四川省成都市高一下学期期末数学试卷

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2021-2022学年四川省成都市双流区高一(下)期末数学试卷含答案

2021-2022学年四川省成都市双流区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设平面向量，点A（﹣1，2），则点B的坐标为（）A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（﹣4，8）D．（4，﹣8）2．（5分）不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．（5分）cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）等于（）A．cos（2α﹣β）B．cos（α﹣2β）C．cosβD．﹣cosβ4．（5分）若某圆锥的母线长3，底面周长为2π，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠D＝120°，则•＝（）A．6B．C．2D．6．（5分）若等比数列{a n}中a6＝，则该数列前11项的乘积为（）A．32B．C．16D．7．（5分）已知某多面体的三视图均是边长为正方形，若该多面体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．12πC．9πD．36π8．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，已知向量＝（a n+1，S n），＝（1，2），若a1＝2，且，则对于任意的n∈N*，下列结论正确的是（）A．a n+1＝﹣a n B．2a n+1＝3a n C．S n+1＝S n D．2S n+1＝3S n9．（5分）我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同．晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始．二十四节气及晷长变化如图2所示．已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为9.5尺，则二十四节气中晷长的最大值为（）A．14.5B．13.5C．12.5D．11.510．（5分）在底面为等边三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，AB＝2，AA1＝4，D是棱CC1的中点，M是四边形ABB1A1内的动点．若C1M∥平面ABD，则线段C1M长的最小值为（）A．B．2C．D．11．（5分）已知x＞0，y＞0，z＞0，且x+2y+3z＝2，则xy+（x+y+z）z的最大值为（）A．3B．C．D．12．（5分）设O为△ABC的外心，且满足，，则下列结论中正确的个数为：（）①；②；③∠A＝2∠C．A．3B．2C．1D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．）13．（5分）已知等差数列{a n}中，a1＝﹣2，a5﹣a2＝9，则该数列前6项的和为．14．（5分）测量某建筑AB的高时，可以选取与其底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图所示，现测得∠CBD＝45°，∠BDC＝60°，∠ACB＝30°，CD＝100m，则建筑物AB的高为m．15．（5分）已知3sin2α＝2tanα，则cos2α的值为．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BC，CC1的中点，G是棱AB上一点，且AG＝2GB．过G，E，F三点的平面截该正方体所得截面为边形（横线上填多边形的边数），该截面多边形的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．除第17题的满分为10分外，其余每个题的满分均为12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知，，求的值．18．（12分）已知向量，，与垂直．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求向量与夹角的余弦值．19．（12分）设函数f（x）＝（x﹣3）（x﹣a），a∈R．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜0；（Ⅱ）当x∈（3，+∞）时，不等式f（x）≥﹣9恒成立，求a的取值范围．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）在下列三个条件中任选一个作为已知，将序号填在横线上，求角A；①2a cos C＝2b﹣c；②；③．（注：若选多个条件分别解答，按第一个解答给分．）（Ⅱ）若△ABC的面积为，其内切圆的半径为，求a的值．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，等边三角形△PBC的重心为O，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，P A ＝2．E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点．（Ⅰ）求证：MO∥平面DEF；（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PBC．22．（12分）对于数列{c n}，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d，则{c n}叫做类等差数列，c1叫做类等差数列的首项，d叫做类等差数列的类公差．（Ⅰ）若类等差数列{c n}满足c n﹣c n﹣1＜d（n≥2，n∈N*），请类比等差数列的通项公式，写出数列{c n}的通项不等式（不必证明）；（Ⅱ）若数列{a n}中，a1＝，a n+1＝a n﹣2a n2．（i）判断数列是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；（ii）记数列{a n2}的前n项和为S n，证明：．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的．）1．B；2．D；3．C；4．A；5．A；6．B；7．C；8．D；9．B；10．D；11．C；12．A；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．）13．33；14．50；15．1，﹣．；16．五；；三、解答题（本大题共6小题，共70分．除第17题的满分为10分外，其余每个题的满分均为12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知，，求的值．【解答】解：因为，，所以cosα＝＝，则tanα＝，所以tan2α＝＝＝，所以tan（2）＝＝＝．18．（12分）已知向量，，与垂直．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求向量与夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为与垂直，所以（）•（）＝0，即+•﹣2＝0，又，，所以1+﹣2＝0，解得＝．（Ⅱ）•（）＝•﹣＝﹣＝﹣，|+|＝＝＝＝，设向量与夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．故向量与夹角的余弦值为﹣．19．（12分）设函数f（x）＝（x﹣3）（x﹣a），a∈R．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜0；（Ⅱ）当x∈（3，+∞）时，不等式f（x）≥﹣9恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）令f（x）＝（x﹣3）（x﹣a）＝0，得x1＝a，x2＝3，当a＜3时，f（x）＜0的解集为（a，3）；当a＝3时，f（x）＜0的解集为∅；当a＞3时，f（x）＜0的解集为（3，a）；（Ⅱ）由f（x）≥﹣9可得：x2﹣（a+3）x+3a+9≥0，即有x2﹣3x+9≥（x﹣3）a，所以有x2﹣3x+9≥（x﹣3）a在x∈（3，+∞）上恒成立，即（x﹣3）a≤x2﹣3x+9＝（x﹣3）2+3（x﹣3）+9在x∈（3，+∞）上恒成立，所以a≤（x﹣3）++3，又因为（x﹣3）++3≥2+3＝9，当且仅当x﹣3＝，即x＝6时，等号成立．所以a的范围为（﹣∞，9]．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）在下列三个条件中任选一个作为已知，将序号填在横线上①，求角A；①2a cos C＝2b﹣c；②；③．（注：若选多个条件分别解答，按第一个解答给分．）（Ⅱ）若△ABC的面积为，其内切圆的半径为，求a的值．【解答】解：（I）若选①：2a cos C＝2b﹣c，则由正弦定理，得2sin A cos C＝2sin（A+C）﹣sin C，即2sin C cos A﹣sin C＝0，∵sin C≠0，0＜A＜π，∴cos A＝，则A＝．若选②：，得sin B＝sin A cos C＝sin C sin A，∴sin（A+C）＝sin A cos C＝sin C sin A，∴cos A sin C＝sin C sin A，∴tan A＝，∵0＜A＜π，∴A＝．若选③：．∴sin A sin C＝sin C sin（﹣），∴2sin cos＝cos，∴sin＝，∴＝，∴A＝．（II），∴△ABC的面积为，其内切圆的半径为，∴（a+b+c）•＝8，a+b+c＝24，又cb sin A＝8，∴bc＝32，在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝（24﹣a）2﹣3×32，解得a＝10．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，等边三角形△PBC的重心为O，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，P A ＝2．E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点．（Ⅰ）求证：MO∥平面DEF；（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PBC．【解答】证明：（I）连接PE，则O在PE上，且＝2，M是AP的中点，D是线段AM的中点．∴＝2，∴＝＝2，∴OM∥DE，∵OM⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴MO∥平面DEF；（II）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴BC＝2，AE＝，∴PE＝，PO＝，在△PEA中，cos∠APE＝＝＝，在△POM中，由余弦定理可得OM2＝PM2+PO2﹣2PM•PO•cos∠APE＝3+﹣2×××＝，∴PM2＝3＝（）2+＝PO2+OM2，∴∠POM＝90°，∴OM⊥PE，∵AB＝AC＝2，E是BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE，又BC⊂平面PBC，∴平面P AE⊥平面PBC，∵平面P AE∩平面PBC＝PE，∴OM⊥平面PBC，∴DE⊥平面PBC，又∵DE⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面PBC．22．（12分）对于数列{c n}，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d，则{c n}叫做类等差数列，c1叫做类等差数列的首项，d叫做类等差数列的类公差．（Ⅰ）若类等差数列{c n}满足c n﹣c n﹣1＜d（n≥2，n∈N*），请类比等差数列的通项公式，写出数列{c n}的通项不等式（不必证明）；（Ⅱ）若数列{a n}中，a1＝，a n+1＝a n﹣2a n2．（i）判断数列是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；（ii）记数列{a n2}的前n项和为S n，证明：．【解答】解：（Ⅰ）．（Ⅱ）（i）数列是类等差数列．证明如下：∵，∴＝＝2（）＝，∴＝，∵，∴a n+1＜a n，∴{a n}是递减数列，（a n）max＝a1＝，∴1﹣2a n＞0，1﹣2a n﹣1＞0，∴a n+1＝a n（1﹣2a n）＝（1﹣2a n）（1﹣2a n﹣1）（1﹣2a n﹣2）•（1﹣2a1）a1＞0，∴0＜，∴＜0，∴{}递减，∴（）max＝＝6，（）min＝＝2，∴2＜≤6，∴数列是类等差数列．（ii）证明：∵，∴＝，∴S n＝＝＝，由（i）知{}是类等差数列，结合（i）中结论得：2n+3，且0＜，∴﹣＜﹣，∴＝，∴，∴．。

