概率论第三次习题课

X X n 1 2 ), 则 n 1 ~ N (0,1), n n 1 n PS.1:三种分布均有独立的条 2 n Xi X 2 (n 1) S 2 件 又 ( ) ~ ( n 1), 2 X n 1 X ~ N (0,

i 1

X n 1 , X , S 2相互独立，从而X n 1 X 与S 2相互独立，所以 X n 1 X n 1 n X n 1 X n ~ t(n 1) 2 n 1 S (n 1) S 2 (n 1)
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第6章
三种分布 分位数的概念
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第6章
4.设X 1 ,..., X n , X n 1为来自正态总体N ( , 2 )的简单随机样本，记 X n 1 X 1 n 1 n 2 2 X Xi , S ( X X ) , 则统计量 T c * i n i 1 n 1 i 1 S 在c _____ 时,服从参数为_____的t分布
12
1 1 0.415 F0.025 (17, 25) 2.41
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第8章
S12 将S1 0.27，S 2 0.4代入 2 得 S2 S12 0.27 2 = =0.46. 2 2 S 2 0.40
1 2 由于0.415 0.46 2.56, 说明计算结果未落入否定域，接受H 0 : 12 2 . 2 在认为 12 2 的基础上，检验
P( X u ) 要求P(| X | x) , 即P(| X | x) 1- . 1-a P( X x) , 则x =u1-a 2 2
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第7章
矩估计量 最大似然估计量 置信区间与置信度(总体方差已知的均值的置信区间) 无偏估计 Eˆ
S12 S12 否定域为 2 F (n1 1, n2 1)或 2 F (n1 1, n2 1) 1S2 S2 2 2 查F 分布的分位数表得 F (n1 1, n2 1) F0.025 (25,17) 2.56
2
F (n1 1, n2 1) F0.975 (25,17)
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第8章
两类错误的定义(以真当假，第一类错误；以假当真，第二 类错误) 单个正态总体的均值方差的假设检验（总体方差未知条件 下对总体均值的检验） 双正态总体的均值和方差的假设检验
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第8章
1 设每袋螺丝钉的重量为X i , EX i 50, DX i 25,
则100袋螺丝钉重量S100 X i ~ N (5000, 2500)
i 1 100
则P( X i 5100) P( i 1
i 1
100
X
100
i
5000
50
5100 5000 ) 50
令Z X 2Y E ( Z ) EX 2 EY 1, D( Z ) DX 4 DY 4 cov( X , Y ) 4.6 P{4 X 2Y 6} P{4 Z 6} P{5 Z EZ 5} P{| Z 1| 5} 1 4.6 0.816 2 5
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第7章
6. 设由来自正态总体X ~ N ( , 0.92 )的容量为9的简单随机样本 得样本均值X 5，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是 ____
由于置信度1- 0.95，查 (u p ) 1

