关于线面平行与面面平行
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：babaaa////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==NnmMbaambn2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：dldl////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面平行面面平行的判定
证明：如图 7，连接 B1D1， 则有B1D1∥BD. ∵E、F、G 分别为 A1A、A1B1、A1D1 旳中点， ∴FG∥B1D1. 则FG∥BD， ∴FG∥平面BC1D. 同理 EF∥DC1.∴EF∥平面BC1D. 又∵EF∩FG＝F， ∴平面 EFG∥平面BC1D.
图7
2.如图 8，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 ， E、F、G 分别 是 CC1、BC 和 DC 旳中点，M、N、Q 分别是 AA1、A1D1 和 A1B1 旳中点．
如图 9，P 是平AC、BD 旳交点．
(1)求证：EO∥平面 PCD ;
(2)图中 EO 还与哪个平面平行？
(1)证明：∵在平行四边形ABCD 中，O 为AC、BD 旳交点，
∴O 为 BD 旳中点．
又∵在△PBD 中，E为PB 旳中点，
∴EO∥PD.
∵EO⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EO∥平面PCD.
图9
(2)解：图中EO 还与平面 PAD 平行．
1.线面平行旳鉴定定理(文字语言、符号语言、图形语言） 2.面面平行旳鉴定定理(文字语言、符号语言、图形语言）
思索： 怎样鉴定直线与平面平行呢？
线面平行旳鉴定定理：平面外旳一条直线与
此平面内旳一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号表达为：l ⊄α，m ⊂α，l∥m⇒ l∥α
定理旳本质：
线面平行旳概念
例1：如图1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，回答下列问题: (1)在图 1中，哪些线段所在旳直线与平面 ADD1A1 平行？
图5
证明：∵D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB， ∴D1B1∥平面C1DB，同理 AB1∥平面C1DB， 又 D1B1∩AB1＝B1，AB1、D1B1 同在平面AD1B1 内， ∴平面AD1B1∥平面C1DB.
线面平行面面平行(教师版)
直线、平面平行的判定与性质一、方法与技巧1．平行问题的转化关系2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．易错点：1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．解题中注意符号语言的规范应用.二、概念辨析1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(4)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.(√)(5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)2、设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①或②B．②或③C．①或③D．①或②或③答案 C解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C.3．下列命题中，错误的是( )A ．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．平行于同一个平面的两个平面平行C ．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D ．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案 C解析 由面面平行的判定定理和性质知A 、B 、D 正确．对于C ，位于两个平行平面内的直线也可能异面．4．空间中，下列命题正确的是( )A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β答案 D解析 对于A ，b 可以在α内，A 错；对于B ，当a ，b 相交时才能有β∥α，B 错；对于C ，b 可能在β内，C 错；由面面平行的性质知，D 正确．三、例题解析题型一、线面平行例1 (2014·山东改编)如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面P AD .思维点拨 (2)中可证明平面OFH ∥平面P AD .证明 (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ， ∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD .又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD .(2013·福建改编)如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；(2)求三棱锥D —PBC 的体积．方法一 (1)证明 如图①，取PB 中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是 P A 的中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3， 又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .(2)解 V D —PBC ＝V P —DBC ＝13S △DBC ·PD ， 又S △DBC ＝6，PD ＝43，所以V D —PBC ＝8 3.方法二 (1)证明 如图②，取AB 的中点E ，连接ME ，DE .在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴DE ∥BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .又在△P AB 中，ME ∥PB ，ME ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，∴ME ∥平面PBC ，又DE ∩ME ＝E ，∴平面DME ∥平面PBC .又DM ⊂平面DME ，∴DM ∥平面PBC .[例2] (2011·福建高考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[自主解答] 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为点E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC .又因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.所以EF ＝ 2.[答案] 2本例条件变为“E 是AD 中点，F ，G ，H ，N 分别是AA 1，A 1D 1，DD 1与D 1C 1的中点，若M 在四边形EFGH 及其内部运动”，则M 满足什么条件时，有MN ∥平面A 1C 1CA .解：如图，∵GN ∥平面AA 1C 1C ，EG ∥平面AA 1C 1C ，又GN ∩EG ＝G ，∴平面EGN ∥平面AA 1C 1C .∴当M 在线段EG 上运动时，恒有MN ∥平面AA 1C 1C .[例2] (2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[自主解答] (1)证明：法一：连接AB ′、AC ′，因为点M ，N分别是A ′B 和B ′C ′的中点，所以点M 为AB ′的中点．又因为点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二：取A ′B ′的中点P .连接MP .而点M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩PN＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)法一：连接BN ，由题意得A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1， 故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16. 法二：V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16. 由题悟法 利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．2．(2012·淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BD ，BB 1的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1CD ； (2)求证：EF ⊥AD 1.解：(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接B 1D ，在平面BB 1D 内，E ，F 分别为BD ，BB 1的中点，∴EF ∥B 1D .又∵B 1D ⊂平面A 1B 1CD .EF ⊄平面A 1B 1CD ，∴EF ∥平面A 1B 1CD .(2)∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴AD 1⊥A 1D ，AD 1⊥A 1B 1.又A 1D ∩A 1B 1＝A 1，∴AD 1⊥平面A 1B 1D .∴AD 1⊥B 1D .又由(1)知，EF ∥B 1D ，∴EF ⊥AD 1.题型二 平面与平面平行的判定与性质例2 (2013·陕西)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．(1)证明 由题设知，BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1.又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1.∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2， ∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1， ∴111ABD A B D V －＝S △ABD ×A 1O ＝1.思维升华 证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知，EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.B1C1D1是棱长为3的正方体，点E[例3]如图，已知ABCD－A在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.[自主解答](1)在正方形AA1B1B中，∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綊A1E.∴四边形A1GBE是平行四边形．∴A1G∥BE.又C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A 1G 綊D 1F .∴D 1F 綊EB .故E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32. 又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23. 又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF .∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG .∴HG ∥FB .∵GH ⊄面FBED 1，FB ⊂面FBED 1，∴GH ∥面BED 1F .由(1)知A 1G ∥BE ，A 1G ⊄面FBED 1，BE ⊂面FBED 1，∴A 1G ∥面BED 1F .且HG ∩A 1G ＝G ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .由题悟法常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l ⊥α，l ⊥β⇒α∥β)．以题试法3．(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ，MN ⊥MB .(1)求证：平面AMB ∥平面DNC ；(2)若MC ⊥CB ，求证：BC ⊥AC .证明：(1)因为MB ∥NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，所以MB ∥平面DNC .又因为四边形AMND 为矩形，所以MA ∥DN .又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC .所以MA ∥平面DNC .又MA ∩MB ＝M ，且MA ，MB ⊂平面AMB ，所以平面AMB ∥平面DNC .(2)因为四边形AMND 是矩形，所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN.因为BC⊂平面MBCN，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.9．(2012·浙江模拟)下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)解析：对于①，注意到该正方体的经过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB 平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到直线AB与MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.答案：①③10．(2013·西安模拟)如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°.(1)求证：BE∥平面ADF；(2)若矩形ABCD的一边AB＝3，EF＝23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F－BDE的体积为3？解：(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.因为CE∥DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM＝CD且EM∥CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE∥AM.而AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，所以BE ∥平面ADF .(2)由EF ＝23，EM ＝AB ＝3，得FM ＝3且∠MFE ＝30°.由∠DEF ＝90°可得FD ＝4，从而得DE ＝2.因为BC ⊥CD ，BC ⊥FD ，所以BC ⊥平面CDFE .所以，V F －BDE ＝V B －DEF ＝13S △DEF ×BC . 因为S △DEF ＝12DE ×EF ＝23，V F －BDE ＝3， 所以BC ＝32. 综上当BC ＝32时，三棱锥F －BDE 的体积为 3. 11.如图，在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F为AB 的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF 綊CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ∥CF .