数学史复习资料

1、数学发展史上的三次危机。

①第一次数学危机：无理数的发现
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家，他曾创立毕达哥拉斯学派，“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

毕达哥拉斯定理（勾股定理）提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示用一个新数来表示。

希帕
索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生。

这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

由2000年后的数学家们建立的实数理论才消除它。

②第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

x(n是正整数)求导时既把△x不当做0 1734年英国哲学家、大主教贝克莱一针见血地指出牛顿在对n
看而又把△x当作0看是一个严重的自相矛盾，从而几乎使微积分停滞不前。

后来还是柯西和魏尔斯特拉斯等人提出无穷小是一个无限向0靠近，但是永远不等于0的变量，这才把微积分重新稳固地建立在严格的极限理论基础上，从而消灭的这次数学危机。

③第三次数学危机：集合论悖论（或罗素悖论）的产生
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。

后来集合概念逐渐渗透到众多的数学分支中，并且实际上集合论成了数学的基础。

可是，1903年，英国数学家罗素提出：集合论是有漏洞的！这就是著名的罗素悖论。

罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。

然后问：S是否属于S呢？如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。

无论如何都是矛盾的。

它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。

比如ZF公理系统。

这一问题的解决现在还在进行中。

罗素悖论的根源在于集合论里没有对集合的限制，以至于让罗素能构造一切集合的集合这样“过大”的集合，对集合的构造的限制至今仍然是数学界里一个巨大的难题。

2、最速降曲线问题及其意义。

①问题:
意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。

”他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。

瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题，征求解答。

次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。

这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。

旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。

因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。

②意义：
数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。

3、古希腊三大几何作图问题
①三等分任意角问题
1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题不可能用尺规作图。

如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．
三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明。

②倍立方体问题——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍
该问题起源于两千年希腊神话传说：一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍。

1837年，法国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展。

③化圆为方问题——求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积
1882年林得曼证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方不可能性得以确立，从而解决了2000多年的悬案。

如果放宽作图工具的限制，则可以解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形。

化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响。

4、希尔伯特的数学问题
4>直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。

并未完全解决。

6>物理公理的数学处理数学物理
7>某些数的无理性与超越性超越数论 1934年盖尔丰德和施耐德各自独立地解决了这问题的后半部分。

★8>素数问题数论包括黎曼猜想，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，均未解决。

★9>阿贝尔域上克罗内克定理推广到任意代数有理域复乘法理论尚未解决。

★15>舒伯特计数演算的严格基础舒伯特演算的合理性尚待解决。

18>由全等多面体构造空间结晶体群理论部分解决。

5、如何理解19世纪的数学是函数论的世纪
在18世纪，欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯等人联系着力学的发展，对于单复变函数已经做了不少工作，但函数论作为一门独立学科是在19世纪发展起来的，柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯三大数学家奠定了复变函数论的基础。

柯西在1814－1825年间得到了计算复函数沿复平面上路径积分的基本定理和留数计算公式。

黎曼在1851年第一次明确了单值解析函数的定义，指出实函数和复函数导数的基本差别，阐明现被称为黎曼面的概念和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深入发展的道路。

魏尔斯特拉斯从研究幂级数出发，提出复函数的解析开拓理论，引入完全解析函数的概念。

此外还有阿贝尔和雅可比的椭圆函数理论，斯蒂尔杰斯的连分式的解析理论（由此引进了以他的名字命名的新的积分），以及埃尔米特、米塔-列夫勒、皮卡、阿达马等人的工作，成果十分丰富，以致有人称19世纪是函数论的世纪。

5、潜无限与实无限的异同？
潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。

从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。

他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。

把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。

但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数看作一个完整的实体。

这就是实无限的观点。

6、 从柯瓦列芙斯卡婭的数学道路谈数学中的性别歧视
1> 生于莫斯科，卒于斯德哥尔摩。

她从小就在数学方面有着优异的表现但是这并没有让她严格的父亲松口允许她继续学习数学。

2> 她只好走上当时不甘雌伏的俄罗斯女性常走的险路，以嫁人的方式，取得赴外国居住求学的权利。

1868年，与仰慕她的古生物学学生弗拉德密尔结婚，从此两人展开15年充满辛酸痛苦的婚姻生活。

3> 1869年，她在德国海德堡大学旁听数学和物理课程，当时威尔斯查司的学生科尼斯柏格正好在此任教，马上发现她非凡的数学天赋。

在他的引介之下，1871年她隻身赴柏林，投入威尔斯查司的门下。

当时的学术界有很强的性别偏见，学校当局拒收女性学生，但是威尔斯查司仍然将这位潜力无穷的女性收為门生，私下让她听课，并教授她数学。

4> 1874年，她获得哥根廷大学的博士学位，但是她杰出的表现，再加上威尔斯查司的大力举荐，仍然没有办法突破性别因素，找不到教职。

怀着沮丧的心情，她回到俄罗斯，重新参与文学圈的活动，也为文鼓吹女权的概念。

她在六年之内完全没有办法从事研究，隔了三年才与威尔斯查司通信，希望能再尝试找到教职。

5> 1884年，在威尔斯查司弟子米塔格雷夫勒的大力奔走下，她终于在较开明的瑞典取得了临时的教职，并且在6年后正式获得长聘的专任教授职位，没想到，再隔一年她便因奔波於莫斯科与斯德哥尔摩之间，死於併发性肺炎。

