复数的引入教案

一．教学目标

1.了解数系的扩充过程，理解数系的扩充与社会发展密切相关；2．掌握复数以及复数的代数表示形式及其有关概念。

二．学习者特征分析

学生为高中二年级，学习比较勤奋，但其基础知识掌握不牢固，知识运用能力差，解题思路不清晰。

三．教学重点与难点

重点：实数的发展过程，引入复数的必要性以及复数的概念。

难点：复数概念的理解。

四．课前准备

教学方法：通过老师提问引导，学生自主思考探究的方式学习此节课程。

时间分配：回顾实数的发展15分钟，复数的引入10分钟，复数的概念15分钟，课堂作业10分钟，老师解决学生对此节课仍然存在的问题和疑问10分钟。

五．教学过程

1.回顾实数

对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括

自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数

从实际生产和解方程的需要推进数的发展：

由计数产生自然数；由减法产生负整数，由除法产生分数，形成有理数；古希腊人用线段表示正有理数.，而在表示边长为1的正方形的对角线是遇到了困难，于是引入了无理数。

2.引入复数

产生背景：

提问: 解一元二次方程时，求根公式中240

-≥是怎么来的? 当

b ac

2

b- 4ac< 0 时呢?

回答: 当240

-≥有实数解, 当2b-4ac< 0 时没有实数解.

b ac

是的, 历史上, 对于x 的二次方程, 当判别式b2- 4ac< 0 时, 认为没有解, 可以不去解, 以前也确实这么做的.到了后来, 数学家发现, 不仅在推导三次方程求根公式时, 要用到负数开平方的运算, 即使是解某些有三个实数根的三次方程在用到求根公式时, 也要用到负数开平方. 于是, 慢慢地, 产生了负数开方的做法, 即认识到负数开平方有意义, 是能够运算的。引入新数方程求解启发了新数, 这样

的新数是为了使负数能进行开平方运算

引入复数：

我们用方程012=+x 来讨论判别式小于零时方程的解 。

实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数

范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？

引导学生思考，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．

所以我们需要引入新数 i, 称为虚数单位。

我们对上面引入的新数i 作以下规定：

①2i 1=-

②可与实数按多项式的四则运算法则进行四则运算

3.提出复数的概念

① 复数的概念

对于实数 b(0b ≠) 与虚数单位 i 相乘, 得 bi,bi 与 a 相加, 得到 a+ bi 形式的数, 这是以前所没有的.我们称形式 z = a+ bi(,a b R ∈) 为复数, 且为复数的一般形式, 其中 a, b 分别叫做复数 z= a+ bi 的实部与虚部. 复数的全体叫做复数集, 用字母 C 表示.

②复数集是实数集的扩展, 在扩展中引入一个新数“i ”, 即虚数单位.

实数 a 成为复数a+ bi 在 b= 0 时的特殊情况, 因此 R ⊂C .虚部不为 0 的复数叫做虚数, 实部为 0 的虚数叫做纯虚数.实际上, 在实数集里添加了虚数单位 i 后,实数集扩展为复数集, 复数集里具有两个单位量, 一个是实数单位 1, 另一个是虚数单位 i, 有关实数的, 都归并到实部 a, 有关纯虚数的, 都归并到虚部 b, 所以它一般表示为 a+ bi(,a b R ∈)的形式

4.复数相等的定义

两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等，即 di a bj c +=+⇔a c =且b d =。

六．课堂作业

1.下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？

,72+ 618.0，i 72，0 ，i 2 ，31(-i ），i 293-，85+i ， 2.实数m 取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i 是：1）实数，2）虚数，3）6

cos 6sin ππ

i -

纯虚数？

3.若(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i,则x,y的值为？

七．教学设计反思

此节课作为引入复数的第一节，用较多的时间讲解实数的发展过程以及引入复数的需要，使学生了解数的发展与社会发展的密切关系，有利于提高学生的数学修养。

另外此节课重点介绍复数中的基础知识，使学生对复数有一个较清晰的认识，深入理解复数以及掌握基本知识，使学生学习后续的复数知识比较顺利。