又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1.∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1，CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.题型三 平行关系的综合应用1、如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD . 解 在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，∴四边形FEGA 为平行四边形，∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .∴F 即为所求的点．又P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面P AB .∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2.设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC 得：a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a .又CE ＝ a 2－(63a )2＝33a ，∴PEPC ＝23，∴GE CD ＝PEPC ＝23，即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝23AB .2.如图，三棱柱ABC －A1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?解：法一：如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，∴OM ⊥底面ABC .又∵EC ＝2FB ，∴OM 綊FB 綊12EC .∴四边形OMBF 为矩形．∴BM ∥OF .又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF.故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二：如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．。
线面平行与面面平行的相关用法
空间的平行关系[线面平行和面面平行]1．直线a 和平面α的位置关系有平行、相交、_在平面内_，其中平行与相交统称直线在平面外． 例：(2011·烟台模拟)一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( D )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α2．直线和平面平行的判定：(1)定义：直线和平面没有交点，则称直线和平面平行．(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α；[面外直线平行于面内直线](3)其他判定方法：α∥β，a ⊂α⇒ a ∥β.[两个平面平行，则一个面内的任意一条直线都平行于另一个平面] 例：(2011·南京模拟)在四面体ABCD 中，M 、N 分别是△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是面ABC 和面ABD [结合几何体的性质]3．直线和平面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝l ⇒a ∥l .注：（1）若直线平行于平面，直线与面内直线的位置关系为不相交，即平行或异面 （2）或直线平行于平面，则直线上所有的点至平面的距离都相等。
例 如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值．解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ，∴截面EFGH 是平行四边形． 设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BGBC，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 4．两个平面的位置关系有平行、相交. 5．两个平面平行的判定：(1)定义：两个平面没有交点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α；[一个面内的两条相交直线平行于另一个平面，则线面平行](3)推论：一个面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线。
专题二：立体几何---线面平行、面面平行
专题二：立体几何---线面平行、面面平行一、知识点（1）线面平行性质定理（2）线面平行判定定理（3）面面平行性质定理（2）面面平行判定定理总结：立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。
（2）利用三角形中位线的性质。
（3）利用平行四边形的性质。
（4）利用对应线段成比例。
（5）利用面面平行，等等。
二、练习题(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；2、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;（第1题图）(2) 利用三角形中位线的性质3、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。
4、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。
求证：PA ∥平面BDE5．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；ABCDEFGM6、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB BC∠=∠=//=12AD ，BE //=12AF ，,G H 分别为,FA FD 的中点 证明：四边形BCHG 是平行四边形；（3） 利用平行四边形的性质7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心， M 为BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1;8、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；9、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90 ，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;(4)利用对应线段成比例10、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =NDBN， 求证：MN ∥平面SDC11、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 。
9.3线面平行与面面平行
因为 AB /
/ A1 B1所以 NF / / AB 所以AN∥BF
因为AN和MN是平面AMN内两相交直线， BF和EF是平面EFBD内两相交直线，所以平 面AMN∥平面EFBD. 点评：本题证面面平行的方法是分别在两 个平面中找两组平行直线，需注意的是平面内 的两条直线必须是相交直线.证面面平行还有其 他方法，如证两平面同垂直于一条直线，两平 面同平行于第三平面等.
连结BN并延长交CD于F，由重心性质
可知，E、F重合为一点，且该点为
CD的中点E，由
得MN ∥ A B，
EM MA
EN NB
1 2
，
因此，MN∥平面ABC
且MN∥平面ABD.
题型1
线面平行的判定与证明
1. 如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF 所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且
A M = FN，求证：MN∥平面BCE.
设a、b为异面直线，α、β为平 面， 已知aα，bβ， 且a∥β,b∥α，求证：α∥β.
证明：经过直线a作平面γ，
使β∩γ=c.因为a∥β，
所以a∥c. 又aα，c α，
所以c∥α.因为a、b为异面直线，
所以b、c为平面β内两相交直线.
又b∥α， 所以α∥β.
参 考 题
线面平行背景下的求值问题 1. 在正四棱锥S-ABCD中，P为SC上 SP 1 一点，且 P C 2 ，M、N分别是SB、SD上 的点.若BD∥平面PMN， SA∥平面PMN， 求MNBD的值. 解：连结AC交BD于O 点，连结SO交MN于E点， 连结PE并延长交AC于F点. 因为SA∥平面PMN，所以SA∥PF. 题型
因为BD∥平面PMN， 所以BD∥MN. 因为 所以
线面平行与面面平行
欢迎阅读线面平行与面面平行专题复习BB 1CBDC β4、如图，两个正方形ABCD 和ABEF 面相交于AB,M,N 分别是对角线AC,BF 上的点，AM=FN ，求证：MN//平面BCE.小结1：证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线平行，而证明两线平行的方法常有： ，，，题型二、面面平行的判定与性质1、1111111//.ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面 归纳： 归纳： 归纳： 练习：1．2分别为11A C .3、BC ，11C D 4.如图，M ，N 分别是AB 求证：1.三棱柱求证：2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，点E 是PD 的中点.求证：PB//平面AEC ；3．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN ∥平面PAD ；A BC D线面平行练习题24．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD ；5、如图，在三棱柱ABC —A1B1C1中，D 是AC 的中点。
求证：AB1//平面DBC17.8的中点9.F 10．11111111.在三棱柱111ABC A B C -中，D 为BC 中点.求证：1//A B 平面1ADC ；．12.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别1，AB 的中点．求证：CN //平面AB 1M ．面面平行ABCD 对角线1、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底4、如图，在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD PABCDM N1AD 1C 1B 1A 1的交点.求证：(１)C 1O ∥面11AB D ；(2)面111//D AB D OC 面．2.在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 、E 1、F 1分别是AB 、CD 、A 1B 1、C 1D 1的中点． 求证：平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1.4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、P 、Q 、R 分别是所在棱AB 、BC 、BB ?、A ?D ?5Q 是CC 16:分别为练习分别为棱∥平面平面CBE?若存在，试确定点G 的位置.直线、平面平行的判定及其性质（人教版A ）测试题一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是() A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2、已知直线a 与直线b 垂直,a 平行于平面α,则b 与α的位置关系是(???)A.b ∥α?????????????????????????B.bαC.b 与α相交????????????????????D.以上都有可能3．直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（） A ．//,a α4A ．C ．5b 异面，则经过A ．6A ．12MN ≥C ．MN =7．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β8．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α9．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（） A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A.异面B.相交C.平行D.不能确定11.下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A．①③B．①②C．②③D．③④12．在下列命题中，假命题的是A.B.C.D.1(A)(C)2、已知a b()||AC a b(),3(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或相交或是异面直线4、下列四个命题中，正确命题的个数是（）个(1)过直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行；(2)过平面外一点，只能作一条直线与这个平面平行；(3)过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行；(4)过两条异面直线中的一条直线，只能作一个平面与另一条直线平行。
线面平行与面面平行判定题型全面汇总精品
例3 如图，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是 △ABC和△BCD的重心．求证：PQ∥平面ACD.
抓关键 促规范 由重心联想到边的中点，是该题的切入点． 利用重心得到的线段长度比要准确无误． 线面平行判定定理应满足三条，简写为“内，外，平 行”缺一不可．
练习1 如图所示，已知正四棱锥P－ABCD，M，N分别 是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8. 求证：直线MN∥平面PBC.
练习 3 如下图所示，已知 A1B1C1-ABC 是三棱柱，D 是 AC 的中点．求 证：AB1∥平面 DBC1.
证明：∵A1B1C1-ABC 是三棱柱， ∴四边形 B1BCC1 是平行四边形， ∴连接 B1C 交 BC1 于点 E，则 B1E＝EC. 连接 DE，在△AB1C 中， ∵AD＝DC，∴DE∥AB1. 又 AB1⊄平面 DBC1，DE⊂平面 DBC1， ∴AB1∥平面 DBC1.
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[证明] (1)连接 B1D1. ∵E，F 分别是边 B1C1，C1D1 的中点， ∴EF∥B1D1. 而 BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E，F，B，D 四点共面． (2)易知 MN∥B1D1，B1D1∥BD， ∴MN∥BD.
练习3 如右图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为 矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．
练习4 如图，正方体AC1中，E为DD1的中点，试判断BD1 与平面AEC的位置关系，并说明理由。
证明: 连接BD交AC于点O, 连接EO.
