4.矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂

用数k乘以第i行记为rik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r24
———
1 5 1 1 4 8 4 12 3 8 1 1 1 9 3 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。
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二、矩阵之间的等价关系
有限次初等行变换
A
有限次初等列变换
r
行等价，记作 A ~ B
B c 列等价，记作 A ~ B
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矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
有限次初等变换
A
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性 A~；A 对称性 若 A ，~ B则 B；~ A 传递性 若 A~B,，B则~C． A ~ C
（不唯一）
一系列初 等行变换
行简化阶梯形矩阵C （唯一）
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例1．用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形
A
1 2
0 1
1 0
—rr23—+23rr11
101 0 1 2
—r3—2r1
3 2 5
0 2 2
—r3—0.5
1 0 1 r2+2r3 1 0 0 0 1 2 —r1—r3 0 1 0
交换第i列与第j列记为cicj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c1c3
———
1 5 1 2 1 8 3 9
1 1 13 31 17
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列； (2)以数k0乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。
② 所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标” 随着“行标”的增大而严格增大。
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
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备注
• 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
• 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换 初等列变换
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10
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三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵 （1）阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵 ①零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方
001
001
101 0 1 2 002
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例2．用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形
1 1 1 1 0
A1 1 1 3 1
2 2 4 6 1
解：A11
1 1
1 1
1 3
0 1
一系列初 等行变换
2 2 4 6 1
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1 3 5 7
1 3 5 7
例
A
0 0 0
2 0 0
0 0 0
0
1 0
B
0
0 0
2 4 0
3 0 0
0
1 0
A为阶梯形矩阵， B不是阶梯形矩阵
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1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
r1 r2
r2 r3
第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r33r1
———
1 5 1 1 1 2 1 3 0 7 2 4 1 9 3 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列； (2)以数k0乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的k倍加到另一行列上。
2 1 1 1 2
1
4Fra Baidu bibliotek
1 6
2 2
1 2
4 4
B
3
6 9
7
9
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第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。 交换第i行与第j行记为rirj。例如
(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。
第j列11 的5k2倍加11 到第31 i列c记3+c为1 ci+kc11j。例如52
0 2
1 3
3 8 1 1 ——— 3 8 2 1
1 9 3 7
1 9 4 7
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换
若矩阵A经过初等行变换后变为B,用
A
B
表示,并称矩阵 A与B是行等价的
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3
3
B5
0
0
00
0
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
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用数k乘以第i列记为cik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c34
———
1 5 4 1 1 2 4 3 3 8 4 1 1 9 12 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。
(1)交换矩阵的两列；
(2)以数k0乘矩阵的某一列；
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（2）行简化阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵
①每个非零行的首元为1 ②首元所在的“列”除首元以外，其余元素均为零。
1 0 5 0
例A 定理2：
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0
1 0
任何一个矩阵A
为行简化阶梯形矩阵
一系列初 等行变换
阶梯形矩阵B
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
—r2——r4
1 5 1 1 1 9 3 7 3 8 1 1 1 2 1 3
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。