4.3曲线的凹凸性及曲率

4、1 曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 取弧段 s , 对应切线转角 ,
定义
弧段 s 上的平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ曲率
y
K s 点 M 处的曲率 d K lim s 0 s ds
曲率K 的计算公式
o
M
y
M s
x
K
(1 y )
1 曲率半径 : K
例 15 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4 x 2 ．现在 用砂轮磨削内表面，应用多大的砂轮比较合适．
分析： 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的
那部分工件被磨去太多，砂轮的半径应
小于或等于抛物线上各点处曲率半径中的
最小值．
由上面例题知，抛物线上顶点处的曲率最大，从而
2
因为lim y 3x 2 3 ，所以 y 3 x 1 x2 是曲线的水平渐近线． 解
2 3 x 2 的间断点，且 又因为1和-1是 y 1 x2 2 3x 2 2 3 x 2 ， ，所以 x 1 lim lim 2 x 1 1 x x 1 1 x 2
解：根据曲率的计算公式 K
y (1 y )
2 32
由 y ' 2ax b, y " 2a, 代入公式得
K
2a (1 (2ax b) ) 2
2
3
若 a, b 给定，则 2ax b 0 时，曲率 K 最大， b 即 x , K | 2a | 2a
即抛物线的顶点处曲率最大
2） 函数图形的描绘
按作图步骤进行
解：(1) 定义域为 ( , ) ；
(2) y
4x 3 3 x 1
3
， y
2(2 x 3) 9 x 1
3
，
(3) 令 y 0 ，得 x 3 / 2 ．当 x 1 时， y 不存在．
(4) 列表
x
y
( , 1)
1 不存在
拐点 (1，0)
3 (1, ) 2
1
o
1
2
x
四、平面曲线的曲率--- 描述曲线在一点的弯曲程度 曲线的弯曲程度决定于
s

N
N1
N
N1
M
1 ,
1

⌒ ⌒ , MN MN 1

⌒ ⌒ MN MN1
M
M1
弧长若相等，
弧两端切线的转角若相等，
转角大的弯度程度大． 弧长的反而弯度程度较小．

(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上是凹的 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 是凸的 , 3 27
二、 渐近线
定义 . 若曲线 y f ( x ) 上的 动点 P ( x , y ) 沿着曲线无限 远离坐标原点时，它与某
2 2 2 d s (d x ) (d y ) 1） 弧长微分 ds 1 y dx 或
y d K 2） 曲率公式 3 2 ds (1 y ) 2 1 3） 曲率圆、曲率半径 R K 6.弧长微分、曲率与曲率半径 1）曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线; 斜渐近线
1 例 求曲线 y 的水平渐近线 x5 和铅垂渐近线.
因为lim 1 0 ，所以 y 0 是曲 x x 5 线的水平渐近线． 解
1 1 又因为5是 y 的间断点,且 lim x 5 x 5 x5 ，所以 x 5是曲线的铅垂渐近线．
例
铅垂渐近线.
3x 2 2 求曲线 y 的水平渐近线和 2 1 x
36 x( x 2 ) 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2) 求拐点可疑点坐标
11 , y 1 , y 对应 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 1 22 27 3 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
2
值最小，这个最小值 Rmin 1.25．因此我们应选用直径等于 或略小于 2.5单位的砂轮磨削工件内表面才比较合适．
内容小结
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增
在 I 上单调递减
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
和 x 1 是曲线的铅垂渐近线．
三、复杂函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 的定义域 , 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在
2. 求
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
例3. 描绘
直 线 l 的距离趋向于零，则
y
l ． P ( x, y)
y f ( x)
称 直 线 l 为该曲线的渐近线．
o
x
曲线渐近线的分类
y
xa
(1)垂直渐近线
若 lim f ( x ) ( )
x a
(或 lim f ( x ) ( ))
x a
则直线 x a 为曲线 y f ( x)的 垂直渐近线.
注：(1) 拐点是曲线上的点，必须用 ( x0 , y0 ) 表示；
(2) 若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x ) 的拐点，则 x0 可能是 f ( x ) 的零点或 f ( x ) 不存在的点；
(3) 若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x ) 的拐点， 且 f ( x ) 在 x0 连续，则 f ( x0 ) 0 ，
列表讨论：
step 4. 图像的渐近线
∵ lim e
x
x2
＝0，∴ 直线 y 0 为曲线的水平渐近线．
step 5. 根据需要补充图像上的若干点（如与坐标轴的交点）
2 辅助点：( ，0.61)， （1，0.37） ， （ 2 ，0.14） ． 2
step 6. 绘图
y
1
y e
x2
2
+