四边形ABCD是正方形, DO BO
又 E为DD1的 中 点,
D1
C1
EO为BD1D的 中 位 线, A1
B1
EO // BD1
04线面平行与面面平行判定与性质(经典题型+答案)
线面平行、面面平行的判定及性质一、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.二、平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解：由面面平行的定义可知选D.例2：若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直解：A错误，a与α内的直线平行或异面．例3：已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)。
解：①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确。
例4：已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，即命题(1)正确；若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，即命题(2)不正确；若⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α，则m ⊥n ，即命题(3)正确；综上可得，真命题共有2个．选C例6：已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是 ( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.例7：在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 解：排除法，Ａ中α、β可以是相交平面；Ｂ中三点可面平面两侧；Ｃ中两直线可以不相交．故选Ｄ，也可直接证明．例8：经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个解：这两点可以是在平面同侧或两侧．选C 。
面面平行,线面平行,线线平行之间的关系
面面平行,线面平行,线线平行之间的关系平面几何作为数学中的一个重要分支，其中涉及到一些基本的概念，其中就包括线面平行、面面平行和线线平行等三个概念，这些概念在日常生活中很常见，比如我们常常会听到地平线与天平线在水平面上平行等。
一、面面平行面面平行，是指两个平面之间没有交点，且在三维空间中，它们的法线向量方向相同。
当两个不同平面是面面平行时，两个平面看起来就像是彼此不同的两个平行的平面，并且它们之间的距离是不变的。
图1是一个很好的例子，其中PABCD与QWXYZ两个平面是面面平行的。
在图中可以看出，这两个平面没有交点，且它们的法线向量方向相同。
图1中的平面PABCD和QWXYZ，并不是你常见的平分面，为了更好地解释这个概念，我们可以举个例子。
比如常见的斜视图投影中，地面和墙面之间就是面面平行的。
二、线面平行线面平行，是指一条直线与一个平面之间没有交点，且这个直线在与平面相交的任何一条直线上的投影，都和这个平面上的任何一点垂直。
如果一个平面和一条直线是线面平行的，那么这条直线在这个平面上的投影将是一条平行线。
图2是一个简单的线面平行的示意图。
在该示意图中可以看出直线l与平面ABC是线面平行的，这也就意味着平面ABC通过平行于它的直线l的投影，得到的投影线也将会保持平行。
三、线线平行线线平行，是指两条直线互相没有交点，且在三维空间中，它们都位于不同平面上。
如果两条直线是线线平行的，则它们不管在什么距离内，始终都不可能相交。
图3是一个线线平行的示意图。
在图中，如果一条直线和一个平面平行，那么与这条直线在同一平面中的另一条直线必须与该平面平行，这样这两条直线才能既平行于同一平面，又互相平行。
通过以上的解释，可以发现，这三个理念之间存在一些必要的联系。
例如，如果有两个平面，它们之间是面面平行的，那么这两个平面上的任何一条线与第三个平面都是线面平行的。
因为这两个面彼此平行，所以在它们之间的任何一条线都与这两个面平行，因此在第三个平面上所投影出的线也将是平行的。
空间点线面位置关系、线面平行、面面平行
空间点线面位置关系、线面平行、面面平行1.位置关系：线与线：相交、平行、异面；线与面：线在面内、相交、平行；面与面：相交、平行。
2.异面直线夹角：范围(0,]2π；计算：一做、二证、三计算。
3.线面平行证明： ；4.面面平行证明： ；5.常考知识点：（1）平行于同一直线的两直线 ；（2）平行于同一直线的两平面 ；（3）平行于同一平面的两直线 ； （4）平行于同一平面的两平面 ；（5）垂直于同一直线的两直线 ；（6）垂直于同一直线的两平面 ； （7）垂直于同一平面的两直线 ；（8）垂直于同一平面的两平面 ； 知识点1.位置关系判断例1. 已知m 、n 表示两条直线，γβα,,表示三个平面，下列命题中正确的个数是 ； ①若,,m n αγβγ⋂=⋂=//m n ，则//αβ；②若m,n 相交且都在βαβαβαβα//,//,//,//,//则外n n m ，m 、③若n m n n m m l //,//,//,//,//,则βαβαβα=⋂；④若m//α，n//n m //,则α 例2. ,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，则m ∥n ；②m α⊂，m ∥β，则α∥β；③n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β，上面结论正确的有 ； 例3. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，可以确定a ∥b 的条件是（ ）.A.a ∥M ,b M ⊂B.a ∥c ,c ∥bC.a ∥M ,b ∥MD.a 、b 和c 的夹角相等 例4. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 例5. 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=例6. 若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交 例7. 下列命题中，假命题的个数是 ；① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 线面平行例8. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且FN AM =， 求证：//MN 平面BCE例9. 如图，四边形ABCD 是矩形，,E F 是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥面PCE .面面平行例10. 如图，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，B C ''，C D ''的中点，求证：平面AMN ∥平面EFDB .ABDCEFMNFM NB 'C 'A ' DCBAD ' EA BC DDC 1B 1A 1 例11. 如图，设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111ABCD 的中心，证明： ⑴PQ ∥平面11AA B B ；⑵面1D PQ ∥面1C DB .线面、面面平行综合应用.例12. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成o60的角，且2B C AD ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于,,,E F G H ．（１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？借助面面平行 线面平行例13. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点， 证明：直线MN OCD 平面‖例14. 如图,S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SMAM =NDBN, 求证：//MN 平面SBC点的存在性问题例15. 直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90o BAD ADC ∠=∠=，222AB AD CD ===． （1）在11A B 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与平面1ACB 都平行？证明你的结论． （2）试在棱AB 上确定一点E ，使1A E ∥平面1ACD ，并说明理由．例16. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．N M SCBA D AEBHFDG CM A D CO。
线面平行
线面、面面平行的判定与性质一、直线与平面平行 1．判定方法(1)用定义：直线与平面无公共点．(2)判定定理： ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb ⊂α ⇒a ∥α .(3)其他方法：⎭⎪⎬⎪⎫α∥β ⇒a ∥α. 2．性质定理：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αα∩β＝b ⇒a ∥b .二、平面与平面平行 1．判定方法(1)用定义：两个平面无公共点 (2)判定定理：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βb ∥βa ⊂αb ⊂αa ∩b ＝P ⇒α∥β. (3)其他方法：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒ ；⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒ .⎭⎪⎬⎪⎫a ∥bc ∥da ，c ⊂αb ，d ⊂βa ∩c ＝A b ∩d ＝B ⇒α∥β.2．性质定理：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∩α＝a γ∩β＝b ⇒ . 3．两条直线被三个平行平面所截，截得线段对应成比例． 解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化： 线线平行 判定性质线面平行 判定性质面面平行．线面平行的判定例1.如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.变式训练：已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.面面平行的判定[例2]如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．求证：平面EFG∥平面VCD.变式训练：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?线面、面面平行的性质[例3] 如图，平面α∥平面β，线段GH 与α、β分别交于A 、B ，线段HF 与α、β分别交于F 、E ，线段GD 与α、β分别交于C 、D ，且GA ＝9，AB ＝12，BH ＝16，S △ACF ＝72.求△BDE 的面积．变式训练1：如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间．点A 、D ∈α，C 、F ∈γ，AC ∩β＝B ，DF ∩β＝E . (1)求证：AB BC ＝DEEF；(2)设AF 交β于M ，AD 与CF 不平行，α与β间距离为h ′，α与γ间距离为h ，当h ′h的值是多少时，S △BEM 的面积最大？变式训练2：如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.探索性问题[例4]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别为BC ，P A 的中点，且P A ＝AB ＝2.1)证明：BC ⊥平面AMN ； (2)求三棱锥N －AMC 的体积；(3)在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥平面ACE ；若存在，求出PE 的长，若不存在，说明理由．变式训练1：如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD .(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．变式训练2：如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．。
线面平行与面面平行
2、若直线l//平面 EMBED Equation.3 ，则下列命题中，正确的是（ ）
A．l平行于 EMBED Equation.3 内的所有直线
B．l平行于过l的平面与 EMBED Equation.3 的交线
3、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．不能确定
4、设 EMBED Equation.3 为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥ EMBED Equation.3
9、已知直线a//平面 EMBED Equation.3 ，a与平面 EMBED Equation.3 相距4cm，平面 EMBED Equation.3 内直线b与c相距6cm，a//b并且相距5cm，则直线a与c相距_________。
10、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的一点，且EFGH为菱形，若AC//平面EFGH，BD//平面EFGH，AC=m，BD=n，则AE：BE =____________
8、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E、F两点，则四边形EBFD1形状为_________.
