2012-2013学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷

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2012-2013学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷
D
9.(3分)(2008•上海)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围
是.
10.(3分)(2013春•浦东新区期中)若
,则a=.
11.(3分)(2013春•浦东新区期中)已知函数y=log a(3﹣ax),(a>0,a≠1)在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围为.12.(3分)(2013春•浦东新区期中)已知角α终边上一点P(t,﹣4),若,则
tanα=.
二、选择题(本大题4小题,每小题3分,共12分)
13.(3分)(2013春•浦东新区期中)“”是“”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件
14.(3分)(2013春•浦东新区期中)若函数
的定义域为R,则k的取值范围是()
A.B.C.
D.
15.(3分)(2013春•浦东新区期中)将a2b=N(a >0,a≠1)转化为对数形式,其中错误的是()
A.B.C.D.16.(3分)(2013春•浦东新区期中)已知函数
,若存在正整数k满足:f(1)•f(2)•f(3)•…•f(n)=k,那么我们把k叫做关于n的“对整数”,则当n∈[1,10]时,“对整数”共有()
A.1个B.2个C.4个D.8个
三、解答题(本大题共5小题,满分52分)17.(8分)(2013春•浦东新区期中)解方程:log2(9x﹣5)=log2(3x﹣2)+2.
18.(8分)(2013春•浦东新区期中)已知tanα=﹣2,求下列各式的值.
(1)
(2)4sin2α+3cos2α
19.(10分)(2013春•浦东新区期中)已知
,且π<α<2π,求tan(2π﹣α).
20.(10分)(2013春•浦东新区期中)扇形AOB 的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm2,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
21.(16分)(2013春•浦东新区期中)已知函数
是奇函数.
(1)求m的值;
(2)求f(x)的反函数f﹣1(x);
(3)讨论f(x)的单调性,并用定义证明;(4)当f(x)定义域区间为(1,a﹣2)时,f (x)的值域为(1,+∞),求a的值.
2012-2013学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共12小题,每小题3分,满分36分)
1.(3分)(2013春•浦东新区期中)求值:= 75.
【分析】利用指数恒等式以及对数的运算法则进行求值.
【解答】解:=,
故答案为:75.
【点评】本题主要考查指数的运算法则和指数恒等式,要求熟练掌握相应的公式:.
2.(3分)(2013春•浦东新区期中)已知函数f (x)=x 2﹣1(x≤﹣2),则f﹣1(4)=.【分析】根据互为反函数的性质:由x2﹣1=4(x≤﹣2),解得即可.
【解答】解:根据互为反函数的性质:由x2﹣1=4(x≤﹣2),解得.
∴.
故答案为:.
【点评】本题考查了互为反函数的性质,属于基础题.
3.(3分)(2013春•浦东新区期中)与终边相同的最小正角是.
【分析】利用终边相同的角的集合定理即可得出.
【解答】解:∵=,
∴与终边相同的最小正角是.
故答案为:.
【点评】本题考查了终边相同的角的集合定理,属于基础题.
4.(3分)(2013春•浦东新区期中)已知
sinαcosα<0,则α是第二或四象限角.【分析】由sinαcosα<0,可得或
.进而判断出α所在的象限.
【解答】解:∵sinαcosα<0,
∴或.
因此α是第二或四象限角.
故答案为:二或四.
【点评】本题考查了角所在的象限符号问题,属于基础题.
5.(3分)(2013春•浦东新区期中)已知log32=a,则log 3218用a表示为.
【分析】利用对数的换底公式和对数的运算法则进行化简即可.
【解答】解:利用对数的换底公式可得
log3218=,
∵log32=a,∴log3218=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查对数的换底公式以及对数的运算法则的应用,要求熟练掌握相应的运算公式.
6.(3分)(2013春•浦东新区期中)若,则a的取值范围是.
【分析】利用对数的运算性质,解对数不等式即可,要对a进行分类讨论.
【解答】解:∵,∴,
若a>1,此时函数y=log⁡a x单调递增,则有,
解得a>1.
若0<a<1,此时函数y=log⁡a x单调递减,则有,解得.
综上:a>1或.
故答案为:.
【点评】本题主要考查对数的基本运算以及对数不等式的解法,要注意对底数a进行分类讨论,利用对数函数的单调性进行解决.
7.(3分)(2013春•浦东新区期中)函数f(x)=x2+2ax+1在[﹣1,2]上不存在反函数,则实数a 的取值范围为(﹣2,1).
【分析】由函数f(x)=x2+2ax+1=(x+a)2+1﹣a2在[﹣1,2]上不存在反函数,可得﹣1<﹣a<2,解出即可.
【解答】解:f(x)=(x+a)2+1﹣a2,
∵函数f(x)=x2+2ax+1在[﹣1,2]上不存在反函数,∴﹣1<﹣a<2,
解得﹣2<a<1.
故答案为(﹣2,1).
【点评】本题考查了二次函数的单调性、反函数的定义等基础知识,属于基础题.
8.(3分)(2013春•浦东新区期中)若
,则=cosα﹣sinα.【分析】由α的范围判断出cosα﹣sinα的正负,所求式子利用完全平方公式变形,利用二次根式的化简公式计算即可得到结果.
【解答】解:∵α∈(,),
∴cosα>sinα,即cosα﹣sinα>0,
则==|cosα﹣
sinα|=cosα﹣sinα.
故答案为:cosα﹣sinα
【点评】此题考查了三角函数的化简求值,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
9.(3分)(2008•上海)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是(﹣1,0)∪(1,+∞).
【分析】首先画出x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x 的图象,然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈(﹣∞,0)时的图象,
最后观察图象即可求解.
【解答】解:由题意可画出f(x)的草图
观察图象可得f(x)>0的解集是(﹣1,0)∪(1,+∞)
故答案为(﹣1,0)∪(1,+∞)
【点评】本题考查奇函数及对数函数f(x)=lg x 的图象特征,同时考查数形结合的思想方法.
10.(3分)(2013春•浦东新区期中)若
,则a=8.
【分析】由α的范围,得到sinα大于0,cosα小于0,利用同角三角函数间的基本关系列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值即可.
【解答】解:∵<α<π,sinα=,
cosα=,
∴sinα>0,cosα<0,
∵sin2α+cos2α=1,
∴()2+()2=1,>0,<0,
整理得:4a(a﹣8)=0,且a>3或a<﹣5,
解得:a=8.
故答案为:8
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
11.(3分)(2013春•浦东新区期中)已知函数y=log a(3﹣ax),(a>0,a≠1)在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围为(1,3).【分析】利用复合函数的单调性确定a的取值范围即可.
【解答】解:设t=g(x)=3﹣ax,则∵a>0,a≠1,∴t=3﹣ax在定义域上单调递减,
要使函数y=log a(3﹣ax),(a>0,a≠1)在[0,1]上单调递减,
则有y=log a t在定义域上为单调递增,
则须有,即,解得1<a<3.
故实数a的取值范围为1<a<3.
故答案为:(1,3).
【点评】本题主要考查复合函数的单调性的判断,利用内外层函数单调性之间的关系进行求解:“同增异减”.
12.(3分)(2013春•浦东新区期中)已知角α终边上一点P(t,﹣4),若,则tanα=

