二次函数值域

对称轴
图（4）
函数f ( x) x 2 ax 3在区间 2， 上的最大值g (a) 2
求g (a)的表达式
对称轴x=a 2 对称轴x=a 2
练习1
-2
¶ Æ Öá Ô³
2
-2
2
¶ Æ Öá Ô³
图（2） 图（1）
-2
2
-2
2百度文库
f ( x) x 2 4ax 1且x 2,3, 求f ( x)的最小值。 练习2：已知函数
当 0a 1
x [0,1]
上的最值。
3、由图（3）得：
对称轴x=a 2
2
0
1/2
1
ymax f (1) 4 2a ymin f (a ) 3 a 2
4、由图（4）得： 当
对称轴
图（3）
对称轴x=-
a 2
1 a 1 2
0
1/2
1
ymax f (0) 3 ymin f (a ) 3 a 2
一、定义域为R的二次函数的值域 求二次函数y ax 2 bx ca 0当x R时的值域是先把它配方
b 4ac b 2 为y a x 2a 4a 4ac b 2 4ac b 2 当a 0时y , ;当a 0时, 值域为 , ; 4a 4a
y
练习：x 0,3 最值 的
-1 -3
o
1
3
x
对称轴x=-
a 2
m
¶ Æ Öá Ô³
n
m
n
图（3）
图（1）
对称轴x=-
a 2
0
1 n
对称轴
m
图（2）
n
图（4）
第二类： ：函数对称轴不固定，区间固定， f ( x) x 2 2ax 3 在 x [0,1] 上的最值。 例2、求
2 1 0 -1
-1
1
2
3
第三类:函数对称轴固定，动区间
例3 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解: 对称轴： x=1, 抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3 2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, 3 ∴当x=1时,ymin=2 2 当x=0时，ymax=3
2
值域为 , 4
如 : y x 2 2 x 3 ( x 1) 2 4
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1 0 -1
b 4ac b 2 A( , ) 2 2a 4a
1 1 2 3
2
-1
b 4ac b A( , ) 2a 4a
-1
0 -1
1
2
3
例题1：求f(x)=x2-2x-3 ①x∈[-1，0] 的最值 ②x∈(2，3)的值域 ③x∈[-1，2]的最值
思考： 已知f(x）=x2-2x+3在[0，a]上最大值3, 最小值2，求a的范围。
y
3 2 o
1
2
x
练习：f ( x) x 4 x 2且x 1, a ，求f ( x)的最值
2
第四类：轴固定，区间端点都不固定
例4.函数f ( x) x 2 2 x 1且x a, a 1, 求最小值g (a)
对称轴x=a 2
1、由图（1） 当对称轴x=a≥1 ymax f (0) 3
0
1
对称轴
图（1）
ymin f (1) 4 a
1、由图（2）
对称轴x=a 2
当对称轴x=a≤0
0 1
ymax f (1) 4 a ymin f (0) 3
对称轴
图（2）
例2、求
f ( x) x 2 2ax 3 在
o 1 a
2
x
例3 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解: 对称轴：x=1, 抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3 2.当1<a<2时 ,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, 3 ∴当x=1时,ymin=2 2 当x=0时，ymax=3 o 1 2 x 3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调 a 递减,在[1，a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2,当x=a时,ymax= a2-2a+3