爆炸力学基础(安徽理工大学王猛)课后作业答案

ka2z
a1
a2
i a1x
j a1 y
ka1z
i a2x
ja2y
ka2z
i (a1x a2x ) j (a1y a2 y ) k (a1z a2z )
diva ax a y az x y z
div(a1
a2 )
(a1x x
a2x
)
(a1y y
a2y
作业4
证明：若 a 是位势场（ a grad ），则
必为无旋场；反之亦然。
设 a grad
rot rotgrad 0
反之，设rota 0 ，由stokes公式有
其中
L
a
dr
Srota
dS
0
L 是任意边界，于是矢量
a
沿任意封
闭回线 L 的线积分为0 。
则必为位势场（某一标量函数的梯度场）。
)
(a1z z
a2z
)
a1x a1y a1z a2x a2 y a2z
x y z x y z
diva1
diva2
作业3
diva 0的场称为无源场。证明无源矢量
a 经过矢量管任一横截面上的通量保持同
一数值。
任取此矢量管的两横截面 和 1 ，考虑由
横截面 ，1 和 ，1与矢量管侧面 ' 所
1 2
F x1
s11 x1
s12 x2
s13 x3
1 2
F x1
s21 x1 s22 x2
s23 x3
1 2
F x1
s31 x1
s32 x2
s33 x3
1 ( F F F ) 1 gradF 2 x1 x2 x3 2
S r sij xi
s11x1 s12 x2 s13 x3 s21x1 s22 x2 s23 x3 s31x1 s32 x2 s33 x3
A
ai
b
j
(1 2
ai b j
1 2
a jbi )
(1 2
ai b j
1 2
a jbi )
a1b1
1 2
(a2b1
a1b2
)
1 2
(a3b1
a1b3 )
1 2
(a1b2
a2b1 )
a2b2
1 2
(a3b2
a2b3 )
1 2
(a1b3
a3b1 )
1 2
(a2b3
a3b2 )
a3b3
0
1 2
(a2b1
u
v
w
divv
x y z
作业12
设平面纯剪切运动的速度分布为
u ay, v w 0
试求：
1、rotv，
及旋转速度
v2
和变形速度
v3
2、主值及主轴方向，变形张量的标准形式。
i jk rotv x y z
u vw i jk x y z
组 由 矢成高量的斯场封公无闭式源曲 ，S面 故anSddS，iv以aVVdi0表va示d，VS内S an的dS体积0 .
andS ' andS 1 andS 0
在矢量管侧面 '上，an 0
' andS 0
andS 1 andS
无源矢量经过矢量管任一横截面上的通量 保持同一数值。
2
00
00
ab ab 0 22
J3
ab 2
ab 2
0 0
0 00
0
a b ab
2
两个应力张量表示同一应力状态。
作业11
用解析的方法求证 divv 1 d V V dt
V xyz
1 d V 1 d (xyz) V dt xyz dt
1 d x 1 d y 1 d z x dt y dt z dt
作业7
设 其椭矢球径面为中心，为r则O点，P为椭球面上任一点， S r 1 gradF
2
根据
F sij xi x j 1 s11x1x1 s12 x1x2 s13 x1x3 s21x2 x1 s22 x2 x2 s23 x2 x3 s31x3 x1 s32 x3 x2 s33 x3 x3
1 2
(a1b3
a3b1 )
1 2
(a2b3
a3b2 )
0
1
1 2
(a
3
b2
a2b3 )
2
1 2
(a1b3
a3b1 )
3
1 2
(a
2 b1
a1b2 )
1
b
a
2
作业9
计算并矢张量 ab 的不变量。
I1 a1b1 a2b2 a3b3 I2 0 I3 0
作业10
试判断以下两个应力张量是否表示同一应 力状态？
x d , y d , z d
x r dr y r dr z r dr
grad
i
j
k
x y z
i x jy kz d
'(r) rr
dr
r
作业2
证明：
div(a1
a2
)
diva1
diva2
解答：
a1
i a1x
ja1y
ka1z
a2
i a2x
ja2 y
a1b2
)
1 2
(a3b1
a1b3 )
1 2
(a1b2
a2b1 )
0
1 2
(a3b2
a2b3 )
1 2
(a1b3
a3b1 )
1 2
(a2b3
a3b2
)
0
0
A
3
3 2
0
1
2 1 0
0
1 2
(a2b1
a1b2
)
1 2
(a3b1
a1b3
)
1 2
(a1b2
a2b1 )
0
1 2
(a3b2
a2b3 )
a 0 0
1 ij
0
b
0
0 0 0
ab
2
ab 2
0
2 ij
a
2
b
ab 2
0
0
0 0
对于
源自文库1 ij
I1 a b0 a b
I2
a 0
0b
b0
00
00
0
a
ab
a00
I 3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1
a
2
b
a
2
b
0
a
b
ab
J2
2 ab
2
ab ab
2 ab
2 0
作业5
将 V (v )adV 和 V dV 转化为面积分
V (v )adV S (v n)adS
V dV S n dS S ndS
作业6
写出并矢 ab 的分量形式。
解答 ab aibj
a1b1 a2b1
a3b1
a1b2 a2b2 a3b2
a1b3
a2
b3
a3b3
故
S r 1 gradF
2
得证
结果说明 S r 的方向恰与张量椭球面在P点的
法线方向一致。
作业8
将并矢张量 ab 分解成对称部分和反对称部 分，求其反对称部分相当的矢量 。
ab aib j
a1b1 a2b1
a3b1
a1b2 a2b2 a3b2
a1b3
a2
b3
a3b3
ab
S
作业答案
作业1
计算仅与矢径 r有关的标量函数 (r) 的梯度 grad 。
解答：
grad
i
j
k
x y z
dr
dxi
dyj
dzk
r , r , r
x r x y r y z r z
r x2 y2 z2
r x , r y , r z x r y r z r