2 得u p =1.96, 总体方差已知时的总体均值的置信区间为
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PS.2:
EX 的矩估计量是X , DX 的矩估计量是 1 n ( X i X ) 2， n i 1 1 n 而非 ( X i X )2。 n 1 i 1
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第6章
5.设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的 (0 1), 数u 满足P( X u ) , 若P(| X | x) , 则x等于()
H 0 : 1 2 , 其否定域为 xy t (n1 n2 2). 1 1 2 Sw n1 n2 查t分布分位数表得t (n1 n2 2)=t0.025 (42) 2.021
2 2 (n1 1) S12 (n2 1) S 2 25 0.27 2 17 0.4 2 S 0.1082 n1 n2 2 42 2 w
设马和羊的血清中无机磷的含量分别为 X 和Y，由已知条件可知,x 3.29, S1 0.27, y 3.96, S 2 0.4. 根据题目要求,应检验1是否等于2 .但因不知方
2 2 差 12和 2 , 因而应先检验 12是否等于 2 .先取 1 2 H0 : 12 2 ,
0.975,
0 0 , x up x up , 带入公式得到所求。 n n
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第7章
7. 设总体X 的概率分布为 X pi 0 1 2 (1 ) 2 3 1 2 0 1 2 其中 是未知参数，利用总体X 的如下样本值3,1,3, 0,3,1, 2,3，
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第 5章
2. 设随机序列X n独立同分布，若_____时，辛钦大数定律成立。 (A) X i (i 1, 2,...)的分布律为P{ X i k} (B) X i (i 1, 2,...)服从同一离散分布 (C) X i (i 1, 2,...)服从同一连续分布 (D) X i (i 1, 2,...)的分布律为P{ X i k} 4 (k 1, 2,...) k (k 1) 1 (k 1, 2,...) k (k 1)(k +2)
8.设某市犯罪青少年的年龄结构服从正态分布，今随机地抽取9名罪犯， 其年龄如下：22，17,19,25，25,18,16,23,24，试以 =0.05的概率判断 犯罪青少年的年龄均值是否为18岁。
（）提出假设： 1 H 0 18 (2) 选择统计量：总体方差未知的情况下检验总体均值，选 T X 18 ~ t(8), S 9
S w 0.329,
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1 1 1 1 0.307, x y 0.67. n1 n2 26 18
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第8章
由以上结果得 xy 0.67 = =6.63 2.021 0.329 0.307 1 1 Sw n1 n2 说明计算结果落入了否定域，所以在 =0.05 的条件下， 认为马和羊的每100ml血清中无机磷含量有显著性差异。
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谢谢！
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2
2
求矩估计量和最大似然估计量。
(1) EX 0 2 1 2 (1 ) 2 2 3 (1 2 ) 3 4 , 1 x (3 1 3 0 3 1 2 3) 2. 8 ˆ= 1 令EX x , 得 4 (2) L( ) 4 6 (1 ) 2 (1 2 ) 4 ln L( ) ln 4 6 ln 2 ln(1 ) 4 ln(1 2 ) d ln L( ) 6 2 8 6 28 24 2 d 1 1 2 (1 )(1 2 ) 令 d ln L( ) 7 13 7+ 13 1 0, 得1,2 = ， 舍去 d 12 12 2
辛钦大数定理有两个条件, 一是独立同分布, 二是期望存在. 四个选项都满足独立同分布的要求, B、C 无法确定期望是否存在, D写出期望计算式可知级数是发散的, 所以期望不存在. 而A写出期望计算式的级数是收敛的, 期望存在.
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第5章
3. 假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值是50 g , 标准差是5g. (1) 求100个螺丝钉一袋的重量超过5.1kg的概率。 (2)求每箱螺丝钉装有500袋， 500袋中最多有4%的重量超过5.1kg的概率。
1 (2) 0.02275 (2)一箱（500袋）中重量超过5.1kg的袋数为Y , Y 服从B(500， 0.02275) EY 11.375, DY 11.116 则P(Y 0.04*500) P(Y 20) P( Y 11.375 20 11.375 ) (2.59) 0.995 11.116 11.116
习题课（5-8）
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第5章
切比雪夫不等式 大数定律成立的条件及结论 中心极限定理
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第5章
1. 设X、Y 分别服从N (1,1), N (0,1)且E( XY ) 0.1, 试用切比雪夫不等式 估计P{4 X 2Y 6} ________
(3)查 t(8， 0.025)得到 =2.306 ˆ 21 18 2.55; (4)计算统计量的值：T 12.5 / 3 ˆ|>2.306,落入拒绝域，因此能以95%的概率把握犯罪少年的年龄不是18岁 (5)因为|T
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第8章
9. 检测了26匹马，测得每100ml的血清中，所含的无机磷平均为3.29ml,标准 差为0.27ml; 又检验了18头羊，测得每100ml血清中含无机磷平均为3.96ml,标 准差为0.4ml.设马和羊的血清中含无机磷的量都服从正态分布，试问在显著 性水平 =0.05的条件下，马和羊的血清中无机磷的含量有无显著性差异？