微分几何2-1

EG − F dudv.
2
给出。 给出。
第二章 曲面：局部理论
称为局部等距 局部等距， 定义 曲面 M 和 M * 称为局部等距，如果对于 任意点 P0 ∈ M 都存在正则参数表示 * * x (u , v ) : U → M 和 x (u , v) : U → M , 使得
Ι P = Ι* P* , ∀P = x(u, v) , P* = x* (u, v) , (u, v) ∈ U .
第二章 曲面：局部理论
保角的， 定义 一个正则参数表示 x (u , v ) 是保角的，如 果 uv −平面上的角度和任意切平面 TP M , ∀P 上相应的角度保持不变。 上相应的角度保持不变。
曲面正则参数表示是保角的 ⇔
E = G, F = 0 。
第二章 曲面：局部理论
对于 P0 ∈ M 点附近的一个正则参数表示
n=
1 u 2 + b2
(b sin v, −b cos v, u ).
第二章 曲面：局部理论
之前我们利用曲线的弧长参数表示来理解曲线 的几何性质，类似的， 的几何性质，类似的，我们希望找到曲面的正 在每一点正交。 则表示 x(u, v) 使得 xu 和 xv 在每一点正交。 这种想法引出了曲面的第一基本形式： 这种想法引出了曲面的第一基本形式： 第一基本形式
通常写成对称矩阵形式
E F ΙP = . F G
第二章 曲面：局部理论
对任意切向量 U = axu + bxv 和 V = cxu + dxv
E F c Ι P (U , V ) = (a, b) F G d = E (ac) + F (ad + bc) + G (bd ).
于是 xu × xv = f (u )(− g ′(u ) cos v, − g ′(u ) sin v, f ′(u )).
第二章 曲面：局部理论
之前的环面和球面都是旋转面； 之前的环面和球面都是旋转面； 旋转面上的 u −曲线都是的曲线 我们称为经线； 我们称为经线；
α
的复制， 的复制，
v − 曲线都是平行圆，称为纬线。 曲线都是平行圆，称为纬线。
x (u , v ) : U → M
使得
Ι = λ (u, v)(du + dv )
2 2 2
第二章 曲面：局部理论
什么样的曲面和平面是局部等距的（保长的）？ 什么样的曲面和平面是局部等距的（保长的）？ 即曲面每一点附近存在局部正则参数表示
x (u , v ) = (cos u ,sin u , v).
*
简单计算得到
E = E * = 1, F = F = 0,
*
G = G * = 1.
第二章 曲面：局部理论
平面和圆柱面是局部等距的； 平面和圆柱面是局部等距的； 如果令 0 ≤ u < 2π ，如图所示矩形和圆柱面不 是整体等距的。 是整体等距的。
第二章 曲面：局部理论
例2 正螺旋面。 正螺旋面。 由连接旋转轴和圆柱螺线的 水平直线张成的曲面， 水平直线张成的曲面， 它的参数表示
x(u , v) = (u cos v, u sin v, bv)
是正则的， 是正则的，其中
xu × xv = (b sin v, −b cos v, u ) ≠ 0.
第二章 曲面：局部理论
例6 直纹面。给定的正则曲线 α 零向量场 3
:I →
3
和非
β :I →
, β (u ) ≠ 0,
为准线， 我们定义以 α 为准线，以 β 为母线方向的直 纹面为
x(u , v) = α (u ) + vβ (u ) , u ∈ I , v ∈
它是正则表示的充要条件为
.
xu × xv = (α ′ + vβ ′) × β ≠ 0.
落在切平面 Tp M 内。 点的参数曲线的切向量的全体}= { M 上过 P 点的参数曲线的切向量的全体}= 切平面
第二章 曲面：局部理论
我们规定切平面 Tp M 的单位法向量
xu × xv n= xu × xv
点的单位法向量 单位法向量。 为曲面面 M 在 P 点的单位法向量。 单位球面的单位法向量是它的位置向量自身； 单位球面的单位法向量是它的位置向量自身； 正螺旋面的单位法向量是
第二章 曲面：局部理论
两个切向量张成一个平面， 两个切向量张成一个平面，法方向为 xu × xv 。
第二章 曲面：局部理论
例1 区域 U ⊂ 的图，有
3
2
上的 C 3 函数 f : U →
中的参数表示
x (u , v) = (u , v, f (u , v)).