7、 魏尔斯特拉斯对于分析的严格化有哪些重要贡献？
在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。

这种严格化的突出表现是创造了一套δε-语言，用以重建分析体系。

他批评柯西等前人采用的“无限地趋近”等说法具有明显的运动学含义，代之以更为精密的δε
-表述，用这种方式重建了极限、连续、导数等分析基本概念，特别是通过引进以往被忽视的一致收敛性而消
除了微积分中不断出现的各种异议和混乱。

可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于维尔斯特拉斯的工作。

8、 数学符号化的意义？ 1> 促进了数学理论的形成。

用符号代替数字和运算是数学发展的瓶颈,数学的符号化，使数学理论的体系更严密，并且具有普遍性、适应性。

2> 简缩数学思维过程，符号化给数学理论的表述和论证带来极大的方便。

9、16世纪的意大利数学家如何求解3次、4次方程？
①对三次方程的探求
1> 大约1500年左右，波仑大学的算术与几何学教授费罗用代数方法得到了n mx x
=+3这样一类缺项三次方程的求解公式但并未公布于世。

2> 塔塔利亚全心投入三次方程的研究，终于发现了方程 q px x +=3，q px x =+23和
23px q x =+的解法。

塔塔利亚发现的三次方程后不仅没有告诉别人，也没有马上发表出来。

他想把这个方法发表在筹划已久的著作《数量通论》中。

最后却被卡当先发表在了《大术》中，而这也成了塔塔利亚一生的遗憾。

正如现在我们所知道的，三次的方程的求根公式又叫做卡当公式。

③ 对四次方程的探求
费拉里出身贫苦，15岁时做了卡当的家仆，卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，并表现出了出众的数学才能，被卡当收做学生，曾代替卡当出庭，费拉里能言善辩，让本来是受害人的塔塔利亚败诉。

费拉里掌握了三次方程的求解后有研究出了四次方程的求解。

费拉里将四次方程转化成已经发现求根公式的三次方程的方法来求解，就是我们现在所说的“化未知为已知”“化复杂为简单”。

10、20世纪应用数学的特点？
1> 数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透；
2> 纯粹数学几乎所有的分支都得到了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透；
3> 现代数学对生产技术的应用变得越来越直接；
4> 现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科，如数理统计、运筹学、控制论等等。

11、数学物理、生物数学、数理经济学等学科有哪些成果？
①数学物理方面：
1>在20世纪初狭义相对论和广义相对论的创立过程中，数学都建有奇功。

2>量子力学数学基础的确立。

3>在20世纪下半叶，大范围微分几何在统一场论中得到应用。

4>1981年以来兴起的“超弦理论”，正成为数学家与物理学家携手合作的又一个活跃领域。

②生物数学方面：
1>20世纪初，英国统计学家皮尔逊首先将统计学应用于遗传学与进化论。

2>1984年，琼斯多项式的发现，生物学家应用其对他们在DNA的结构中观察到的纽结进行分类；
1976年以来，数学家与生物学家合作在运用统计学与组合数学来了解DNA链中碱基的排序方面也取得了令人鼓舞的成绩。

3>CT扫描仪的发明。

4>人口理论和种群理论；神经网络描述；生物高分子结构分析。

③数理经济学方面：
线性规划论；价格理论；纳什均衡理论；布莱克—斯科尔斯理论。

12、数理统计、运筹学和控制论等学科特点有哪些？
①数理统计特点：
1> 一是随机性，就是说其研究对象应当具有随机性，确定性现象不是数理统计所要研究的内容。

2> 二是有限性，就是说数理统计据以研究的随机现象数量表现的次数是有限的。

3> 三是数量性，即数理统计以研究随机现象的数量规律性为主，而对随机现象质的研究为次。

4> 四是采用的研究方法主要为归纳法。

5> 最后，数理统计通过对小样本的研究以达到对整体的推断都具有一定的概率可靠性。

②运筹学特点：
1> 已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；
2> 既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；
3.它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。

③控制论特点：
控制论有三个发展阶段：经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论。