静电场的唯一性定理

a r b a e的电荷于Ｃ点，Ａ点电势 b
ｒ是Ｃ－Ａ的距离，则 １ ｒ １
今将球移去而置a e e 0 b r r
U
A

唯一性定理之应用2
a 原问题可以置电荷- e于Ｂ点代之，上述两种情形皆使 b 球面电势为０，对任意一点Ｐｘ，ｙ，ｚ
U x,y,z
b
c
x b
E E
1
2
静电场边界条件


给定他们的混合条件以及不同区域的条件，可 用叠加原理求证，边界条件给定空间电场分布 唯一、恒定。 根据唯一性定理，一个边值问题只要能列出定 解条件，就可以用各种方法得到一个解，且唯 一。常用方法有：
（1）分离变量法；（2）图解法；（3）电像法；（4） 特解法；（5）格林函数法；（6）复位函数法
静电场边界条件定理1
{
v
U x
U U z } 0 y
2 2
2

当且仅当对所有空间U皆有
U U U y x z

U为常数，但在S面上，U=0，所以 U=0
静电场边界条件定理2
静电场若干关系

电场的若干关系
U
2




0
wk.baidu.com（1）

当 0

U

2
0
Laplace equation
E U
静电场若干关系

对静电场E
Eds Udv
2


如果
则有
E F



E F E grad
静电场若干关系

Green函数
y
A
r
1
a
r
b

Oc O
B
x
一球接地，半径a,球外距球心b 处有电荷e，求球外电势之分布
唯一性定理之应用2
易知电势分布关于OB对称，如图， 只需求X-Y面,再将 y 变 y z 即可
2 2 2
设C c,0 是(b, 0)的像点，其关系 cb
2
a . A在球面上，ｒ为Ｂ－Ａ的距离，
ae 2
2
2
y z
2
2
a x b y z
2
2
参阅相关书籍

《电动力学》仁毅志 《电磁学》吴大猷 《电磁学》赵凯华

在此以电像法举例：
Laplace equation
Laplace方程是说，区域内没有电荷（ =0）， 区域内的场仅由各边界面上的面电荷产生。 此法适合边界形状比较规则，如球、柱等。 给定
U ,由
2U=0 U|( x 0, y ,z 0 ) U 0 0 可解出U
唯一性定理之应用
E grad
2
当E为一数函数之梯度
由Gauss定理有
2

grad
grad ds ( )dv
s v 2
grad ds ( )dv
静电场边界条件的唯一性定理
魏国华
0710261
南开大学物理学院
2008年6月
静电场边界条件的唯一性定理

所谓唯一性定理，就是在一个空间内，导体的 带电量或者电势给定以后，空间电场分布恒定、 唯一。边界条件可以是各导体电势，各导体电 量或部分导体电量与部分导体电势之混合，这 样根据高斯公式，泊松方程、拉普拉斯方程可 证明空间电场分布。

若有两种分布U1、U2，即

U 1 n ds 0 sk

0
U 2 n
ds Q
sk
k
静电场边界条件定理3

令
U U 1 U 2

则


U n ds 0, ( k 1, 2...) 0 sk

U相当于所有导体不带电时的恒定分布
U 1 U 2


定理二：若有一U满足（1）且满足S面 上 U 则U唯一。 n 证：若有两个U1、U2，S面上
U 1 n U
2
n

同理可证在所有空间U1=U2。
静电场边界条件定理3

定理三：给定每个导体的电量Q
U Q k ds 0 E nds 0 n ds sk sk sk

电像法
-e

e

e之电势在壳表面为0，假设壳内有-e 他们 在没有壳时在连线与壳交点处电势为0。
唯一性定理之应用1

他们的电位为
e U x, y, z { 4 0
x a y z x a y z
2 2 2 2 2
1

1
}
2
唯一性定理之应用2
s v
静电场边界条件定理1

因此
2 2
( )dv
v
( grad grad ) ds
s
静电场边界条件定理1




定理一： 有函数U满足（1）且满足空间边界面S上 所确定的U值，则该函数唯一。 证：若有U1，U2都 满足，则在S面上， U1=U2； 令U=U1-U2， U 则面积分为零，且