由于 xu × xv = ( − f u , − f v ,1) ， 的图是正则曲面。 f 的图是正则曲面。
E F du Ι = (du, dv) F G dv
第二章 曲面：局部理论
以下计算第一基本形式的矩阵的行列式
xu ⋅ xu xu ⋅ xv 0 2 EG − F = det xv ⋅ xu xv ⋅ xv 0 0 0 1 xu xu T xu 2 = det xv xv = (det xv ) . n n n
第二章 曲面：局部理论
最后一项是由 xu ，xv 和 体积的平方， 体积的平方，也是 xu 和 面积， 面积，于是
2
n 张成的平行六面体的 xv 形成的平行四边形的
2
EG − F = xu × xv
因此参数曲面 分
≠ 0.
x : U → M 的曲面面积由二重积
U
∫
U
xu × xv dudv = ∫
例5 旋转面。 在坐标平面
yz 上的正则曲线 α (u ) = (0, f (u ), g (u )) , u ∈ I ,
满足 f > 0 。α 围绕
z 轴旋转得曲面有参数表示 x(u , v) = ( f (u ) cos v, f (u ) sin v, g (u )) u ∈ I , 0 ≤ v ≤ 2π .
第二章 曲面：局部理论
柱面 锥面 切线面
第二章 曲面：局部理论
定义 在正则曲面 M 上点 P ∈ M 处取定一个正则 参数表示
x (u , v ) : U → M ⊂
3
, P = x (u0 , v0 ).
切向量 xu (u0 , v0 ) 和 xv (u0 , v0 ) 张成的子空间 切平面， 点的切平面 我们称为曲面 M 在 P 点的切平面，记作 Tp M 。 切平面的定义是否依赖于参数表示的选择？
2u 2v u 2 + v2 −1 x (u , v ) = ( 2 2 , 2 2 , 2 2 ), u + v +1 u + v +1 u + v +1
(u , v ) ∈ R 2 。 其中
请验证： 请验证：球极投影是球面去掉一点的正则参数表 示。
第二章 曲面：局部理论
第二章 曲面：局部理论
特别的， 特别的，切向量的长度满足
U
2
= Ι P (U ,U ) = Ea 2 + 2 Fab + Gb 2 .
第二章 曲面：局部理论
在参数表示 x (u , v ) 下，任意切向量可以写成
dx(u, v) = xu (u, v)du + xv (u , v)dv
其中 ( du , dv ) 是切向量 dx (u , v ) 在自然基底 { xu , xv }下的分量。于是，我们得到曲面的 下的分量。于是， 第一基本形式的二次微分形式
第二章 曲面：局部理论
例3 环面是由一个半径为 b 的圆周关于距离圆 环面是由一个半径为 的直线旋转所得。 心 a > b 的直线旋转所得。它的一个正则参数 表示为
x (u , v ) = ((a + b cos u ) cos v, ( a + b cos u ) sin v, b sin u ),
第二章 曲面：局部理论
相对于曲线， 而不是映射； 相对于曲线，正则曲面定义为集合而不是映射； 参数表示是同胚映射避免了曲面自交， 参数表示是同胚映射避免了曲面自交，它的连 续逆映射保证了可以定义不依赖于参数表示的 选取的对象； 选取的对象； 取定曲面上一点 P = x(u0 , v0 ) ，如果固定 v = v0 ， 让 u 变化，得到 u − 曲线与切向量 xu (u0 , v0 ) ； 变化， 变化， 如果固定 u = u0，让 v 变化，得到 v − 曲线与切 向量 xv (u0 , v0 ) 。
由于
xu × xv = (sin u ) x(u , v)
