中考数学大复习第二编中档专项训练篇中档题型训练圆的有关计算、证明与探究试题

中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明与探究

圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．

与圆的有关性质

【例1】(2016黔西南模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥PD；

(2)若BC ＝3，sin P ＝3

5

，求⊙O 的直径．

【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．

【学生解答】解：(1)∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB ∥PD ；(2)连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴

∠ACB ＝90°.又∵CD⊥AB，∴BD ︵＝BC ︵.∴∠P ＝∠CAB.∴sin ∠CAB ＝sin P ＝35，即BC AB ＝3

5

.又∵BC＝3，∴AB ＝5.∴⊙O

的直径为5.

1．(2016遵义六中一模)如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵

的中点． (1)求证：AB 平分∠OAC；

(2)延长OA 至P 使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．

解：(1)连接OC ，∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵

的中点，∴∠AOC ＝∠BOC＝60°.∵OA ＝OC ，∴△ACO 是等边三角

形，∴OA ＝AC.同理OB ＝BC.∴OA＝AC ＝BC ＝OB.∴四边形AOBC 是菱形．∴AB 平分∠OAC；(2)∵C 为AB ︵

中点，∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△OAC 是等边三角形．∴OA＝AC ，∵OA ＝AP ，∴AP ＝AC.∴∠APC＝30°.∴△OPC 是直角三角形，PC ＝3OC ＝ 3.

圆的切线的性质与判定

【例2】(2016遵义二中一模)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD ＝CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E.

(1)求证：CD 为⊙O 的切线；

(2)若BD 的弦心距OF ＝1，∠ABD ＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)

【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt △OBF 中，∠ABD ＝30°，OF ＝1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD ，即可求解．

【学生解答】解：(1)连接OD ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°.∵CD ＝CB ，∴∠CBD ＝∠CDB.∵OB＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即

OD⊥CD.∵点D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线；(2)在Rt △OBF 中，∵∠ABD ＝30°，OF ＝1，∴∠BOF ＝60°，OB ＝2，BF ＝ 3.∵OF ⊥BD ，∴BD ＝2BF ＝23，∠BOD ＝2∠BOF＝120°.

∴S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD ＝120π×22

360－12×23×1＝4

3π－ 3.

2．(2016南充中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心OC 为半径作半圆．

(1)求证：AB 为⊙O 的切线；

(2)如果tan ∠CAO ＝1

3

，求cos B 的值．

解：(1)如图，作OM⊥AB 于M ，∵OA 平分∠CAB ，OC ⊥AC ，OM ⊥AB ，∴OC ＝OM ，∴AB 是⊙O 的切线；(2)设BM

＝x ，OB ＝y ，则y 2－x 2＝1①，∵cos B ＝BM OB ＝BC AB ，∴x y ＝y ＋1x ＋3

，∴x 2＋3x ＝y 2

＋y②，由①②可以得到：y ＝3x －1，

∴(3x －1)2－x 2

＝1，∴x ＝34，y ＝54，∴cos B ＝x y ＝35

.

3．(2016常德中考)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且BD ＝BC ，延长AD 到E ，且有∠EBD＝∠CAB.

(1)求证：BE 是⊙O 的切线；

(2)若BC ＝3，AC ＝5，求圆的直径AD 及切线BE 的长．

解：(1)如图，连接OB ，∵BD ＝BC ，∴∠CAB ＝∠B AD ，∵∠EBD ＝∠CAB ，∴∠BAD ＝∠EBD，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，OA ＝BO ，∴∠BAD ＝∠ABO ，∴∠EBD ＝∠ABO ，∴∠OBE ＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线；(2)如图，设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，

∴∠ACD ＝90°，∵BC ＝BD ，∴OB ⊥CD ，∴OB ∥AC ，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝5

2，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，

∴∠BDE ＝∠ACB ，∵∠DBE ＝∠CAB，∴△DBE ∽△CAB ，∴

DB AC ＝DE BC ，∴35＝DE 3

，∴DE ＝3

5，∵∠OBE ＝∠OFD＝90°，∴DF ∥BE ，∴OF OB ＝OD OE ，∴5

2R ＝R

R ＋3

5，∵R>0，∴R ＝3，∵BE 是⊙O 的切线，∴BE ＝DE ×AE ＝

35×⎝ ⎛

⎭⎪⎫2×3＋35＝3115

.

4．(2016遵义航中二模)如图，点O 为Rt △ABC 斜边AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD.

(1)求证：AD 平分∠BAC；

(2)若∠BAC＝60°，OA ＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)