【分析】对t分类讨论,t=0时,α的终边落在y轴的非正半轴上,此时tanα不存在.t≠0时,由|OP|=,可得,解得
t.进而利用正切函数的定义即可得出.
【解答】解:当t=0时,点P(0,﹣4),α的终边落在y轴的非正半轴上,此时tanα不存在.当t≠0时,|OP|=,
∴,解得t=±3.
当t=3时,;
当t=﹣3时,.
综上可知:.
故答案为:.
【点评】本题考查了三角函数的定义、分类讨论的思想方法等基础知识与基本方法,属于基础题.
二、选择题(本大题4小题,每小题3分,共12分)
13.(3分)(2013春•浦东新区期中)“”是“”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【解答】解:当时,成立.
若,当α=时,也成立,但不成立.
故“”是“”的必要不充分条件.故选B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角函数的定义是解决本题的关键.
14.(3分)(2013春•浦东新区期中)若函数
的定义域为R,则k的取值范围是()
A.B.C.
D.
【分析】利用对数函数的性质,将函数的定义域转化为kx2+4kx+3>0恒成立即可.
【解答】解:要使函数的定义域为R,则kx2+4kx+3>0恒成立.
若k=0,则不等式kx2+4kx+3>0等价为3>0,∴k=0成立.
若k≠0,要使为kx2+4kx+3>0恒成立,则

即,解得0.
综上:0.
故选C.
【点评】本题主要考查对数函数和二次函数的图象和性质,利用对数的性质,将问题转化为不等式恒成立是解决本题的关键,注意对k要进行讨论.
15.(3分)(2013春•浦东新区期中)将a2b=N(a >0,a≠1)转化为对数形式,其中错误的是()
A.B.C.D.
【分析】根据指数式和对数式之间的关系,以及对数的运算法则分别进行判断.
【解答】解:根据指数式和对数式之间的关系可得,若a 2b=N,则2b=log a N,即,∴A正确.
若a2b=N,则(a2)b=N,则,∴B正确.若a2b=N,则(a b)2=N,则,∴C正确.∴D错误.
故选D.
【点评】本题主要考查指数式和对数式之间互化,要牢记转化公式:a b=N⇔b=log⁡a N.
16.(3分)(2013春•浦东新区期中)已知函数
,若存在正整数k满足:f(1)•f(2)•f(3)•…•f(n)=k,那么我们把k叫做关于n的“对整数”,则当n∈[1,10]时,“对整数”共有()
A.1个B.2个C.4个D.8个
【分析】由题意,f(x)=log(x+1)(x+2)=,
再计算f(1)f(2)f(3)…f(x)=log2(x+2),根据1≤x≤100,得log23≤log2(x+2)≤log212,从而可得“对整数”的个数.
【解答】解:由题意,根据换底公式得,f(x)=log(x+1)(x+2)=,
所以k=f(1)f(2)f(3)…f(x)
=…==log2(x+2).
∵1≤x≤10,∴log23≤log2(x+2)≤log212
整数有log24,log28,即2,3,两个整数.
故选:B.
【点评】本题的考点排列、组合的实际应用,主要考查新定义,考查对数运算,属于基础题.
三、解答题(本大题共5小题,满分52分)17.(8分)(2013春•浦东新区期中)解方程:log2(9x﹣5)=log2(3x﹣2)+2.
【分析】利用对数的运算法则建立对数方程,将条件转化为指数方程进行求解,求解之后注意要进行检验.
【解答】解:由,得

