着不同袋数的货物，每袋货物的重量是相同的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驼得一样多！”那么驴子所驼货物的袋数是（）
A 5
B 6
C 7
D 8
2、为适应国民经济的持续协调发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速。

提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326㎞，提速前火车的平均速度为x㎞/小时，提速后火车的平均速度为y ㎞/小时。

则x，y应满足的关系式是（）
A
1326
7.42
x y
-= B
1326
7.42
y x
-= C
13261326
7.42
x y
-= D
13261326
7.42
y x
-=
3、为美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，则改造后的草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）
102030405060100
200300400500600x(件)
y(元)y 1
y 2A 增加了6㎡ B 增加了9㎡ C 减少了9㎡ D 面积保持不变
4、小明家在公寓AD 内，他家对面是一幢大厦BC 。

小明想知道大厦的高度，但由于施工，它不能测出两楼之间的距离AC ，于是小明爬上楼顶，测得大厦顶部B 的仰角为30°，又到楼底，测得大厦顶部B 的仰角为60°。

小明已知自己所在公寓高60米。

请帮他计算出大厦的高度。

5皮鞋价(元) 160 140 120 100 销售百分率
60%
75%
83%
95%
A ．160元
B ．140元
C ．120元
D ．100元
6、南宁市是广西最大的罗非鱼养殖产区，被国家农业部列为罗非鱼优势区域，某养殖场计划下半年养殖无公害标准化罗非鱼和草鱼，要求这两个品种总产值G （吨）满足：15801600G <<，
总产值为1000万元．已知相关数据如上表所示，问该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么范围？（产值=产量×单价）
7、某公司推销一种新产品，设x （件）是推销新产品的数量，y （元）是推销费，图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案．看图解答下列问题： （1）求12,y y 与x 的函数关系式．
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的． （3）如果你是推销员，应该如何选择付费方案？
四、课后练习
选择题：
1、某商店把一类商品按标价的九折（即优惠10%）出售，仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为（）
A 21元
B 19.8元
C 22.4元
D 25.2元
2、某型号的手机连续两次降价，每个的售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出的方程为（）
A 580(1+x)2=1185
B 1185(1+x)2=580
C 580(1-x)2=1185
D 1185(1-x)2=580
3、已知小明身高1.5米，经太阳光照射，在地面上的影子长为2米，若测得同一时刻一塔在地面的影长60米，则塔高为（）
A 90米
B 80米
C 45米
D 40米
4、一个正多边形，它的一个外角等于它相邻内角的，则这个多边形是（）
A 正十二边形
B 正十边形
C 正八边形
D 正六边形
5、如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC=1，
S△ADE=3,则S△CDE=( )
A 2
B 3
2
C 3
D 2
6、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=2
3
，那么AB的长是（）
A 4
B 9
C 35
D 25
7、如图，右边给出的是某年3月的日历，任意圈出一竖列上相邻的三个
数，请运用方程思想来探究，发现这三个数的和不可能是（）
A 69
B 54
C 27
D 40
填空题：
1、据泉州市统计局公布的数据显示，2004年泉州市城镇单位在岗职工年平均工资为14465元，比上年同期增长10.15%，则2003年泉州市城镇单位在岗职工年平均工资为元（结果保留整数）。

2、某商场1月份营业收入是100万元，2月份的营业收入比1月份增加20%，则2月份的营业收入为万元。

3、如图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中
间竖放若干个相同的矩形，则k= 。

4、若实数m，n满足条件m+n=3，且m-n=1，则m= ，n= 。

解答题：
1、某班初三（2）班的师生步行到距离10㎞的山区植树，出发1个半小时后，
张辉同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点，如果张辉同学每小时骑车的路程比步行队伍的路程的2倍多2㎞。

（1）求骑车与步行的速度。

（2）如果张辉同学要提前10分钟到达植树地点，则他骑车的速度应比原来的速度快多少?
2、读诗歌，列方程解应用题：
大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年都东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快？多少年华属周瑜？
3、为了美化市区环境，打造美丽城市，某市决定对一湖泊进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如下：
（1）若该湖泊首批需要清除的淤泥面积大约1.2万㎡，平均厚度约0.4m，那么请哪家公司费用比较节省？请说明理由。

（2）若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了3天，恰好完成清淤工作的一半；若甲公司先做2天，剩下的由乙公司单独完成，则乙公司所用的时间恰好比甲公司单独完成任务的时间多1天，则甲，乙两公司单独完成任务各需要多少天？
4、我国人均年用纸量约为28㎏，每个初中毕业生离校时大约有10㎏废纸；
用1吨废纸造出的再生好纸，能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均
每亩森林只有50至80棵这样的大树。

（1）若某市2010年初中毕业生环保意识较强的5万人，能把自己离校时的
全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么每年至少可使多少亩森林免
遭砍伐？
（2）湖北宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程，到2003年初取得显著成效，森林面积大约由1374.094万亩增加到1500.545万亩，假设该市年用纸量的15%来源于废纸回收，且森林面积年增长率保持不变，宜昌市人口415万人，请计算从2005年初到2006年初一年内，新增加的森林面积与银回收废纸所能保护的森林面积之和能达到多少亩？（精确到亩）。

爱拼才会赢。