空间向量及其运算(习题)
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空间向量及其运算（习题）
➢ 例题示范
例1：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，若
1AE AA x AB y AD −−→
−−→
−−→
−−→
=++，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．11x y ==，
B ．1
12
x y ==，
C ．1122x y ==，
D ．1
12
x y ==，
思路分析：
1111111111()
2
1()
21122
AE AA A E
AA A B A D AA AB AD AA AB AD
−−→
−−
→−−→−−→−−→−−→
−−→−−→−−→=+=++=++=++ ∵1AE AA x AB y AD −−→−−→−−→−−→
=++， ∴11
22x y ，==，故选C ．
例2：如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AA 1=2，AD =1，且AB ，AD ，AA 1两两之间的夹角都是60°，则11AC BD −−→
−−→
⋅= ___________．
思路分析：
平行六面体中AB ，AD ，AA 1的长度和夹角都清楚，选取AB −−→
，AD −−→
，1AA −−→
作为一
组基底，表达1AC −−→和1BD −−→
，利用数量积的运算法则进行计算．
过程示范：
设AB −−→=a ，AD −−→=b ，1AA −−→
=c ，
则111AC AB BC CC AB AD AA −−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
=++=++=++a b c ，
11BD AB AD DD −−→
−−→
−−→
−−→
=-++=-++a b c ，
11AC BD −−→−−→
⋅=(a +b +c )⋅(-a +b +c )=-a 2+b 2+c 2+2b ⋅c =-4+1+4+2×1×2×
1
2
=3． 例3：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，C 1D 1的一个四等分
点，求BE 与DF 所成角的余弦值．
B 1
1
A 1
D B
A
E
A 1
B 1
C D
C B
A
如图，以1 DA DC DD ，，为单位正交基底建立空间直角坐标系D -xyz ，
则B (1，1，0)，E (1，34，1)，D (0，0，0)，F (0，1
4
，1)， ∴BE −−→
=(1，
34，1) - (1，1，0)=(0，1
4
-，1)， DF −−→
=(0，14，1) - (0，0，0)=(0，1
4，1)，
则4BE −−→
=
4
DF −−→
=， BE −−→
⋅DF −−→=0×0+(14-×14)+1×1=15
16
，
1515cos 17
BE DF BE DF BE DF
−−→−−→
−−→−−→−−→−−→<>===⋅，，
即BE 与DF 所成角的余弦值为15
17
．
➢ 巩固练习
1. 如图，在三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设
OA OB OC −−→
−−→
−−→
===a b c ，，，用a ，b ，c 表示MN −−→，则MN −−→
=（ ）
A ．
12(b +c -a ) B ．1
2(a +b -c ) C ．12(a -b +c ) D ．12
(c -a -b ) 2. 如图，在斜四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，各面均为平行四边形，设
1AA AB AD −−→
−−→
−−→
===，，a b c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，
b ，
c 表示以下向量：−−→
AP =__________，
1−−→
−−→
+MP NC =__________．
1
O
C
B
A N
M P C 1
D 1
A 1
3. 下列等式：
①OP OA AB AC −−→−−→−−→−−→
=--；
②111632OP OA OB OC −−→
−−
→−−→−−→=++；
③PA PB PC −−→−−→−−→
++=0； ④OP OA OB OC −−→
−−→
−−→
−−→
+++=0．
其中使P ，A ，B ，C 四点共面的是__________．（填写序号）
4. 已知向量a =(2，-3，1)，b =(2，0，3)，c =(0，0，2)，
则+-=a b c __________；()+=⋅a b c __________．
5. 已知向量a =(1，0，-1)，则下列向量与a 成60°夹角的是（ ）
A ．(-1，1，0)
B ．(1，-1，0)
C ．(0，-1，1)
D ．(-1，0，1)
6. 已知向量a =(2，-1，3)，b =(-4，2，x )，若a ⊥b ，则x 的值为__________．
7. 已知{a ，b ，c }是空间向量的一组基底，{a +b ，a -b ，c }是另一组基底，若向量
p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为___________________．
8. 如图，已知空间四边形ABCD 的每条边及对角线的长都为a ，E ，F ，G 分别是
AB ，AD ，CD 的中点，则
AB AC −−→
−−→
⋅=__________； AD DB −−→
−−→
⋅=__________； GF AC −−→
−−→
⋅=__________； EF BC −−→
−−→
⋅=__________；
D
G F
E A B