数学史复习资料

1、数学发展史上的三次危机。

①第一次数学危机：无理数的发现

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家，他曾创立毕达哥拉斯学派，“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

毕达哥拉斯定理（勾股定理）提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示用一个新数来表示。希帕

索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生。这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。由2000年后的数学家们建立的实数理论才消除它。

②第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

x(n是正整数)求导时既把△x不当做0 1734年英国哲学家、大主教贝克莱一针见血地指出牛顿在对n

看而又把△x当作0看是一个严重的自相矛盾，从而几乎使微积分停滞不前。后来还是柯西和魏尔斯特拉斯等人提出无穷小是一个无限向0靠近，但是永远不等于0的变量，这才把微积分重新稳固地建立在严格的极限理论基础上，从而消灭的这次数学危机。

③第三次数学危机：集合论悖论（或罗素悖论）的产生

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。后来集合概念逐渐渗透到众多的数学分支中，并且实际上集合论成了数学的基础。可是，1903年，英国数学家罗素提出：集合论是有漏洞的！这就是著名的罗素悖论。

罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后问：S是否属于S呢？如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。比如ZF公理系统。这一问题的解决现在还在进行中。罗素悖论的根源在于集合论里没有对集合的限制，以至于让罗素能构造一切集合的集合这样“过大”的集合，对集合的构造的限制至今仍然是数学界里一个巨大的难题。

2、最速降曲线问题及其意义。

①问题:

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。

瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题，征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。

旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。

②意义：

数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。

3、古希腊三大几何作图问题

①三等分任意角问题

1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题不可能用尺规作图。如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．

三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明。

②倍立方体问题——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍

该问题起源于两千年希腊神话传说：一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍。1837年，法国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展。

③化圆为方问题——求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积

1882年林得曼证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方不可能性得以确立，从而解决了2000多年的悬案。

如果放宽作图工具的限制，则可以解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形。

化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响。

4、希尔伯特的数学问题

4>直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。并未完全解决。

6>物理公理的数学处理数学物理

7>某些数的无理性与超越性超越数论 1934年盖尔丰德和施耐德各自独立地解决了这问题的后半部分。★8>素数问题数论包括黎曼猜想，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，均未解决。

★9>阿贝尔域上克罗内克定理推广到任意代数有理域复乘法理论尚未解决。

★15>舒伯特计数演算的严格基础舒伯特演算的合理性尚待解决。

18>由全等多面体构造空间结晶体群理论部分解决。

5、如何理解19世纪的数学是函数论的世纪

在18世纪，欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯等人联系着力学的发展，对于单复变函数已经做了不少工作，但函数论作为一门独立学科是在19世纪发展起来的，柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯三大数学家奠定了复变函数论的基础。

柯西在1814－1825年间得到了计算复函数沿复平面上路径积分的基本定理和留数计算公式。

黎曼在1851年第一次明确了单值解析函数的定义，指出实函数和复函数导数的基本差别，阐明现被称为黎曼面的概念和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深入发展的道路。

魏尔斯特拉斯从研究幂级数出发，提出复函数的解析开拓理论，引入完全解析函数的概念。此外还有阿贝尔和雅可比的椭圆函数理论，斯蒂尔杰斯的连分式的解析理论（由此引进了以他的名字命名的新的积分），以及埃尔米特、米塔-列夫勒、皮卡、阿达马等人的工作，成果十分丰富，以致有人称19世纪是函数论的世纪。

5、潜无限与实无限的异同？

潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。

从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。