9、已知a、b为不垂直的异面直线， EMBED Equation.3 是一个平面，则a、b在 EMBED Equation.3 上的射影有可能是：（1）两条平行直线；（2）两条互相垂直的直线；（3）同一条直线；（4）一条直线及其外一点。在上面的结论中，正确结论的编号是_________（写出所有正确结论的编号）
9.2线面平行、面面平行Microsoft Word 文档
9．2 线面平行、面面平行一、明确复习目标1．掌握空间直线和平面、平面和平面的位置关系；2．掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定和性质，并能运用这些知识进行论证或解题.3．能灵活进行“线线平行，线面平行，面面平行”之间的相互转化.二．建构知识网络1．直线和平面的位置关系有：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行：定义——．2．线面平行的判定方法：①a∩α=ф⇒a∥α(定义法)②判定定理；③b⊥a, b⊥α, a⊄α⇒a∥α；④α∥β,a⊂α⇒a∥β⑤空间向量证线面平行.3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．4．判定平面平行的方法：（1）根据定义——证明两平面没有公共点；（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线.5．平行平面的主要性质：⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”.⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”.⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等.⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.三、双基题目练练手（2006重庆）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）1．A．平行B.相交C.垂直D.互为异面直线2．一条直线同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 （ ） A 异面 B 平行 C 相交 D 不能确定3．(2005广东)给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若,,m l A A m αα⊂⋂=∉点,则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，//,//,l m αα且,n l ⊥且,,n l n m n α⊥⊥⊥则；③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若,,l m αα⊂⊂l ∩m =点A ,l //β,//,//m βαβ则其中为假命题的是 （ ）A ．①B ．②C ．③D ．④4．如果//αβ,AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段，AB ⊥CD ，且AB ＝2，直线AB 与平面α成300角，那么线段CD 的取值范围是 （ ）A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛334,332B .[)+∞,1C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡332,1 D .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,332 5．设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________.6．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.◆答案提示：1-4.CBCD ; 5.bac ab -; 6. 平面ABC 、平面ABD 四、经典例题做一做【例1】：如图，设a ,b 是异面直线,AB 是a ,b 的公垂线,过AB 的中点O 作平面α与a ,b 分别平行,M ,N 分别是a ,b 上的任意两点,MN 与α交于点P ,求证P 是MN 的中点.证明:连接AN ,交平面α与点Q ,连PQ ,∵b ∥α,b ⊂平面ABN ,平面ABN ∩α=OQ ,∴b ∥OQ ，又O 为AB 的中点，∴Q 为AN 的中点.∵a ∥α，a ⊂平面AMN 且平面AMN ∩α=PQ∴a ∥PQ . ∴P 为MN 的中点.【例2】如图，四面体A —BCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形.(1)求证：CD ∥平面EFGH .(2)求异面直线AB 、CD 所成的角.(3)若AB ＝a ，CD =b ，求截面EFGH 面积的最大值. （1）证明：∵截面EFGH 是一个矩形，∴EF ∥GH ， 又GH ⊂平面BCD .∴EF ∥面BCD ，而EF ⊂面ACD ，面ACD ∩面BCD =CD .∴EF ∥CD ，∴CD ∥平面EFGH .（2）解：由（1）知CD ∥EF ，同理AB ∥FG ，由异面直线所成角的定义知∠EFG 即为所求的角.易得∠EFG =90︒. （3）答案：ab /4◆思悟提炼：灵活进行：“线线平行 线面平行”.【例3】 已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角证明（1）：∵P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD 是正方形.连结AN 并延长交BC 于点E ，连结PE .∵AD ∥BC ，∴EN ∶AN =BN ∶ND .又∵BN ∶ND =PM ∶MA ，_ C _B ABEH F GD∴EN ∶AN =PM ∶MA .∴MN ∥PE .又∵PE 在平面PBC 内，∴MN ∥平面PBC .解（2）：由（1）知MN ∥PE ，∴求MN 与平面ABCD 所成的角即可.作PO ⊥面ABCD 于O ，连结OE ，则∠PEO 为PE 与平面ABCD 所成的角. 由正棱锥的性质知PO =22OB PB =2213. 由（1）知，BE ∶AD =BN ∶ND =5∶8， ∴BE =865. 在△PEB 中，∠PBE =60°， PB =13，BE =865， 根据余弦定理，得PE =891. 在Rt △POE 中，PO =2213，PE =891， ∴sin ∠PEO =PEPO =724. 故MN 与平面ABCD 所成的角为arcsin 724. ◆思悟提炼：证线面平行，一般是转化为证线线平行. 求直线与平面所成的角一般是作出线与面所成的角—转化为一个平面内的线线角.【例4】如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =a .（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 间的距离.（1）证明：∵D 1B 1∥DB ，∴D 1B 1∥平面C 1DB .同理，AB 1∥平面C 1DB .又D 1B 1∩AB 1=B 1，∴平面AD 1B 1∥平面C 1DB .A1（2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，∴A 1C 1⊥D 1B 1. 同理，A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1.∴A 1C ⊥平面AD 1B 1.（3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1B 1C 1D 1、下底面ABCD 的中心. 则M ∈AO 1，N ∈C 1O ，且AO 1∥C 1O ，MN 的长等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离，即MN =A 1M =NC =31A 1C =33a . 五．提炼总结以为师1.直线和平面平行的判定方法：2．证明两平面平行的常用方法：3．解题中，要注意灵活地实施下面的转化: 线线⇔线面⇔面面；立体几何⇔平面几何；从而使问题简同步练习 9.2线面平行、面面平行1.α、β是两个不重合平面，l ,m 是两条不重合直线，那么α∥β的一个充分条件是（ ）A .l ⊂α,m ⊂α,l ∥β,m ∥βB .l ⊂α,m ⊂β,l ∥mC .l ⊥α,m ⊥β,l ∥mD .l ∥α,m ∥β,l ∥m2．(2005年高考·湖北卷·文8)已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设线段AB 、CD 是夹在两平行平面α、β之间的异面线段，点A 、C ∈α，B 、D ∈β，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则有 （ ）A .MN =21(AC +BD B .MN >21(AC +BD ) C .MN <21(AC +BD ) D .MN 与21(AC +BD )大小关系不确定.【填空题】4．（2004全国Ⅰ）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线;②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）5.（2005湖南）．已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）6.以下六个命题：（1）垂直于同一条直线的两个平面平行；（2）平行于同一条直线的两个平面平行；（3）平行于同一平面的两个平面平行；（4）与同一条直线成等角的两个平面平行；（5）一个平面上不共线三点到同一平面的距离相等，则这两个平面平行；(6）两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行.其中正确命题的序号是____________.◆答案提示： 1-3．CAC ； 4.①②④5.③⑤,②⑤ ;6. 解：（1）、（3）【解答题】7.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE =36 a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD解：在面PCD 内作EG ⊥PD 于G ，连结AG ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD ∴CD ∥EG .又AB ∥CD ，∴EG ∥AB .若有EF ∥平面P AD ，则EF ∥AG ，∴四边形AFEG 为平行四边形，得EG =AF .∵CE =22)36(a a -=33a ，△PBC 为直角三角形， ∴BC 2=CE ·CP ⇒CP =3a ，AB AF =CD EG =PC PE =a a a 3333-=32 故得AF ∶FB =2∶1时，EF ∥平面P AD .8．如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．证明：∵ A ，B ，C ，D 四点在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，∴A ，B ，C ，D 四点共面．又A ，B ，C ，D 四点在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1．∴AB ，CD 是平面ABCD 与平面ABB 1A 1，平面CDD 1C 1的交线．∴AB ∥CD ．同理AD ∥BC ．∴四边形ABCD 是平行四边形．9.P 是ABC ∆所在平面外一点，'A 、'B 、'C 分别是 PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心，（1）求证：平面ABC C B A 平面||''';(2)求ABC C B A S S ∆∆:'''证明:分别连P A ,,PB ,,PC ,并延长分别交BC ,AC ,AB 于D ,E ,F则D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中点.,,23PA PC PD PF∴== ∴A ,C ,||FD ， 同理A ,B ,||DE ,∴平面ABC C B A 平面||''' AB C D B 1D 1 C 1 α A 1 B 2 A 2 C 2 D 2 β(2)//AB DE ∴32,,==PD PA DE AB , 又DE =21AB ∴31,,=AB B A ， 易证∆A ,B ,C ,∽ABC ∆∴ABC C B A S S ∆∆:'''=1:9 10．如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC 。
高中数学 线面、面面平行的判定与性质(教师版)
