正交试验结果的统计分析方法.

（3）统计量 为构造统计量，先求出Qe、U1的期望值：
E (Qe ) E[ ( xij xi ) ] E[ ( xij xi ) 2 ]
第二章 实验结果的 统计分析方法 ——方差分析法
2017/10/21
方差分析
所要解决的问题： 各影响因素对结果影响程度的相对大小； 各影响因素间是否存在相互作用； 实验条件如何优化。
通常称多次实验结果之间的差异为变差，变差一般用偏差平 方和表示。各因素形成的偏差平方和恰好等于总偏差平方和， 即偏差平方和具有加和性，这是建立方差分析的基础。
表明自由度具有加和性
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第四章 方差分析
（2）方差
令 s 2、se2和s12 分别为总方差、组内方差和组间方差，则有： Q Q s2 f n 1
Qe Qe s fe n m
2 e
U1 U1 s f1 m 1
2 1
表明，不论各总体平均值µ 1，µ 2， 2 …µ 为 σ2 i，…，µ m是否相等， se 的无偏估计量
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第四章 方差分析
本章内容：
2.1 概述
2.2 单因素方差分析 2.3 无重复两因素方差分析
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第四章 方差分析
2.1 概述
2.1.1 基本概念 （1）因素：表示对结果产生影响的各种条件、方式、方法等，如温度、 时间、酸度等。 （2）水平：一种因素的各种不同取值状态，如温度、压力等的不同取值。 （3）指标：结果的标志，可体现为收率、产量等。 （ 4 ）偶然误差：因未能控制的“偶然因素”所引起的误差叫“实验误 差”，即随机误差。 （5）系统误差：由于实验因素的变异引起实验结果的数量差异，也称为 “条件误差”。
设 xi为从第i个总体抽取的样本平均值（组平均值）， x 为 总平均值，n为从m个总体中抽取的样本总容量，则：
1 xi ni
x
j 1
ni
ij
1 m ni 1 m x xij ni xi n i 1 j 1 n i 1
n ni
i 1 m
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第四章 方差分析
i 1 j 1
m
ni
则：Q=Qe+U1
单因素方差分析的基本关系式，说明偏差平方和具有加和性，即总 偏差平方和可以分解为具有不同来源的若干项。
Qe为组内偏差平方和：表示各水平下多次实验结果间的差异 。由于因素影响完全相同，所以为随机波动所致，属于随机 误差。 U1为组间偏差平方和：反映各样本平均值间的差异，即在因 素不同的水平下实验结果相互间的差异，它说明了因素的不 同水平对结果的影响。
2.1.2 方法
把全部数据关于总体平均值的方差分解成几个部分，每一部分表示 方差的一种来源，将各种来源的方差进行比较，判断实验各有关因素对 实验结果的影响大小。
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第四章 方差分析
【例2－1】考察催化剂对收率的影响，分别用5种催化剂独立进行实验， 每种催化剂测试4次，得收率如下表： 催化剂 1 2 3 4 5
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第四章 方差分析
2.2.3 方差分析统计量
（1）自由度 令f、fe及 f1分别为总自由度、组内（随即误差）自由度和组间 自由度，则：
f ni 1 n 1
i 1
m
m
f e (ni 1) n m
i 1
f f e f1
f1 m 1
＝ ( xij xi ) ( xi x) 2 ( xij xi )(xi x)
2 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
m
m
m
ni
式中最后一项为协方差，由于： ni xi xij
j 1
ni
(x
i＝1 j 1
m
ni
ij
xi )(xi x )
(x
i＝1 m
m
i
x ) ( xij x )
j 1
ni
所以
(x
i＝1
i
x )( xij ni xi ) 0
j 1
ni
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令： Q m ( x x ) 2 ij i e
i 1 j 1
ni
U1 ( xi x) 2
ห้องสมุดไป่ตู้
偶然误差：每种催化剂下所得结果的标准差s
系统误差：各催化剂下所得平均值的差异
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第四章 方差分析
2.2 单因素方差分析
研究单一因素对试验结果的影响。此时，方差分析的目 的是考察一个因素的m个水平对实验结果是否存在显著影响。 数学模型：xij=µ +ai+rij 式中，µ ：总体平均值； ai ： i 水平（ i=1,2,…,ni,ni 为水平重复数）对结果的影响， 即i水平下的系统误差； rij：随即误差（j=1,2,…,m,m为水重复平数）。
样本对照表
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2.2.2 偏差平方和 设Q为偏差平方和，即所有样本测定值与总体平均值之差的 平方和，则：
Q ( xij x) 2＝ [(xij xi ) ( xi x)]2
i 1 j 1 ni i 1 j 1 ni m ni m ni
该数学模型表示：
实验结果＝总体平均值＋因素作用＋随即误差
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第四章 方差分析
2.2.1 单因素方差分析基本公式 设有m 个相互独立的正态总体: 2 2 N (1 , 12 ), N ( 2 , 2 ),, N (i , i2 ),, N ( m , m )
2 2 i2 m 2 各个总体的方差相等： 12 2 现从总体中抽取容量为ni的随机样本： xi1, xi 2 ,, xij ,, xini (i 1,2,m; j 1,2,, ni )
0.86
0.89 收率/％ 0.91 0.90 平均值/％ 0.8900
0.80
0.83 0.88 0.84 0.8375
0.83
0.90 0.94 0.85 0.8800
0.76
0.81 0.84 0.82 0.8075
0.96
0.95 0.93 0.94 0.9450
因素：催化剂； 水平：5种 指标：收率