即9x﹣5=4(3x﹣2),∴(3x)2﹣4•3x+3=0,
解得3x=1或3x=3,
∴x=0或x=1.
当x=0时,9x﹣5<0,∴不合题意,舍去,
∴原方程的解是x=1.
【点评】本题主要考查对数方程和指数方程的解法,求解后要注意要对根进行检验.
18.(8分)(2013春•浦东新区期中)已知tanα=﹣2,求下列各式的值.
(1)
(2)4sin2α+3cos2α
【分析】(1)原式分子分母除以cosα,利用同角三角函数间的基本关系化简,将tanα的值代入计算即可求出值;
(2)原式分母看做“1”,分子分母除以cos2α,利用同角三角函数间的基本关系化简,将tanα的值代入计算即可求出值.
【解答】解:(1)∵tanα=﹣2,
∴原式====1;
(2)∵tanα=﹣2,
∴原式====.
【点评】此题考查了三角函数的化简求值,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
19.(10分)(2013春•浦东新区期中)已知
,且π<α<2π,求tan(2π﹣α).
【分析】利用诱导公式化简,然后将tanα的值代入计算即可求出值.
【解答】解:由已知得sinα+cosα=﹣,
两边平方得:1+2sinαcosα=,
即2sinαcosα=﹣,
∵π<α<2π,∴sinα<0,
∵2sinαcosα=﹣<0,
∴cosα>0,
∴<α<2π,
∴cosα>0>sinα,
可得,
解得:,即tanα=.
则tan(2π﹣α)=﹣tanα=﹣=.
【点评】此题考查了三角函数的化简求值,诱导公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键.
20.(10分)(2013春•浦东新区期中)扇形AOB 的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm2,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
【分析】(1)根据周长和面积列出关于r和l的方程组,解方程组即可.
(2)根据周长和S=lr=l•2r以及均值不等式求出最大值,进而得出半径,即可求出弦长.
【解答】解:设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
(1)由题意知,
解得:

∴α==或6;
(2)∵2r+l=8,
∴S=lr=l•2r≤,
当且仅当2r=l,即α==2时,面积取得最大值4,
∴r=2,
∴弦长AB=2sin1×2=4sin1.
【点评】此题考查了扇形面积公式以及均值不等式的运用,属于中档题.
21.(16分)(2013春•浦东新区期中)已知函数
是奇函数.
(1)求m的值;
(2)求f(x)的反函数f﹣1(x);
(3)讨论f(x)的单调性,并用定义证明;(4)当f(x)定义域区间为(1,a﹣2)时,f (x)的值域为(1,+∞),求a的值.
【分析】(1)利用奇函数的性质f(﹣x)+f(x)=0即可解得;
(2)由(1)可得:y=,化为指数式,先用x表示y,再把x与y互换即可得出f﹣1(x).(3)先判断函数y=在其定义域上的单调性,通过对a分类讨论,再利用复合函数的单调性的判断方法“同增异减”的法则即可得出f(x)的单调性;
(4)由于1<x<a﹣2,解得a>3,由(3)可知f(x)在(1,a﹣2)上单调递减.可得f(a ﹣2)=1,解出即可.
【解答】解:(1)∵函数f(x)是奇函数,∴,对定义域内的任意x恒成立,
∴.
解得m=±1,经检验m=﹣1成立.
(2)由(1)可得:y=,由,解得x
>1或x<﹣1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x>1或x<﹣1}.由y=,化为,解得(y≠0),∴.
(3)由(2)可知函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
设,
∵,
∴g(x1)>g(x2),
∴函数,
∴当a>1时,f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上单调递减,
当0<a<1时,f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上单调递增.
(4)∵1<x<a﹣2,
∴a>3,
由(3)可知f(x)在(1,a﹣2)上单调递减.
∴,
解得.
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、复合函数的单调性的判断方法“同增异减”的
法则、分类讨论、反函数的求法等基础知识与基本方法,属于难题.
参与本试卷答题和审题的老师有:maths;孙佑中;sllwyn;wzj123;zwx097;wubh2011(排名不分先后)
菁优网
2016年4月9日。

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