这是球面去掉半个圆周的正则参数表示。 这是球面去掉半个圆周的正则参数表示。球面 能被两个这种类型的坐标邻域所覆盖。 能被两个这种类型的坐标邻域所覆盖。所以源自文库 位球面是正则曲面。 位球面是正则曲面。
第二章 曲面：局部理论
另外一种参数表示由球极投影给出 另外一种参数表示由球极投影给出 球极投影
x (u , v ) : U → M 它是保角的，首先要求 xu 和 xv 正交，则 它是保角的， 正交，
F = xu ⋅ xv = 0
对于任意给定一个切向量 U = axu + bxv ，它和 xu 的夹角余弦满足 U ⋅ x a
u
U xu
=
a 2 + b2
⇒ E =G
第二章 曲面：局部理论
任意一个正则曲面上每一点都有一个邻域， 定理 任意一个正则曲面上每一点都有一个邻域， 它可以和平面上的一个邻域建立保角对应。 它可以和平面上的一个邻域建立保角对应。因 此任意两个正则曲面必定局部保角 局部保角。 此任意两个正则曲面必定局部保角。 正则曲面 M 上任意一点 P 的一个充分小的邻 域内都存在正则参数表示
满足
xu × xv = −b(a + b cos u )(cos u cos v, cos u sin v,sin u ),
其中 0 ≤ u , v ≤ 2π .
第二章 曲面：局部理论
第二章 曲面：局部理论
例4 单位球面的球面坐标参数表示 单位球面的球面坐标参数表示
x(u , v ) = (sin u cos v,sin u sin v, cos u ), 0 < u < π , 0 ≤ v < 2π .
f = x* o x −1 : x(U ) → x* (U ) 是同胚的，保 是同胚的， 映射
持第一基本形式不变，所以是保长对应。 持第一基本形式不变，所以是保长对应。 保长对应
第二章 曲面：局部理论
例7 一个平面可以正则参数化为
x(u , v) = (u , v, 0);
同时， 同时，圆柱面有正则参数表示
Ι P : TP M × TP M → , Ι P (U , V ) = U ⋅V , U ,V ∈ TP M .
第二章 曲面：局部理论
T 在 P 点邻域上的有正则参数表示 x (u , v ) ， P M 有自然的基底 xu , xv ，我们定义曲面的 第一类基本量
{
}
E = Ι P ( xu , xu ) = xu ⋅ xu , F = Ι P ( xu , xv ) = xu ⋅ xv = Ι P ( xv , xu ), G = Ι P ( xv , xv ) = xv ⋅ xv .
第二章 曲面：局部理论
第一节 参数曲面和第一基本形式 第二节 Gauss映射和第二基本形式 Gauss映射和第二基本形式 第三节 G-C方程和曲面基本定理 协变微分， 第四节 协变微分，平行移动和测地线
第二章 曲面：局部理论
第一节 参数曲面和第一基本形式 定义 从区域 U ⊂ 2 到子集 V ⊂ 3 上的一个 C 3 同 胚映射 x(u, v) : U → V ⊂ 3 如果满足 xu × xv ≠ 0 , ∀(u, v) ∈ U , 的一个正则参数表示 参数曲面片） 正则参数表示（ 则称为 V 的一个正则参数表示（参数曲面片）。 是一张正则曲面 正则曲面， 连通子集 M ⊂ 3 是一张正则曲面，如果对每点 P ⊂ M 存在一个邻域有正则参数表示。 存在一个邻域有正则参数表示。
第二章 曲面：局部理论
第二章 曲面：局部理论
事实上， 事实上，对 M 上通过点 P 的任意一条可微曲 线有参数表示
α (u (t ), v(t )) : I → M , α (t0 ) = x(u0 , v0 ) = P,
则它的切向量
α ′(t0 ) = u ′(t0 ) xu (u0 , v0 ) + v′(t0 ) xv (u0 , v0 )