数学分析第十九章

第十九章 含参量积分

1. 若f(x,y)在矩形域R =[a ,b]×[c,d]上 ，则⎰⎰⎰⎰=d c b

a b

a d c dx y x f dy dy y x f dx ),(),(。 2. 含参量反常积分dy xy

x ⎰+∞+021cos 在 上一致收敛。

3. 设f(x,y)在[a ,b]×[c,+∞]上连续，若含参量反常积分I （x ）=dy y x f c ⎰

+∞),(在

[a ,b]上 ，则I （x ）在[a ,b]上连续。

4. =+Γ)1(n 。

5. 对于任何正实数p,q,Γ函数与B 函数之间的关系为B （p,q ）= 。

6. =+⎰-→dx y x y 112

20lim 。 一、 证明题。

7. 证明含参量反常积分dx x e y ⎰+∞

-12

在),[+∞a 一致收敛（a 〉0）； 8. )0(,)1(ln )(110>=Γ-⎰a dx x

a a

二、 计算题。 9. )2

1(n +Γ； 10. )25(-Γ 答案

一、 填空题。

1. 连续；

2. R ；

3. 一致连续；

4. n!；

5. B （p,q ）=

)()()(q p q p +ΓΓΓ（p>0，q ﹥0）；6. 1； 二、 证明题。

7. 证明：),[+∞∈∀a y ，e e e

x x x a y y 2221--≤=； ⎰+∞-12dx x e a 收敛，由优函数判别法知：dx x e y ⎰+∞-12

在),[+∞a 一致收敛。

8. 证明：令e t x t x -=⇒=1ln ，dt dx e t --=，010∞t x ，

⎰⎰∞--=01110)1(ln t a a dx x

·（-e t -）=dt ⎰∞-01t a ·)(a dt e t Γ=- 三、 计算题。

9. 解：π4

3)21(2123)121(23)23(23)123()25(=Γ⨯=+Γ=Γ=+Γ=Γ 10．解：

ππ222

!)!12(13)52)(32)(12()21(13)52)(32)(12()212()212()25)(23)(21()2

5()25)(23)(21(]1)25[()23)(21()23()23)(21(]1)23[()21()21()21(121)21(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=⨯---=

Γ⨯---=--Γ-----==-Γ---=+-Γ--=-Γ--=+-Γ-=-Γ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-Γ=+Γ