高考题立体几何 点线面位置关系

专题立体几何

高考考试大纲说明的具体要求：

①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

（2）点、直线、平面之间的位置关系

①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.

理解以下判定定理：

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明：

◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行.

◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

一、基础知识梳理：

1、三个公理和三条推论：

㈠公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。

㈡公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。

这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。

㈢公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。

推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理3和三个推论是确定平面的依据。

2、线线位置关系：平行、相交、异面

㈠两直线平行的判定：

隐含的线线平行关系：题目中涉及中点时，利用中位线的性质，利用平行四边形的对边平行；线段成比例，两直线平行；找线线平行。

（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；即

//////a c a b b c ⎫

⇒⎬⎭

（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和

这个平面相交的交线和这条直线平行；即////a a a b b αβαβ⎫

⎪

⊂⇒⎬⎪=⎭

I

（3）面面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；

即////a a a b b αβγαγ⎫

⎪

=⇒⎬⎪=⎭

I I （4）线面垂直的性质定理：

如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。即

//a a b b αα⊥⎫

⇒⎬⊥⎭

㈡两直线垂直的判定：

隐含的线线垂直关系：等腰三角形底边上的高（中线或角平分线）；矩形的内角；直径所对的圆周角；菱形的对角线；直角三角形（或给出线段的长度满足勾股定理）

（1）异面直线成角定义即//,

a b b c a c ⊥⇒⊥

（2）转化为证线面垂直,用线面垂直定义即

a a

b b αα⊥⎫

⇒⊥⎬⊂⎭

； （3）三垂线定理及逆定理。

定理：在平面β内的一条直线a ，如果它和这个平面β的一条斜线PB 的射影AB 垂直，那么它也和这条斜线PB 垂直。

PA a a PB a AB ββ⊥⎫

⎪

⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎭

（简称线射⊥，线斜⊥） 逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。（简称线斜⊥，线射⊥）。

a

α

β

b

a

b

α

a

b

α

A P

B

a

β

α

βb γ

a

其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。

㈢两异面直线及所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线,叫做异面直线, (1)异面直线所成的角的定义：已知异面直线a ,b ,过空间任一点O 分别引两异面直线的平行线,a a b b ''∥∥，则此两相交直线a '与b '所成的锐角(或直角)叫做两异面直线所成的角，其范围为⎥⎦

⎤

⎝

⎛∈2,

0πθ；

（2）设直线AB 与CD 所成的角为()090θθ≤≤o

o

，则cos cos ,AB CD θ=u u u r u u u r

1.【2015高考新课标1，理18】如图，

四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=o

，E ，F

是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，

DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥。 （1）证明：平面AEC ⊥平面AFC

（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值

1.连接BD ，设BD AC G =I ,连接,,EG FG EF ,

在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由120ABC ∠=o

,可得AG GC ==. 由BE ⊥平面ABCD ,AB BC =可知，AE EC =,

又AE EC ⊥Q ,EG ∴=EG AC ⊥.

在Rt EBG ∆中，可得BE =

,故2DF =

.在Rt FDG ∆中，可得2

FG =. 在直角梯形BDFE 中，由2,BD BE DF ===可得EF =从而222

EG FG EF +=，∴EG FG ⊥， ∵AC FG G =I ，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC . ……6分

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以 ,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r

为单位

长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得(

)0,A ，

(E ，F ⎛

- ⎝

⎭

，()C ，∴(AE =u u u r ，1,CF ⎛=- ⎝

u u u r 故cos ,3||||

AE CF AE CF AE CF ⋅<>==-u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r .

所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为3

.

A

C

F

E

D

B