线面、面面平行的判定与性质（教师版）知识回顾1．线面平行的判定（1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α． 2．线面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言描述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b ． 3. 面面平行的判定（1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交．⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂αm ∥βn ∥β⇒α∥β 4．面面平行的性质平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ． 题型讲解题型一 利用三角形中位线证明线面平行例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.求证：SA∥平面MDB.答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，求证：MN∥平面PB1C.答案证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.例3、如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．证明连接AF延长交BC于G，连接PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴GFFA＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．练习在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．答案：平行题型二利用平行四边形证明线面平行例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．证明：取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF 12B1C1，BE12B1C1，∴OF BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．例2、如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD．题型三利用面面平行证明线面平行例. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．求证：平面．答案：证明：如图，取的中点，连接，，分别是，的中点，，，P ABCDABCD M N AB PCMN//PADCD E NE ME∵M N AB PCNE PD∴//ME AD//可证明平面，平面．又，平面平面，又平面，平面．题型四面面平行的证明例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．题型五平行性质NE//PAD ME//PADNE ME E=∴MNE//PADMN⊂MNE∴MN//PAD例1、如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面答案：A例2、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．证明如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH．练习、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．跟踪训练1．如右图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能 答案：B[解析] ∵A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC.又A 1B 1⊂平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED∩平面ABC ＝DE ，∴DE ∥A 1B 1. 又AB ∥A 1B 1，∴DE ∥AB.2．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β 答案：D3、直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有答案：B4、给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B5．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案：平行四边形[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．7. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD 1B1．证明如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．（本小题满分12分）在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形， M、N分别为AB、SC的中点，SA⊥底面ABCD．求证：//MN平面SAD；答案．证明（Ⅰ）： E 为SD 中点，连接AE ，NE ，因为M 、N 分别为AB 、SC 的中点，所以AM//EN ，AM=EN ，即四边形AMNE 是平行四边形，所以MN//AE ，可得//MN 平面SAD ；10. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．答案 由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB =BC =BF=2，DE =CF=2，∴∠CBF =. (1)证明：取BF 的中点G ，连结MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD =AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面A DE ∩平面CDEF=DE .∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDE F 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH =. S 矩形CDEF =DE ·EF =4，∴棱锥A-CDEF 的体积为2222V=·S 矩形CDEF ·AH =×4×= 解法2：13218222323A CDEF AED BFC A BFCAED V V V S AB S AB ---=-=⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△△BFC 11如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．答案 存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1，∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1、CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.12. 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．答案 存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD .设BD ∩AC ＝O .连接BF ，MF ，BM ，OE .13132283∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD的中点，∴MF ∥EC ，BM ∥OE .∵MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴MF ∥平面AEC ，BM ∥平面AEC .∵MF ∩BM ＝M ，∴平面BMF ∥平面AEC .又BF ⊂平面BMF ，∴BF ∥平面AEC .13. (北京)如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ；(2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．答案 (1)证明：因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC .又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以DE ∥平面BCP .(2)证明：因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点所以DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF ，所以四边形DEFG 为平行四边形．又因为PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形．(3)存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点．由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN .与(2)同理可证四边形MENG 为矩形，其对象线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，所以EG 的中点Q 是满足条件的点．。
线线平行推面面平行的定理
线线平行推面面平行的定理
1、定理1:若平面外的直线平行于本平面内的直线，则该直线平行于本平面。
2、定理2:如果平面外的一条直线垂直于这个平面的垂线，那么这条直线平行于这个平面。
3、注意：一条直线平行于一个平面并不意味着它平行于这个平面中的所有直线，而是直线垂直于平面，所以这条直线垂直于这个平面中的所有直线。
线线平行→线面平行：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行：如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。
（可理解为法向量平行的平面平行）
证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。
定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之袁州冬雪创作
一、线面平行.
1、断定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那
末这条直线与这个平面平行.符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，颠末这条直线的
平面和这个平面相交，那末这条直线和交线平行.
符号暗示：
二、面面平行.
1、断定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另外一个平面内的两条相交直线，那末这两个平面平行.
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，
那它们的交线平行. 符号暗示：
行另外一平面）
三、线面垂直.
1、断定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直，那末这条直线垂直这个平面. 符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（常常考到这种逻辑）在平面内的一条
直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那末它
也和这条斜线垂直.
符号暗示：
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行.（更加
实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直
线.）
四、面面垂直.
1、断定定理：颠末一个平面的垂线的平面与该平面垂直.
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交
线的直线垂直于另外一个平
面.βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面平行与面面平行
第2课时线面平行与面面平行※考纲链接1.了解空间线面、面面平行的有关概念2.理解直线与平面、平面与平面的平行关系的性质与判定，并能进行简单运用.【课前自主探究】※教材回归◎基础重现：1．直线与平面平行的判定①定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）.②判定定理：如果____________和平面内的一条直线平行，则直线和平面平行.③面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.2．直线与平面平行的性质：①定义：如果一条直线和一个平面平行，,则直线与平面无公共点②性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和_______平行．3．平面与平面平行的判定①定义法：证明两个平面没有公共点（反证法）.②判定定理：如果一个平面内的____________分别和另一个平面平行，那么这两个平面相互平行.③推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相交）平行，那么这两个平面相互平行.④垂直于同一直线的两个平面相互平行.4．平面与平面平行的性质：①.定义：如果两个平面平行, 则两个平面没有公共点②.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________．5．两个平行平面间的距离两个平行平面的_________的长度叫做两个平行平面间的距离．基础重现答案：1. 平面外的一条直线；2. 交线；3. 两条相交直线4. 所得的两条交线平行5. 公垂线段◎思维升华：1.线线、线面、面面平行的转换_________性质定理性质定理2．解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作_____或辅助平面.思维升华答案：1. 面面平行性质定理 2.辅助线※基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是 .①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.答案：1解析：正确的命题仅是④ 2．下列说法正确的有____________①一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行； ②两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相平行； ④两个平面同时平行于某一个平面，则这两个平面互相平行； 答案：②④3．如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，则这两个平面 位置关系为 ______ 答案：平行或相交4. (2010·宿迁模拟题)设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ”为真命题的是 .