二阶电路的零输入响应

§5.6 二阶电路的零输入响应

5.6.1 二阶电路的初始条件

初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。

第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压C u 的极性和流过电感电流L i 的方向；

第二，电容上的电压总是连续的，即

)0()0(-+=C C u u （5-31） 流过电感的电流也总是连续的，即

)0()0(-+=L L i u （5-32） 确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。

5.6.2 R L C 串联电路的零输入响应

如图5-37所示为RLC 串联电路。开关S 闭合前，电容已经充电，且电容的电压0U u C =，电感中储存有电场能，且初始电流为0I 当0=t 时，开关S 闭合，电容将通过L R 放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R 转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。

+-

L u C

图5-37 RLC 串联电路的零输入响应

由图5-37所示参考方向，据KVL 可得

0=++-L R C u u u

且有dt du C i C C -=，dt du RC Ri u C

R ==，dt u d LC dt di L u C L 2-==。将其代入上式得 02

2=++C C

C u dt

du RC dt u d LC 式（5-33）是RLC 串联电路放电过程以C u 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。

如果以电流i 作为变量，则RLC 串联电路的微分方程为

02

2

=++i dt

di

RC

dt i

LC d

（5-34） 在此，仅以C u 为变量进行分析，令Ae

u pt

C =

，并代入（5-33），得到其对应的特征方程

012

=++RCp LCp 求解上式，得到特征根为

LC

L R L R P LC L R L R P 1221222

22

1

-⎪⎭⎫ ⎝⎛--

=-⎪⎭⎫

⎝⎛+-= （5-35）

因此，电容电压C u 用两特征根表示如下：

t p t

p C e A e

A u 2121+= （5-36）

从式（5-35）可以看出，特征根1p 、2p 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。1p 、2p 又称为固有频率，单位为奈培①

每秒）

（s N P /，它与电路的自然响应函数有关。 根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为000U u u C C ==-+）（）（，0)0()0(I i i ==-+，又因为dt du C

i C

C -=，所以有C

I dt du C C 0-=。将初始条件和式（5-36）联立可得

⎪

⎭

⎪⎬⎫

-=+=+C I p A p A U A A 022110

21 （5-37）

首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即00≠U 且00=I 。有

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=-=120

121

2021p p U p A p p U p A （5-38）

①

奈培是一个无量纲单位，以奈培（John Napier,英格兰数学家）的名字命名。

将1A 、2A 的表达式代入（5-36）式即可得到RLC 串联电路的零输入响应，但特征根1p 、

2p 与电路的参数R 、L 、C 有关，根据二次方程根的判别式可知1p 、2p 只有三种可能情况，

下面对这三种情况分别讨论

1.C

L

R 2

>，过阻尼情况 在此情况下，1p 、2p 为两个不相等的实数，电容电压可表示为 ()

t p t p C e p e p p p U u 21121

20

--=

（5-39）

根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为 ()

t p t

p C e e p p p p CU dt du C

i 211

2210---=-= )()

(21120

t p t p e e p p L U ---

= （5-40）

()

t p t p L e p e p p p U dt di L

u 21211

20

---== （5-41） 其中利用了LC

p p 1

21=

的关系。 由于21p p >，因此0>t 时，e e

t p t

p 21>-，且

01

21

122>->-p p p p p p 。所以0>t 时C

u 一直为正。从（5-40）可以看出，当0>t 时，i 也一直为正，但是进一步分析可知，当0=t 时，0)0(=+i ，当∞→t 时，0)(=∞i ，这表明)(t i 将出现极值，可以求一阶导数得到，即

02121=-t p t

p e p e

p

故 1

212max ln 1p p

p p t -=

其中max t 为电流达到最大的时刻。C u 、i 、L u 的波形如图5-38所示。