中心点法和设计验算点法的基本思路及其优缺点【方案】

中心点法和设计验算点法的基本思路及其优缺点

文摘：在采用结构的可靠指标来度量结构的可靠度时,采用一次二矩法,其中包括中心点法和验算点法。中心点法不考虑基本变量的实际分布,导出结构可靠指标的公式。但是荷载一般服从极值Ⅰ型分布，结构抗力服从正态分布，，而当量正态模式，并把极限状态函数推到多于两个变量的非线性的跟一般的情况，就是验算点法。中心点法的优点是计算简便，β值是近似的，存在误差。验算点法可对可靠度指标进行精度较高的计算，但较复杂。 关键词：可靠指标、失效概率、中心点法、验算点法、迭代法。

《建筑结构可靠度统一标准》将结构在规定的时间呢，在规定的条件下，完成预定功能的能力成为可靠性。可靠度是对可靠性的概率量度，在可靠性度分析中，首先应建立结构的功能函数，进而确定结构构件或体系的极限状态方程。

结构的功能函数可以用一下变量表示：(X12,…),适中的变量表示基本变量。若另R 表示结构抗力，S 表示荷载效应，则Z 为随机变量，Z 可能出现三种情况：

①＞0,结构处于可靠状态。

②0，结构处于极限状态。

③＜0，结构处于失效状态。 已知随机变量的概率密度函数如图所示，失效概率为密度函

数与负轴所围成的面积，可靠概率为剩余面积。又Z Z

μβσ=，可以看出β与值一一对应，β越大，越小。

运用中心点法时，导出结构的可靠指标的计算公式，在分析是采用泰勒公式不考虑基本变量的实际分布，直接按其服从的正态分布或对数正态分布，在分析时采用泰勒级数在中心点

展开。

在使用中心点法时，主要思想是把荷载和抗力所服从的函数根据β的定义把二者的函数标准化后求出β.

当抗力R 和荷载效应S 相互独立，且均服从正态分布时，可靠度指标为：

当抗力R 和荷载效应S 相互独立且均服从对数正态分布时，可靠度指标为：

β

=ln

R μβ=

当多个随机变量服从正态分布时，

在实际工程中，状态函数的基本变量往往不止一两个，

也不一定服从正态分布或对数正

态分布。为了使理论模式符合实际,拉克维茨和菲莱斯等人提出当量模式，并把极限状态函数推广到多于两个变量的非线性的更一般的情况，这就是验算点法。[1]。在验算点法时，当抗力和荷载都是正态分布时，设计线状态方程g()0,把荷载和抗力标准化，通过变换形成一个新的坐标系，通过计算，可靠度指标β的绝对值等于新的坐标系原点到极限状态方程的垂线距离。当多个变量服从正态分布时，与二维情况一样，新坐标原点到极限状态曲面的发现距离为β的绝对值。但荷载为极值Ⅰ分布时，抗力呈对数正态分布时，需要将非正太当量化，即在设计验算点p*处将非正态分布的随机变量“当量正态化”。即设X为非正态连续型随

机变量，在非正态函数的处x*进行当量处理，就是找到一个正态随机变量X＇,使正态变量X＇的概率分布函数在x*的值与非正态变量X在x*处的值相等，并且二者在x*处的概率密度函数值相等。这样就可以用正态随机变量X＇的均值和方差来代替非正态随机变量X 的均值和方差，从而求出非正态变量的概率密度函数和统计参数，并用迭代法计算β值和设计验算点的坐标值。

中心发和验算点法各有各自的优缺点，对中心点法来说：

中心点法的主要优点有：（1）中心点方法不考虑基本变量的实际分布，直接按其服从正态或对数正态分布，导出结构可靠度指标的计算公式，计算简便。

（2）当结构的可靠指标β较小，即失效概率较大时，值对功能函数的概率分布类型不敏感[2]。

中心点法的主要缺点：

（1）该方法没有关基本变量分布类型的信息，因中心点法建立在正态分布变量基础上，当实际分布不同于正态分布时，其可靠度的计算结果必将不同，因而靠靠度指标的计算结果会有误差。

（2）当功能函数为非线性函数时，因该方法在中心点处取线性近似，由此得到的可靠度指标将是近似的，其近似程度取决于线性近似的极限状态曲面与真正的极限状态曲面之间的差异程度。一般来说，中心点离极限状态曲面的距离越近，差别越小。然而根据结构可靠性的要求，中心点一般总离开极限状态曲面有相当的距离，因此对于非线性功能函数问题结构可靠的计算误差是在所难免的。[3]

验算点法的优点在于：

（1）它适用于随机变量为任意分布下结构可靠指标的求解，而且通俗易懂，计算速度快，计算精度又能满足工程的实际需要。

（2）它能给出一套固定的解题步骤，适合于编制计算程序和便于一般工程技术人员的应用[4]。

但其局限性在于：

（1）将极限状态方程在验算点处展为泰勒级数线性化极限状态方程，可能会带来显著性误差。

（2）由于将非正态变量等价正态化，也使计算带来误差。

（3）当在标准正态空间中的极限状态方程中有几个点到原点的距离取极值时，则问题

的解将与初始迭代点有关，很可能得到的解是局部最优，而不是总体最优解[4]。

（4）用迭代法计算时计算步骤较多，比较复杂。

[1] 白国良.《荷载与结构设计方法》，高等教育出版社

[2] 吴世伟.结构可靠度分析[M]北京:人民交通出版社,1990:154～162