数字信号处理2 Z变换

难点：分式拆分，收敛域拆分
14
正、逆Z变换：逆变换


方法一：展开法（查表） 原理：Z变换的线性
原序列 Z变换 收敛域
x1 ( n )
X1(z)
| z | Rx1
x2 ( n ) X 2 (z) | z | Rx 2 ax1 ( n ) bx2 (n ) aX 1 ( z ) bX 2 ( z ) | z | R x 1 R x 2
M

留数：z0为X(z)zn-1的s重极点
s 1 1 d Re s[X ( z ) z n -1 , z 0 ]= { s 1 [( z z 0 ) s X ( z ) z n 1 ]}z z0 ( s 1)! dz
22
Re s[X ( z ) z n -1 , z 0 ]=[( z z 0 ) s X ( z ) z n 1 ] z z0 , s 1
2 z 2 z 2 2 z 3 2 z 4 ... z 1 1 2 2 2z 2z 2z 2z2 2z2 2z 2 2z3 2z3
X1(z)
X2(z)

4.合并：
X 1 ( z ) 2 z 2 z 2 2 z 3 2 z 4 ... X 2 ( z ) 1 0.5 z 1 0.25 z 2 16 z 3 ...
序列分解 求子列收敛域 求子收敛域交集 X(z)收敛域以极点为边界，收敛域内没有极点

收敛域与极点

4
正、逆Z变换：收敛域

不同类型序列Z变换的收敛域
x(n)类型 x(n)定义域 n [ n1 , n 2 ] X(z)收敛域 X(z)极点
有限长
n1 0, n 2 n1 > - , n 2 0 n1 >- , n 2 n1 >- , n 2 = n1 0, n 2 = n1 =- , n 2 + n1 =- , n 2 0 n1 =- , n 2 =
1 1 n 1 n 1 反： x ( n ) X ( z (,R ,)R x ) 反： x ( n ) X ( z ) ) zdz ,dz c ,c (R Rxx x c 2 2 j jc
正： X (e j ) 1 反： x ( n ) 2

难点：分式拆分，收敛域拆分
15
正、逆Z变换：逆变换

展开法例题(P57 例3.2.3)
1 X (z) , | z | 1 1 1 (1 z )(1 0.5 z )

1.分式拆分：


分式的极点 按极点展开 求待定系数
z1=1
X (z)
z2=0.5
A1 A2 (1 z 1 ) (1 0.5 z 1 )
10
收敛域的形状

定义：满足


n
n 1 2 x ( n) z的 |z| 的取值范围
收敛域为什么以圆为界？ 收敛域由什么决定？
... x(2) z 2 x(1) z1 x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2 ...

收敛域与“绝对可和条件”的关系
n x1 x2 x
… … … …
-3 -2 0 -2
-2 -2 0 -2
-1 -2 0 -2
0 0
1 0
2 0
3 0
… … … …
-1 -0.5 -0.25 -0.125 -1 -0.5 -0.25 -0.125
正、逆Z变换：逆变换

方法三：留数法（逆变公式） ！ 原理：“柯西留数定理”求解围线积分

直接用公式计算？
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正、逆Z变换：逆变换


方法一：展开法（查表） 原理：Z变换的叠加性
X (z) 1 , z 2 1 1 2z 1 1 X (z) , z 2 1 1 1 2z 1 z
2nu(n) 2nu(n)+1nu(n) 2nu(n)+1nu(n)
2z 2 - 3z X ( z) 2 , z 2 z 3z 2

A1 [
A2 [
A1 A2 1 ](1 0.5 z ) |z=0.5 -1 1 1 (1 z ) (1 0.5 z )
A1 A2 1 ](1 z ) | z 1 2 1 1 (1 z ) (1 0.5 z )
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得到
X ( z)
2 1 + (1 z 1 ) (1 0.5 z 1 )
| X (e ) || x (n)e
j n jn
|

n n
| x (n ) || e

j n
|
n n
| x (n ) |

| X (z) || x (n )z |
n
n
| x (n ) || z |


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3 收敛域在哪个平面：Z平面/复数平面 (z是个 收敛域形状有哪些：全平面，圆内，圆外，圆环 4 对应于什么序列：有限长，左边，右边，双边 5 a<|z|<bn)
正、逆Z变换：逆变换

定义和对比

n n
n 正： X (z ),z n , Rx R x z R x 正： X( z) ) x (nx )( zn z x R
x n
a z
….
n1 n2
Re(z)
Im(z)
x n
a z
….
n1
7
Re(z)
n2
正、逆Z变换：收敛域（左边）
x n
Im(z)
….
n1 n2
0 z b
Re(z)
Im(z)
x n
0 z b
….
n1
8
Re(z)
n2
正、逆Z变换：收敛域（双边）
x n
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3.长除：
1 0.5 z 1 0.25 z 2 0.125 z 3... 1 0.5 z 1 1 1 0.5 z 1 0.5 z 1 0.5 z 1 0.25 z 2 0.25 z 2 0.25 z 2 0.125 z 3 0.125 z 3
n
3


x ( n ) z n 成立，|z|的范围
正、逆Z变换：收敛域

X(z)与x(n)的对应关系 P50 例3.1.1
时域 x1(n)=an, n>=0 x2(n)=-an, n<0 X(z)=z/(z-a) z域 |z|>|a| |z|<|a|

