2012-2013学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷

2012-2013学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷
D
9．（3分）（2008•上海）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围
是．
10．（3分）（2013春•浦东新区期中）若
，则a=．
11．（3分）（2013春•浦东新区期中）已知函数y=log a（3﹣ax），（a＞0，a≠1）在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围为．12．（3分）（2013春•浦东新区期中）已知角α终边上一点P（t，﹣4），若，则
tanα=．
二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2013春•浦东新区期中）“”是“”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14．（3分）（2013春•浦东新区期中）若函数
的定义域为R，则k的取值范围是（）
A．B．C．
D．
15．（3分）（2013春•浦东新区期中）将a2b=N（a ＞0，a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（）
A．B．C．D．16．（3分）（2013春•浦东新区期中）已知函数
，若存在正整数k满足：f（1）•f（2）•f（3）•…•f（n）=k，那么我们把k叫做关于n的“对整数”，则当n∈[1，10]时，“对整数”共有（）
A．1个B．2个C．4个D．8个
三、解答题（本大题共5小题，满分52分）17．（8分）（2013春•浦东新区期中）解方程：log2（9x﹣5）=log2（3x﹣2）+2．
18．（8分）（2013春•浦东新区期中）已知tanα=﹣2，求下列各式的值．
（1）
（2）4sin2α+3cos2α
19．（10分）（2013春•浦东新区期中）已知
，且π＜α＜2π，求tan（2π﹣α）．
20．（10分）（2013春•浦东新区期中）扇形AOB 的周长为8cm．
（1）若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．
21．（16分）（2013春•浦东新区期中）已知函数
是奇函数．
（1）求m的值；
（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；
（3）讨论f（x）的单调性，并用定义证明；（4）当f（x）定义域区间为（1，a﹣2）时，f （x）的值域为（1，+∞），求a的值．
2012-2013学年上海市浦东新区高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2013春•浦东新区期中）求值：= 75．
【分析】利用指数恒等式以及对数的运算法则进行求值．
【解答】解：=，
故答案为：75．
【点评】本题主要考查指数的运算法则和指数恒等式，要求熟练掌握相应的公式：．
2．（3分）（2013春•浦东新区期中）已知函数f （x）=x 2﹣1（x≤﹣2），则f﹣1（4）=．【分析】根据互为反函数的性质：由x2﹣1=4（x≤﹣2），解得即可．
【解答】解：根据互为反函数的性质：由x2﹣1=4（x≤﹣2），解得．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了互为反函数的性质，属于基础题．
3．（3分）（2013春•浦东新区期中）与终边相同的最小正角是．
【分析】利用终边相同的角的集合定理即可得出．
【解答】解：∵=，
∴与终边相同的最小正角是．
故答案为：．
【点评】本题考查了终边相同的角的集合定理，属于基础题．
4．（3分）（2013春•浦东新区期中）已知
sinαcosα＜0，则α是第二或四象限角．【分析】由sinαcosα＜0，可得或
．进而判断出α所在的象限．
【解答】解：∵sinαcosα＜0，
∴或．
因此α是第二或四象限角．
故答案为：二或四．
【点评】本题考查了角所在的象限符号问题，属于基础题．
5．（3分）（2013春•浦东新区期中）已知log32=a，则log 3218用a表示为．
【分析】利用对数的换底公式和对数的运算法则进行化简即可．
【解答】解：利用对数的换底公式可得
log3218=，
∵log32=a，∴log3218=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查对数的换底公式以及对数的运算法则的应用，要求熟练掌握相应的运算公式．
6．（3分）（2013春•浦东新区期中）若，则a的取值范围是．
【分析】利用对数的运算性质，解对数不等式即可，要对a进行分类讨论．
【解答】解：∵，∴，
若a＞1，此时函数y=log⁡a x单调递增，则有，
解得a＞1．
若0＜a＜1，此时函数y=log⁡a x单调递减，则有，解得．
综上：a＞1或．
故答案为：．
【点评】本题主要考查对数的基本运算以及对数不等式的解法，要注意对底数a进行分类讨论，利用对数函数的单调性进行解决．
7．（3分）（2013春•浦东新区期中）函数f（x）=x2+2ax+1在[﹣1，2]上不存在反函数，则实数a 的取值范围为（﹣2，1）．
【分析】由函数f（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2在[﹣1，2]上不存在反函数，可得﹣1＜﹣a＜2，解出即可．
【解答】解：f（x）=（x+a）2+1﹣a2，
∵函数f（x）=x2+2ax+1在[﹣1，2]上不存在反函数，∴﹣1＜﹣a＜2，
解得﹣2＜a＜1．
故答案为（﹣2，1）．
【点评】本题考查了二次函数的单调性、反函数的定义等基础知识，属于基础题．