（填所正确条件的代号） ①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面；③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面. 答案：③5.（2010·山东高考题改编）在空间，下列命题正确的有______个 ①.平行直线的平行投影重合②.平行于同一直线的两个平面平行 ③.垂直于同一平面的两个平面平行 ④.垂直于同一平面的两条直线平行答案：1.解析：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出命题④是正确的.【课堂师生共探】※ 经典例题题型一 直线与平面平行的判定与性质例题1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F.求证：EF ∥平面ABCD.分析：要证EF ∥平面ABCD ，思路有两种：一是利用线面平行的判定定理，即在平面ABCD 内确定EF 的平行线；二是利用面面平行的性质定理，即过EF 作与平面ABCD 平行的平面.证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN.又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD.ABC DEP 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG∩FG=G ，AB∩BC=B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD.点评：判断或证明线面平行的常见途径：①利用线面平行的定义（无公共点）；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理变式训练：（2010·福建泉州一中模拟卷改编）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC //PD .求证：BE //平面PDA ； 证明：PDA EC PAD PD ,PD //EC 平面，平面⊄⊂Θ，PDA //EC 平面∴，同理可得BC//平面PDA ，C BC EC EBC BC EBC EC =⋂⊂⊂且平面，平面Θ PDA //EBC 平面平面∴又EBC BE 平面⊂Θ，PDA //EB 平面∴○题型二 平面与平面平行的判定与性质例题2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △321G G G ∶S △ABC .分析：要证明平面G 1G 2G 3∥平面ABC ，可以通过面面平行的判定定理，两条相交直线3221,G G G G ，都平行平面ABC.证明（1）如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD=2∶3， PG 2∶PE=2∶3，∴G 1G 2∥DE. 又G 1G 2不在平面ABC 内，∴G 1G 2∥平面ABC.同理G 2G 3∥平面ABC. 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC. （2）解由（1）知PE PG PD PG 21==32，∴G 1G 2=32DE. 又DE=21AC ，∴G 1G 2=31AC. 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=31BC. ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3，∴S △321G G G ∶S △ABC =1∶9.点评：证明面面平行，一般可利用面面平行的判定定理，将面面平行转化为线面平行，进一步转化线线平行.值得 注意的是，不能直接通过FE G G FD G G //,//2121得出平面G 1G 2G 3与平面ABC .平行，而通过两条相交直线3221,G G G G 都和平面ABC 平行.变式训练：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点,问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？解析： 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 题型三 平行关系的综合应用例题3 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB=CF ∶FD. （1）求证：EF ∥β；（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC=4，BD=6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长. 分析：（1）首先判断A 、B 、C 、D 未必共面，可以对其是否共面进行讨论.若这四点共面,可通过EF//BD 来证得EF ∥β，若这四点不共面，可过A 、C 、D 作辅助平面交β于DH,在AH 取一个合适点G ，进而通过平面EFG ∥平面β来证得EF ∥β.（2）求线段的长可以将其放到三角形中去解三角形. （1）证明 ①当AB ，CD 在同一平面内时， 由α∥β，平面α∩平面ABDC=AC ，平面β∩平面ABDC=BD ，∴AC ∥BD ， ∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴EF ∥BD ， 又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.②当AB 与CD 异面时，设平面ACD ∩β=DH ，且DH=AC. ∵α∥β，α∩平面ACDH=AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH=CF ∶FD ， 又∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ， 又EG ∩GF=G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.（2）解 如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF. ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ， 且ME=21BD=3，MF=21AC=2，∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得， EF=EMF MF ME MF ME ∠••-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF=7或EF=19.点评：线线、线面、面面平行之间常常需要直接或间接转化，不少问题还需要我们多次转化，才能实现；立体几何中问题的解决还需要平面几何知识的运用，事实上复杂的立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.变式训练：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1； （2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.解析： （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1. 又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE 21DC ，又D 1G21DC ，∴OE D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O. 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D.（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1，DB ∩BF=B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H.※高考新题零距离（2010·陕西文高考题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点. (1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥E —ABC 的体积V. 证明：(1)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD , 又∵AD ⊄平面P AD ,E F ⊄平面P AD , ∴EF ∥平面P AD . (2)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ,则BG ⊥平面ABCD ,且EG =12P A . 在△P AB 中，AD =AB ,∠P AB °,BP =2,∴AP =AB =2,EG =22.∴S △ABC =12AB ·BC =12×2×2=2, ∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =13×2×22=13.※典型错误警示1.线面平行关系判定时,对两直线平行比较关注,但对两条直线分别在平面外、平面内的要求比较容易忽视,如：例1证明 EF ∥平面ABCD .容易遗漏⊄EF 平面ABCD 和⊆MN 平面ABCD；2.在证明面面平行，容易直接运用一个平面两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线而得到结论，而不是通过线线平行过渡到线面平行再到面面平行.如例2中直接运用QB ∥PA， D1B∥PO⇒平面PAO//平面QBD1.◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径.请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：※学以致用第2课时线面平行与面面平行[基础级]1．以下命题正确的有_________________①．两个平面可以只有一个交点②．一条直线与一个平面最多有一个公共点③．两个平面有一个公共点，它们可能相交④．两个平面有三个公共点，它们一定重合答案：③.解析：两个平面有一个交点，则有经过该点的一条直线，所以①错误；直线在平面内，则直线与平面有无数个公共点，所以②错误；若两个平面有三个共线的点，则两个平面未必重合.所以④错误.2．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么α与β位置关系为_______答案：α∥β或α与β相交.解析：若这无数条直线平行，则α∥β或α与β相交；若这无数条直线有两条相交，则α∥β.3．平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的位置关系是________答案：平行解析：连BC，作BC的中点M，可证明面MEF//α.从而EF//α..4.下列命题，其中真命题的个数为 .①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α；④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.答案1解析①、②、③错，④对.5.写出平面α∥平面β的一个充分条件（写出一个你认为正确的即可）.答案存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.解析：面面平行的判定.6.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α,直线m⊂β,使得l∥m；④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有 （写出符合题意的序号）.答案 ②④解析 由线面位置关系不难知道②④正确.7.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .①AB ∥m ②AC ⊥m ③AB ∥β ④AC ⊥β 答案 ①②③解析 ∵m ∥α，m ∥β，α∩β=l ，∴m ∥l .∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故①一定正确.∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m .从而②一定正确. ∵A ∈α，AB ∥l ，l ⊂α，∴B ∈α.∴AB ⊄β，l ⊂β.∴AB ∥β.故③也正确.∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立.故④不一定成立.8.设有直线m 、n 和平面α、β.下列命题不正确的是 （填序号）.①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n②若m ⊂α，n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β ③若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β ④若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α答案 ①②③解析 若α∥β，m ⊂β，n ⊂β，可知m ∥α,n ∥α,但m 与n 可以相交，所以①不对；若m ∥n ，即使有m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β, α与β也可以相交，所以②不对；若α⊥β，α中仍有不与β垂直的直线，例如α与β的交线，故③不对；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n ,又m ⊥β，则m ∥n ，又m ⊄α，所以m ∥α，故④正确. [升华级]9．求证： 两个相交平面分别过两条平行直线, 则它们的交线和这两条平行直线平行. 解析：如图, a ⊄β，∵ a//b , b ⊂β，∴ a//β又∵a ⊂α, α∩β= l , ∴ a// l ,又 a//b ，∴ a//b// l .10．