3 2 0
拐点 3 33 4
3 ( , ) 2 +
曲线 y
( , ) 2 4

3 故曲线在(-∞，1)及( ，+∞)内是凹的， 2 3 在（1， ）内是凸的， 2
3 3 34 )． 拐点为(1，0)和 ( , 2 4
练习. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
y 12 x3 12 x 2 ,
解: 1) 定义域为
的图形. 无对称性及周期性.
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 ,
令 y 0 , 令 y 0 ,
3)
1
1 2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(1, 2)

4、2 曲率圆与曲率半径
设 P 为曲线 C 上任一点 , 在点 P 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
y
D
R


C
o
P 1
T
1 DP R K
P
x
s R lim s 0
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心.
曲线的凹凸性及曲率
1、函数曲线的凹凸性与拐点 2、函数曲线的渐近线
3、复杂函数的作图
4、函数曲线的曲率
y
C
B
A
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
o
x
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?
一、（一）曲线的凹凸性与拐点
定义 如果在某区间内，曲线弧位于其上 任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区 间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于 其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这 个区间内是凸的．
Step 2. 讨论函数的单调性、极值点和极值 x2 f ( x) 2 xe ，令 f ( x ) 0 ， 得驻点 x 0 ，
f ( x) 2e
x2
2 ． (2 x 1) ，令 f ( x ) 0 ，得 x 2
2
step 3. 讨论函数的凹凸性和拐点
2016/2/20
o
y f ( x)
a
x
13
y
y tan x
y
y cot x
2
o
2
x
o
2
x
(2)水平渐近线
若 lim f ( x) A( A为常数), 则直线 y A是曲线
x ( x )
y f ( x)的水平渐近线.
注意：只有当函数的定义域是无穷区间时， 其曲线才有可能存在水平渐近线．


2 ( 2 , ) 0
2 3
2
(极大)
(拐点）
(极小)
4)
练习 作函数 f ( x) e
x2
的图象．
解：step 1. 确定函数的定义域，
并讨论函数的奇偶性和周期性
定义域为(-，+)，
∵ f ( x ) f ( x ) ，
∴ f ( x) e
x2
是偶函数，图象关于 y 轴 对称．
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
曲线凹凸的判定:
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理 设函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 内存 在二阶导数， (1)若 a x b 时，恒有 f ( x) 0 ，则曲 线 y f ( x) 在 ( a, b) 内凹的； (2)若 a x b 时，恒有 f ( x) 0 ，则曲 线 y f ( x) 在 (a, b) 内凸的．
求拐点的一般步骤： ①求函数的二阶导数 f ( x) ； ②令 f ( x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点； ③对步骤②求出的每一个点，检查其左、 右邻近的 f ( x) 的符号，如果异号则该点为曲 线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．
例 求曲线 y x 3 x 1 的凹凸区间和拐点．
曲率半径最小．
解: 由上分析，因此我们先求曲率半径的最小值，由于
y 0.8 x , y 0.8
所以，工件内表面截线 y 0.4 x 上任意一点的曲率半径为
2
3 2 2 3 2 2
(1 0.64 x ) (1 0.64 x ) R 0.8 0.8
容易看出，当 x =0 时，即在抛物线 y 0.4 x 的顶点处，R 的
曲线
+ –
在I上向下凹 拐点 — 连续曲线上的凹凸分界点
3. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过
由正变负
由负变正
为极大值
为极小值 为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件

4. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ;
5.弧长微分、曲率与曲率半径
例
判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
（二）曲线的拐点
定义：连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。
2 32
例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
例
抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点处的曲率最大？