8．（3分）（2013春•浦东新区期中）若
，则=cosα﹣sinα．【分析】由α的范围判断出cosα﹣sinα的正负，所求式子利用完全平方公式变形，利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．
【解答】解：∵α∈（，），
∴cosα＞sinα，即cosα﹣sinα＞0，
则==|cosα﹣
sinα|=cosα﹣sinα．
故答案为：cosα﹣sinα
【点评】此题考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
9．（3分）（2008•上海）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．
【分析】首先画出x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x 的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈（﹣∞，0）时的图象，
最后观察图象即可求解．
【解答】解：由题意可画出f（x）的草图
观察图象可得f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）
故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）
【点评】本题考查奇函数及对数函数f（x）=lg x 的图象特征，同时考查数形结合的思想方法．
10．（3分）（2013春•浦东新区期中）若
，则a=8．
【分析】由α的范围，得到sinα大于0，cosα小于0，利用同角三角函数间的基本关系列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，
cosα=，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∵sin2α+cos2α=1，
∴（）2+（）2=1，＞0，＜0，
整理得：4a（a﹣8）=0，且a＞3或a＜﹣5，
解得：a=8．
故答案为：8
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
11．（3分）（2013春•浦东新区期中）已知函数y=log a（3﹣ax），（a＞0，a≠1）在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围为（1，3）．【分析】利用复合函数的单调性确定a的取值范围即可．
【解答】解：设t=g（x）=3﹣ax，则∵a＞0，a≠1，∴t=3﹣ax在定义域上单调递减，
要使函数y=log a（3﹣ax），（a＞0，a≠1）在[0，1]上单调递减，
则有y=log a t在定义域上为单调递增，
则须有，即，解得1＜a＜3．
故实数a的取值范围为1＜a＜3．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性的判断，利用内外层函数单调性之间的关系进行求解：“同增异减”．
12．（3分）（2013春•浦东新区期中）已知角α终边上一点P（t，﹣4），若，则tanα=
．
【分析】对t分类讨论，t=0时，α的终边落在y轴的非正半轴上，此时tanα不存在．t≠0时，由|OP|=，可得，解得
t．进而利用正切函数的定义即可得出．
【解答】解：当t=0时，点P（0，﹣4），α的终边落在y轴的非正半轴上，此时tanα不存在．当t≠0时，|OP|=，
∴，解得t=±3．
当t=3时，；
当t=﹣3时，．
综上可知：．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的定义、分类讨论的思想方法等基础知识与基本方法，属于基础题．
二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2013春•浦东新区期中）“”是“”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当时，成立．
若，当α=时，也成立，但不成立．
故“”是“”的必要不充分条件．故选B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的定义是解决本题的关键．
14．（3分）（2013春•浦东新区期中）若函数
的定义域为R，则k的取值范围是（）
A．B．C．
D．
【分析】利用对数函数的性质，将函数的定义域转化为kx2+4kx+3＞0恒成立即可．
【解答】解：要使函数的定义域为R，则kx2+4kx+3＞0恒成立．
若k=0，则不等式kx2+4kx+3＞0等价为3＞0，∴k=0成立．
若k≠0，要使为kx2+4kx+3＞0恒成立，则
，
即，解得0．
综上：0．
故选C．
【点评】本题主要考查对数函数和二次函数的图象和性质，利用对数的性质，将问题转化为不等式恒成立是解决本题的关键，注意对k要进行讨论．
15．（3分）（2013春•浦东新区期中）将a2b=N（a ＞0，a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据指数式和对数式之间的关系，以及对数的运算法则分别进行判断．
【解答】解：根据指数式和对数式之间的关系可得，若a 2b=N，则2b=log a N，即，∴A正确．
若a2b=N，则（a2）b=N，则，∴B正确．若a2b=N，则（a b）2=N，则，∴C正确．∴D错误．
故选D．
【点评】本题主要考查指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：a b=N⇔b=log⁡a N．
16．（3分）（2013春•浦东新区期中）已知函数
，若存在正整数k满足：f（1）•f（2）•f（3）•…•f（n）=k，那么我们把k叫做关于n的“对整数”，则当n∈[1，10]时，“对整数”共有（）
A．1个B．2个C．4个D．8个