收敛域求法[*]


2.子序列形状：x1(n)左边序列，x2(n)右边序列
X 1 ( z ) x ( n1 ) z n1 x ( n1 1) z ( n1 1) x ( n1 2) z ( n1 2 ) ... x ( ) z X 2 ( z ) x ( n2 ) z n2 x ( n2 1) z ( n2 1) x ( n2 2) z ( n2 2 ) ... x ( ) z
Z变换的性质

11个性质:8+3

线性，移位，尺度，折叠，乘n，共轭，初值，终值， 卷积，相乘，帕塞法尔 表达： Z函数改变 Z变换 序列改变 收敛域改变 X(z) z-m X(z)
例：移位 x(n)

x(n-m)

Rx P67 性质表
23
Rx
Z变换的性质：基本性质
性质 x(n) y(n) h(n) X(z) Y(z) H(z) Rx, Ry, Rh


X1 ( z ) Z1[ x(n)] x(n) z n
n 0

z是复数,X(z)是复变函数
X ( z ) X ( re )
jw z re jw n


x ( n ) r n e jnw
r 1

2
F变换属于双边Z变换
X ( z ) X ( e jw )
代入公式
n n x ( n ) z n | x ( n ) z |
X ( z)
等比求和
x(n)
Rx z Rx
n
1 X (z) , z 2 1 1 2z
？ 2nu(n)
X ( z ) 1 2 z 1 4 z 2 8 z 3 ...
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正、逆Z变换：逆变换

长除法例题 1.拆分：
1 X (z) , 0.5 | z | 1 1 1 (1 z )(1 0.5 z )

2 X1 ( z) , | z | 1 1 (1 z ) 1 X 2 ( z) , | z | 0.5 1 (1 0.5 z )

两个子序列都是右边序列

3. 查表
x1 (n) 2(1) n u (n)
x2 (n) 1(0.5) n u (n)
x(n) 2u (n) (0.5) n u (n) [2 (0.5) n ]u (n)
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正、逆Z变换：逆变换


方法二：长除法（正变公式） 原理：Z变换的逆过程，把X(z)拆成z的多项式， 多项式的系数就是x(n)
z (0, ] z [0, ) z (0, ) z ( Rx , ） z ( Rx , ] z (0, R x ) z [0, R x ) z ( Rx , Rx )
0
+∞ 0， +∞ Rx-， +∞ Rx0, Rx+
正、逆Z变换：存在条件

变换存在&绝对可和

Z变换存在,即复变函数幅值有限(定义)
X (z)

存在条件放宽(充要条件)
X (z)
n


x(n) z
n

n


x(n) z
n

n


x(n) z n

收敛域:

z r Rx
已知x(n), 使
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n
jn x ( n ) e ,

e j 1



X (e j )e jn d
正、逆Z变换：逆变换

原理：围线积分
1 x(n) 2 j


c
X ( z ) z n 1 dz , c ( R x , R x )

积分限：复数平面内一条 闭合曲线 定积分：实数轴上一区间
正、逆Z变换：逆变换

展开法例题(P57 例3.2.3)
1 X (z) , | z | 1 1 1 (1 z )(1 0.5 z )

2.收敛域拆分：

收敛域与极点的关系
2 , | z | 1 1 (1 z ) 1 X 2 ( z) , | z | 0.5 1 (1 0.5z ) X1 ( z)
右边 因果 左边
逆因果
双边
Rx+
Rx-， Rx+
5
正、逆Z变换：收敛域（有限长）
x n x n x n
n1
0
n2
n1
n2
n1
n2
0 z
Im(z)
0 z
Im(z)
0 z
Im(z)
Re(z)
Re(z)
Re(z)
6
正、逆Z变换：收敛域（右边）
Im(z)
第三章，频域分析：Z变换
1. 2. 3. 4. 正、逆Z变换 Z变换的性质 Z变换和（L变换/F变换)的关系 基于Z变换的系统分析
重难点： Z逆变换，变换间关系，系统分析
1
正、逆Z变换：单、双边Z变换

定义: 两种Z变换

双边Z变换
单边Z变换
X ( z ) Z[ x(n)]
n
n x ( n ) z
Im(z)
a z b
….
n1
0
x n
….
n2
Re(z)
Im(z)
a z b, a b
….
n1
0
….
n2
Re(z)
9
第五次 @ 5.20

回顾：


单、双边Z变换公式 Z变换的收敛域


定义（对比DTFT变换的“绝对可和”条件） 不同序列的收敛域

本次：

Z逆变换 Z变换性质
N 1 n 1 n -1 x(n) X ( z ) z dz Re s[ X ( z ) z , ak ], ak c 2 j c k 1
Re s[X ( z ) z n -1 , bk ] Re s[X (z )z n -1 , ], bk c
k 1