243正多边形和圆复习

顶角∠ BAC =36 °,弦 BD ,CE 分别平分∠ ABC,∠ ACB, 求证:五边形 AEBCD 是正五边形.
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图 24-3-1
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【解析】 要证明五边形 AEBCD 是正五边形 ,只需证 A( E = E(B = B( C = C(D = D( A即可.
证明:∵△ ABC 是等腰三角形 ,且∠ BAC =36 °, ∴∠ ABC = ∠ ACB =72 °. 又∵ BD 平分∠ ABC, CE 平分∠ ACB, ∴∠ ABD= ∠ CBD = ∠ BCE = ∠ ACE =36 °,
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图 24-3-2
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【解析】设正五边形的边长为 a,根据正五边形的面积
等于科学方舟面积的 2 倍列方程求解,依题意,有
1
2×
2
×a×5=
?1 ?? 2
?
AB
?
a 2
?
1 2
?
a?
AC
?
??×2,
52
即2
a=
?1 ?? 2
AB
?
AC
???×a,∴
1
2 AB+ AC=
52 2
∴ OC =
O A2 - AC 2 =
3
2 a,
∴正六边形的边心距与边长之比为
3 2
a∶
a=
3 ∶ 2.故选 B.
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第 2源自文库题答图
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3.已知正六边形的边长为 4 cm,那么正六边形的中心角是 60 度,半径是 4 cm,边心距是 2 3 cm,它的每一个内角 是 120 度.
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2.[2013·天津]正六边形的边心距与边长之比为( B )
A. 3 ∶ 3 B. 3 ∶ 2 C.1∶ 2
D. 2 ∶ 2
【解析】 如图,设正六边形的边长是 a,则半径长也是 a.
1
1
经过正六边形的中心 O 作边 AB 的垂线 OC,则 AC= 2 AB= 2 a,
3.正多边形的有关概念 中 心:正多边形的外接圆(或内切圆)的 圆心 叫做 正多边形的中心. 半 径:正多边形的 外接圆 的半径叫做正多边形的 半径. 边心距:正多边形的中心到正多边形的一边的 距离 叫做正多边形的边心距. 中心角:正多边形每一边所对的外接圆的 圆心角 叫做 正多边形的中心角.
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1.如图 24-3-4,在☉O 中,OA= AB,OC⊥AB,则下列结论错误的
是( D )
A.弦 AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B.弦( AC(的长等于圆内接正十二边形的边长
C.AC= BC
D. ∠ BAC =30 °
图24-3-4
【解析】因为 OA= AB= OB,所以△OAB 是等边三角形,又 OC⊥AB , 所以∠ AOC= ∠ BOC=30 °,所以∠ BAC=15°,D 不正确.
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即∠ BAC = ∠ ABD= ∠ CBD = ∠ BCE = ∠ ACE, ∴ B(C = A(D= C(D = B(E = A(E, ∴ A,E, B,C,D 是☉O 的五等分点, ∴五边形 AEBCD 是正五边形.
【点悟】要证明一个圆的内接多边形是正多边形,只需要各边 所对的劣弧相等即可.
( 1)作☉O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边 形 AEFCGH ;
(2)在(1)题所作的图中 ,如果点 E 在 A( B 上,试 证明 EB 是☉O 的内接正十二边形的一边 .
图24-3-3
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【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出 ☉O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH ;(2)计算 E B 所对的圆 心角的度数 .
∵ AB 是正方形的一边 ,∴∠
AOB =
360 ? 4
=90 °,
∴∠ BOE = ∠ AOB-∠ AOE =90 °-60°=30 °.
设
EB
是☉O 的内接正
n 边形的一边 ,则
360 n
?
=30
°,
∴ n=12 ,∴ EB 是☉O 的内接正十二边形的一边 .
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1.[2013·绵阳]如图 24-3-5,要拧开一个边长为 a=6 mm 的正六边形
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类型之二 正多边形的有关计算
小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴
趣,他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折 ,旋转放置 ,做成科学
方舟模型,如图 24-3-2 所示,该正五边形的边心距 OB 长为 2 ,AC 为科
1
52
学方舟船头 A到船底的距离 ,请你计算 AC+ 2 AB= 2 .
24.3 正多边形和圆
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1.正多边形 定 义:各 边 相等,各 角 也相等的多边形叫 做正多边形 . 2.正多边形与圆的关系 规 律:把圆分成 n(n≥ 3)等份,依次连接各分点所得的 多边形是圆的内接正 n边形.
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4.正多边形的画法 原 理:由于在同圆或等圆中 ,相等的圆心角所对的弧 相等 ,所对的弦相等 ,因此可以用等分圆心角的方法来等 分圆周 ,画正多边形 . 方 法:等分圆周有两种方法 :①用 量角器 等分;② 用 圆规 等分.
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类型之一 证明圆内接多边形是正多边形 如图 24-3-1所示,已知△ABC 是☉O的内接等腰三角形,
.
【点悟】 抓住正多边形的外接圆半径、边长、边心 距的位置关系 ,在解决有关正多边形的计算问题时 ,根据面 积关系建立等式 ,会使计算更简捷 .这种利用面积求解的方
法叫做面积法 .
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类型之三 画正多边形
已知☉O 和☉O 上的一点 A,如图 24 - 3- 3 所示.
例 3 答图
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解:(1)如图所示 ,在☉O 中,用直尺和圆规作两条互相垂直的直径 AC
和 BD,连接 AB,BC, C D,DA,得☉O 的内接正方形 ABCD ;按正六边形的作法
用直尺和圆规在 ☉O 中作出正六边形 AEFCGH .
360 ?
(2)如图,连接 OE .∵ AE 是正六边形的一边 ,∴∠ AOE = 6 =60 °.