【分析】由题意，f（x）=log（x+1）（x+2）=，
再计算f（1）f（2）f（3）…f（x）=log2（x+2），根据1≤x≤100，得log23≤log2（x+2）≤log212，从而可得“对整数”的个数．
【解答】解：由题意，根据换底公式得，f（x）=log（x+1）（x+2）=，
所以k=f（1）f（2）f（3）…f（x）
=…==log2（x+2）．
∵1≤x≤10，∴log23≤log2（x+2）≤log212
整数有log24，log28，即2，3，两个整数．
故选：B．
【点评】本题的考点排列、组合的实际应用，主要考查新定义，考查对数运算，属于基础题．
三、解答题（本大题共5小题，满分52分）17．（8分）（2013春•浦东新区期中）解方程：log2（9x﹣5）=log2（3x﹣2）+2．
【分析】利用对数的运算法则建立对数方程，将条件转化为指数方程进行求解，求解之后注意要进行检验．
【解答】解：由，得
，
即9x﹣5=4（3x﹣2），∴（3x）2﹣4•3x+3=0，
解得3x=1或3x=3，
∴x=0或x=1．
当x=0时，9x﹣5＜0，∴不合题意，舍去，
∴原方程的解是x=1．
【点评】本题主要考查对数方程和指数方程的解法，求解后要注意要对根进行检验．
18．（8分）（2013春•浦东新区期中）已知tanα=﹣2，求下列各式的值．
（1）
（2）4sin2α+3cos2α
【分析】（1）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值；
（2）原式分母看做“1”，分子分母除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵tanα=﹣2，
∴原式====1；
（2）∵tanα=﹣2，
∴原式====．
【点评】此题考查了三角函数的化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
19．（10分）（2013春•浦东新区期中）已知
，且π＜α＜2π，求tan（2π﹣α）．
【分析】利用诱导公式化简，然后将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：由已知得sinα+cosα=﹣，
两边平方得：1+2sinαcosα=，
即2sinαcosα=﹣，
∵π＜α＜2π，∴sinα＜0，
∵2sinαcosα=﹣＜0，
∴cosα＞0，
∴＜α＜2π，
∴cosα＞0＞sinα，
可得，
解得：，即tanα=．
则tan（2π﹣α）=﹣tanα=﹣=．
【点评】此题考查了三角函数的化简求值，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
20．（10分）（2013春•浦东新区期中）扇形AOB 的周长为8cm．
（1）若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．
【分析】（1）根据周长和面积列出关于r和l的方程组，解方程组即可．
（2）根据周长和S=lr=l•2r以及均值不等式求出最大值，进而得出半径，即可求出弦长．
【解答】解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
（1）由题意知，
解得：
或
∴α==或6；
（2）∵2r+l=8，
∴S=lr=l•2r≤，
当且仅当2r=l，即α==2时，面积取得最大值4，
∴r=2，
∴弦长AB=2sin1×2=4sin1．
【点评】此题考查了扇形面积公式以及均值不等式的运用，属于中档题．
21．（16分）（2013春•浦东新区期中）已知函数
是奇函数．
（1）求m的值；
（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；
（3）讨论f（x）的单调性，并用定义证明；（4）当f（x）定义域区间为（1，a﹣2）时，f （x）的值域为（1，+∞），求a的值．
【分析】（1）利用奇函数的性质f（﹣x）+f（x）=0即可解得；
（2）由（1）可得：y=，化为指数式，先用x表示y，再把x与y互换即可得出f﹣1（x）．（3）先判断函数y=在其定义域上的单调性，通过对a分类讨论，再利用复合函数的单调性的判断方法“同增异减”的法则即可得出f（x）的单调性；
（4）由于1＜x＜a﹣2，解得a＞3，由（3）可知f（x）在（1，a﹣2）上单调递减．可得f（a ﹣2）=1，解出即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴，对定义域内的任意x恒成立，
∴．
解得m=±1，经检验m=﹣1成立．
（2）由（1）可得：y=，由，解得x
＞1或x＜﹣1．
∴函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}．由y=，化为，解得（y≠0），∴．
（3）由（2）可知函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
设，
∵，
∴g（x1）＞g（x2），
∴函数，
∴当a＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递减，
当0＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增．
（4）∵1＜x＜a﹣2，
∴a＞3，
由（3）可知f（x）在（1，a﹣2）上单调递减．
∴，
解得．
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、复合函数的单调性的判断方法“同增异减”的
法则、分类讨论、反函数的求法等基础知识与基本方法，属于难题．
参与本试卷答题和审题的老师有：maths；孙佑中；sllwyn；wzj123；zwx097；wubh2011（排名不分先后）
菁优网
2016年4月9日。