空间解析几何基础知识

向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
非零向量 a 的方向角：、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
• M2
M1•
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax | a| cos ay | a| cos az | a| cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
2
投影为零；
c
a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
二、向量在坐标轴上的分向量与向量
的坐标
设a是以M1( x1 , y1 , z1 )为起点、M2 ( x2 , y2 , z2 )
c).
（3）
a
(a)
0.
[2]
减法
a
b
a
(b)
b
a
a
b
a
b
b b c
a
b
c
a
(b)
a
b
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0, a与a同向，| a| | a|
(2) 0,
a
0
(3) 0, a与a反向，| a|| | | a|
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
{bx ,
az
by , bz }
bz },
a
(a
x
b {ax
bx )i (ay by )
bx
,a
y
by
,
az
j (az
bz
}
bz
)k;
a
(ax bx )i
{ax ,ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k;
(ax )i (ay ) j (az )k.
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
空间一点在轴上的投影
•A
过点A 作轴u的Βιβλιοθήκη Baidu直
A
u
平面，交点A 即为点 A 在轴u 上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A 和终点B 在
轴u上的投影分别为 A, B那
么轴u 上的有向线段AB 的
值，称为向量在轴u 上的投影.
向量AB在轴u 上的投影记为 Pr ju AB AB.
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
b
分为同向和反向
c
|
c||
a|
|
b|
b a
c
|
c|
|
a|
|
b|
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
a 2a
1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0，那末向量b平行于 a的充
分必要条件是：存在唯一的实数
，使
b
a.
设a0表示与非零向量a同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
为终点的向量，
过M1 , M2各作垂直于三个坐标轴的平面 , 这六个平面围成一个以线段M1M 2 为对角线的
长方体.
以i
,
j,
k 分别表示沿x,
z
y,
za轴正a向xi的 单ay位j 向a量zk.
R
向向 向
• M2
量量 量
x
k M1•
P
o
j
i
Q
在
x
N
y
轴 上
的
ax x2 x1 投
在 y 轴 上 的 投
a | a| a0
|
a a
|
a0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
一、空间两向量的夹角的概念：
a
0,
b 0,
b
向量a与向量b的夹角
a
(a,
b)
(b, a)
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
向量的坐标： ax , a y , az , 向量的坐标表达式： a {ax , a y , az }
M1M2 { x2 x1, y2 y1, z2 z1}
特殊地：OM {x, y, z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
aab{ax{,aax
y,
az },
bx
,
a
y
b by ,
关于向量的投影定理（1）
向量AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
u u
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
余 弦
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2 | a| ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2 a y2 az2 0 时，
cos cos
ax
,
ax2 ay2 az2
在z
轴 上 的 投
a y y2 y1 az z2 z1 影 影 影
M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
按基本单位向量的坐标分解式：
M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk ,
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
二、空间两点间的距离