（2010·姜堰中学月考）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：PC ∥平面QBD ； 解析：设 ⋂AC BD=0,连OQ . ⑴ ∵ABCD 为菱形， ∴ O 为AC 中点，又Q 为PA 中点. ∴OQ ∥PC . 又⊄PC 平面QBD , ⊂OQ 平面QBD ∴PC ∥平面QBD11．（2010·江苏省届百校联考改编）在在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF//平面OCD 证明：取OD 中点M ，连接EM,CM ,则1,2ME AD ME AD =‖， ∵ABCD 是菱形，∴//,AD BC AD BC =，BACD P Q O∵F 为BC 的中点，∴1,2CF AD CF AD =‖， ∴,ME CF ME CF =‖．∴四边形EFCM 是平行四边形，∴//EF CM ，,//EF OCD CM OCD EF OCD⊄⊂∴Q 平面平面平面我的错题：错因：反思：第三课时 线面垂直与面面垂直※考纲链接1.了解线面垂直的概念，能正确判断空间线面、面面垂直的位置关系；2.能运用线面、面面垂直的判定和性质来证明线面、面面垂直，能求简单的线面角和二面角和点面距离.【课前自主探究】※ 教材回归 ◎基础重现1.直线与平面垂直判定（1）定义：若一条直线和一个平面内的_______垂直，则这条直线和这个平面垂直. （2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（3）判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.2.直线与平面垂直的性质：（1）一条直线和一个平面垂直,那么该直线与平面内所有直线垂直. （2）性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线______. 3.平面与平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）如果一个平面经过另一个平面的_________，那么这两个平面互相垂直. （3）一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个. 4.平面与平面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，________.DABCFE OM（3）如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 5.二面角及二面角的平面角(1)半平面： 一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面. (2)二面角 ： __________________________叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成. 6.空间的几种距离点到平面的距离：面外一点引一个平面的垂线，这个点和___________间的距离叫做这个点到这个平面的距离.直线和平面的距离：定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.平行平面的距离：个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.基础重现答案：1. 任何一条直线2. 平行3. 一条垂线4. 在第一个平面内5. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形6.垂足 ◎思维升华：1．三种垂直关系的相互转化2．求点面距离、线面距离、平行平面距离常用的方法： （1)直接利用定义求;（2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离;（3)等体积法.其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②__________________________；③由V=sh 31求出h 即为所求. 线面距、平行平面距离：转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.思维升华答案：1.线面垂直2.求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ； ※ 基础自测1.给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线. 其中正确的命题共有 个.答案 2.解析 与线面垂直的定义及判定定理相对照，②、③为真，①中两线可能不相交，④中两线不相交，故不正确.判定判定 性质性质2.(2010·无锡模拟)已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则n与平面α的关系为 .答案n ∥α,或n⊂α.解析∵n与β的位置关系各种可能性都有.当n⊄α时，作n′∥n,且n′∩m=O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ= l,则有m⊥l,又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α；当n⊂α时，显然成立.3.(2010年南京市高三情况调查卷)下列命题中，真．命题．．是________①.如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直②.如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行③.如果一条直线垂直于平面的两直线，则垂直于这个平面④.如果两平面垂直，则一平面的直线垂直于另一个平面答案：①②4.如图，BC是Rｔ△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，则图中共有直角三角形个.答案：45.如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，P A垂直于圆O所在的平面，则BC和PC所成角为答案：2π【课堂师生共探】※经典例题题型一直线与平面垂直的判定与性质例1．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC 的中点. （1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD. 分析：要证明MN⊥平面PCD，只要证明MN与平面PCD内两条相交直线垂直.证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=21PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=21PC.∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.PABCPABCO（2）连接PM 、CM ,∵∠PDA =45°，PA ⊥AD ，∴AP =AD .∵四边形ABCD 为矩形. ∴AD =BC ，∴PA =BC .又∵M 为AB 的中点，∴AM =BM . 而∠PAM =∠CBM =90°,∴PM =CM . 又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC . 由（1）知，MN ⊥CD ，PC ∩CD =C , ∴MN ⊥平面PCD .点评：在线线垂直和线面垂直的相互转化中, 平面在其中起着至关重要的作用, 应考虑线与线、线与面所在的平面特征, 以顺利实现证明需要的转化.变式训练：如图, AB 为⊙O 的直径, C 为⊙O 上的一点, AD ⊥面ABC , AE ⊥BD 于E , AF ⊥CD 于F.求证： BD ⊥面AEF.解析： ∵ AB 为⊙O 直径, C 为⊙O 上一点，∴ BC ⊥AC.BC ACAF DC DA ABC BC DAC DA BC BC AF BC ABC AF DAC AC DA A BC DC C ⊥⊥⎫⎫⊥⊥⎫⎫⎪⎪⇒⊥⇒⇒⊥⎬⎬⎬⎬⊂⊂⎭⎭⎪⎪==⎭⎭I I 平面平面面面BD AEAF DCB AF BDBD AEF DB DCB AE AF A ⊥⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭I 平面平面平面. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 边的中点， （1）求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.分析：要证明BG ⊥平面PAD ，可通过平面PAD ⊥平面ABCD 来证明；要探求在PC 上是否存在点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，只需平面探求PC 上是否存在点F ，使得平面DEF ∥平面PGB.（1）证明 在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ， 所以BG ⊥平面PAD.（2）证明 连接PG ，因为△PAD 为正三角形， G 为AD 的中点，得PG ⊥AD ，由（1）知BG ⊥AD ， PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB ，PG ∩BG=G ，所以AD ⊥平面PGB ，因为PB ⊂平面PGB ， 所以AD ⊥PB.（3）解 当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD.证明如下：取PC 的中点F ，连接DE 、EF 、DF ，在△PBC 中，FE ∥PB ，在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， EF ∩DE=E ，所以平面DEF ∥平面PGB ，因为BG ⊥平面PAD ，所以BG ⊥PG 又因为PG ⊥AD ，AD ∩BG=G ，∴PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， 所以平面PGB ⊥平面ABCD ，所以平面DEF ⊥平面ABCD.点评：（1）线面垂直可以通过转化为线线垂直来证明；（2）探求符合要求的点，可通过先构造垂直的特殊位置上的点或线，然后验证其是否符合条件，如果符合要求，则反过来直行证明.变式训练：（2010·江宁区模拟）如图所示，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， DB=BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点.（1）求证：B 1D 1//平面A 1BD ； （2）求证：MD ⊥AC（3） 试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D 解析：（1）∴B 1D 1//BD而BD ⊂平面A 1BD ，BD ⊄平面A 1BD ， ∴B 1D 1//平面A 1BD.（2）AC ⊥平面B 1BD 而MD ⊂平面B 1BD ， ∴MD ⊥AC.（3）当点M 为棱BB 1的中点时， 可使得平面DMC 1//平面CC 1D 1D取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连结NN 1交DC 1于O ，连结OM. ∵N 是DC 的中点，BD=BC ∴BN ⊥DC又∵平面ABCD ∩平面DCC 1D 1=DC,平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1， ∴BN ⊥平面DCC 1D 1. 又可知O 是NN 1的中点，∴BM//ON 且BM=ON ，即BMON 是平行四边形， ∴BN//OM∴OM ⊥平面CC 1D 1D 又∵OM ⊂平面DMC 1，∴平面DNC 1⊥平面CC 1D 1D. 题型三 线面角的求法例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，ABCD A 1B 1C 1D 1M NN 1O∠BAD =90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.分析：线面角关键是找出直线BD 在平面ADMN 内的射影，即只要找出过直线BD 上某一点且和平面ADMN 垂直的垂线问题便迎刃而解！ 解析：（1）∵N 是PB 的中点，PA =PB ， ∴AN ⊥PB .∵∠BAD =90°，∴AD ⊥AB . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD .∵PA ∩AB =A ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PB . 又∵AD ∩AN =A ，∴PB ⊥平面ADMN . ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB ⊥DM .（2）连接DN ，∵PB ⊥平面ADMN ，BD 在平面ADMN 上的射影为ND ， ∴∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角，在Rt △BDN 中，sin ∠BDN =BD BN =ABAB2221•=21， ∴∠BDN =30°,即BD 与平面ADMN 所成的角为30°.点评：作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．变式训练：△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ，∠ABC ＝∠DBC ＝120°．求AD 与平面DBC 所成的角； 解析：作AE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，由面ABC ⊥面BCD 知AE ⊥平面BCD ，∠ADE 即为所求，在△ABE 中，∵∠ABC=120°∴∠ABE=60°，AE=AB 23，同理在△BDE 中， DE=DB 23,则AE=DE ，则∠ADE ＝45°,即AD 与平面DBC 所成的角为45°. 题型四 点到平面的距离例5 （2010·江苏高考题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.分析：一方面可以通过AB ∥DC 且AB=2DC ，将点A 到平面PBC 的距离转化为D 到平面PBC 的距离的2倍.过D 作PC 的垂线便可以解决；另一方面也可以运用等体积法A PBC P ABC V V --=，将距离转化为平面PBC 上的高.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得CD ⊥BC ， 又PD I DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC.A BD C E（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ， 连DE 、DF ，则：易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ， 点D 、E 到平面PBC 的距离相等.又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F. 易知DF=22，故点A 到平面PBC 2. （方法二）体积法：连结AC.设点A 到平面PBC 的距离为h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=. 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC. 又PD=DC=1，所以222PC PD DC =+=由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积22PBC S ∆=. 由A PBC P ABC V V --=，1133PBC S h V ⋅==V ，得2h = 故点A 到平面PBC 2点评：求点到平面的距离的方法：⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质．⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.※高考新题零距离（2010·山东高考题）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，⊥MA 平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA. （1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（2）求三棱锥P —MAB 与四棱锥P —ABCD 的体积之比. 解析：(1)由已知⊥MA 平面ABCD ，PD ∥MA ，所以⊥PD 平面ABCD ，又⊂BC 平面ABCD ，所以BC PD ⊥因为四边形ABCD 为正方形,所以DC BC ⊥ 又D DC PD =I ,因此，⊥BC 平面PDC 在PBC ∆中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， 所以GF ∥BC ， 因此⊥GF 平面PDC 又⊂GF 平面EFG 所以平面EFG ⊥平面PDC（2）因为⊥PD 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1,则PD ＝AD ＝2 所以3831=⨯=-PD S V ABCD ABCD P 正方形 由于⊥DA 面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离， 三棱锥322212131＝⨯⨯⨯⨯=-MAB P V ， 所以MAB P V -：ABCD P V -＝1：4.※典型错误警示1．证明线面垂直时，容易忽视直线垂直与平面内两条直线相交的条件.如遗漏条件PC ∩CD =C ,2．找线面角时不知道找线在平面内的射影，关键是不知道找出平面的垂线.在求线面角时,需要作、证、算三个步骤，同学们在解题过程中容易忽视“证”这个过程.如例3的第2问的解答中，遗漏“PB ⊥平面ADMN ，BD 在平面ADMN 上的射影为ND ”这个环节.◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径. 请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！ 我的错题：错因：反思：※学以致用第三课时 线面垂直与面面垂直[基础级]1．已知a ⊥平面α, b ⊂α, 则a 与b 的位置关系是答案：a ⊥b.解析：直线垂直于平面,则该直线垂直于平面内所有直线. 2.直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线有 条.答案：无数条解析：直线a 与平面α斜交，设斜足为Ａ，则过Ａ必可作一条直线l 与直线a 垂直，从而α内与l 平行的直线都与a 垂直.3.(2010·江苏扬州模拟卷) 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的___________条件答案：必要非充分.解析：直线l 与平面α内平行线垂直时，直线l 与平面α未必垂直. 4..已知a 、b 是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α,a ⊥β,则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③α∥β,a ⊂α,b ⊂β,则a ∥b ；④若α∥β，α∩γ=a , β∩γ=b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是 .答案 ①④解析 根据线面、面面平行与垂直的判定与性质可知①④正确.5.(2010年广州市高三模拟)已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的___________条件 答案： 必要不充分解析： 当直线a 与平面α内无数条平行直线垂直, 则直线a 与平面α未必垂直,但直线a 与平面α垂直,则直线a 与平面α内所有直线垂直．6.(2010·南通模拟卷) 已知直线l ，m ，n ，平面α，m α⊂，n α⊂，则“l α⊥”是“,l m l n ⊥⊥且”的 条件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一）答案：充分不必要.解析： 通过,l m l n ⊥⊥且来证明l α⊥,必须要具备m ，n 是平面α的两条相交直线.7．（2010·江苏宿迁模拟）设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，ββ⊥⊥n m ,，则βα⊥； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβαI ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ． 答案：④解析：αα⊥⇒⊥m n n m ,//，又βα//，则β⊥m .8．P 是△ABC 所在平面外一点，O 是P 点在平面α上的射影,若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 是△ABC 的 心.答案：垂心. 解析：因为PA 、PB 、PC 两两互相垂直，所以PA ⊥平面PBC ，所以PA ⊥BC ，又因为OA 是PA 在面ABC 内的射影，且BC 在面ABC 内，所以OA ⊥BC ，同理可得，OB ⊥AC ，OC ⊥AB ，所以O 是△ABC 的垂心. [升华级]。
线面平行与面面平行的性质最新1
形 ABCD 是
D
A B
C
D
C
A
B
C1 A1 B1
C
A
D
B
变式、平行四边形
ABCD , 点 P 是平面 ABCD 外一点，
点 M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G , 过 G 点和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH .
求证： AP // GH .
P
M
G
D
H
O
C
A
B
2、如图所示，正方体
ABCD A1 B 1 C 1 D 1中，
2.3线线与面面平行的性质
一、直线与平面平行的性质
问1、教室内的日光灯管所在的直线与地面平行， 要想在地面上作一条直线，使之和灯管所在的 直线平行，该如何做？ 问2、若直线 l //α,则直线l与平面α内的直 线b有哪几种位置关系？ l与b有可能共面 吗？ 问3、若直线 l //α,则过l与α相交平面有多少 个？它们与α的交线互相有什么关系？
A）
a 平行的直线
B 只有两条与 a 平行的直线 C 存在无数条与 a 平行的直线
D 存在唯一与 a 平行的直线
小结
1、线面平行的判定及其性质
2、面面平行的判定及其性质 3、基本思想：
线线平行
线面平行
面面平行
必做题、P62页：6,7,8
选做题、 P62页：3,4
1、 如 图所 示， 在 直三 棱
(1 ) 要 经 过 面 A C 内 的 一 点 P 和 棱 BC 将 木 料 锯 开 ， 要 求 锯 面 平 整， 应 该 怎 ( 2 ) 所 画 的 线 与 平面 样画线？
D
AC 是 什 么 位 置 关系 。
线面平行与面面平行
线面平行与面面平行专题复习之马矢奏春创作【知识梳理】题型一线面平行的判定与性质12定理图形简称○1若平面外一条直线和这个面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行线线平行,线面平行○2若一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 则这条直线就和交线平行.mβ⎬⎪=⎭线面平行,线线平行○3若一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.,//bb Abαβ⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭线线平行,面面平行○4若两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行.//abβγγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭面面平行线线平行○5若两个平面平行, 那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.//aβα⎫⇒⎬⊂⎭面面平行线面平行a心,归纳：3、已知：点是平行四边形ABCDQ是PA的中点,求证：PC//平面BQD.归纳：4、如图, 两个正方形ABCD和ABEF在的平面相交于AB,M,N分别是对角线AC,BF上的点, AM=FN, 求证：MN//平BCE.小结1：证明线面平行的方法经常转化为面外线与面内线平行, 而证明两线平行的, , ,题型二、面面平行的判定与性质1归纳：归纳：归纳：练习：1．如图, 分别是正三,B1DBADECA求证：1//A E 平面1BDC ；2．在直三棱柱111C B A ABC -中, E 、F 分别为11AC 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点.求证：直线EF ∥平面ABD ；3、如图, 在正方体1111ABCD A B C D -中, E , F 分别是棱BC , 11C D 的中点, 求证：EF //平面11BB D D ．4. 如图, 在四棱锥P ABCD -中, ABCD 是平行四边形, M, N分别是AB , PC 的中点．求证：MN //平面PAD ． 创作时间：二零二一年六月三十日C 1 ABCDE FA 1B 1第2题1A1B1D1CFEABCD APDMN BC。
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线面平行与面面平行专题复习
【知识梳理】
线线平行
线面平行面面平行
1、,,//l a b a l
α
βαβ=⊂⊂已知：平面平面，求证：
归纳
,//b b A b αβ⊂⎫
⎪=⇒⎬⎪⎭
//a b βγγ⎫
⎪
=⇒⎪=⎭
//a β⎫
⇒
D
B
1B 1
A 1
C B A
D E
C 2、在正方体中，O 为面ABC
D 的中心，
求证：1
11//.AO B CD 平面
归纳： 3、已知：点是平行四边形ABCD 所在平面外一点，
Q 是PA 的中点,
求证：PC//平面BQD.
归纳：
4、如图，两个正方形ABCD 和ABEF 所在的平面相交于AB,M,N 分别是对角线AC,BF 上的点，AM=FN ，求证：MN//平面BCE.
小结1：证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线平行，而证明两线平行的方法常有： ， ， ，
B 1
D B
A
C 1C
B 题型二、面面平行的判定与性质
1、1111111//.ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面
归纳：
11111111111,,:(1)//;(2)//.
ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面
归纳：
3//,,,,,,////AB CD A C B D E F AB CD EF αβααββαβ
∈∈∈∈、已知平面平面，是异面直线，分别为，的中点，求证：
归纳：
练习： 1．
如图，E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点，
求证：1//A E 平面1BDC ；
2．在直三棱柱111C B A ABC -中， E 、F 分别为
11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点.
求证：直线EF ∥平面ABD ；
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱
BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ．
4. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．
求证：MN //平面PAD ． C 1 A
B
C
D
E F
A 1
B 1
第2题
1A
1B 1D
1C
F
E A
B
C D P
D
N
C。