2023-2024学年四川省成都市成都高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年四川省成都市成都高一上册期末数学试题第I 卷（选择题，共60分）一.单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.已知{M xx A =∈∣且}x B ∉，若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则M =（）A.{}2,4 B.{}6,8 C.{}1,3,5 D.{}1,3,6,8【正确答案】C【分析】根据集合M 的定义求解即可【详解】因为集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，{M xx A =∈∣且}x B ∉，所以{}1,3,5M =，故选：C2.已知α为第三象限角，且25sin 5α=-，则cos α=（）A. B.55-C.D.5-【正确答案】B 【分析】利用同角三角函数的平方关系22sin cos 1αα+=，计算可得结果【详解】αQ为第三象限角，cos 0α∴<，22sin cos 1αα+= ，cos α∴===，故选：B.本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知a 为实数，使“[]3,4,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.4a ≥B.5a ≥ C.3a ≥ D.5a ≤【正确答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得a 的取值范围，然后确定其充分不必要条件.【详解】依题意，全称量词命题：[]3,4,0x x a ∀∈-≤为真命题，a x ≥在区间[]3,4上恒成立，所以4a ≥，所以使“[]3,4,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是“5a ≥”.故选：B4.当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图像为（）A. B.C. D.【正确答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.【详解】∵a >1，∴0<1a<1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选：C.本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.5.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x=【正确答案】B【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于A ，1xxy ee -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意；对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意；对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B.本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.6.已知函数()21log f x x x=-在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.()01，B.()12，C.()23， D.()34，【正确答案】B【分析】确定函数单调递增，计算()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()21log f x x x =-在()0,∞+上单调递增，()110f =-<，()1121022f =-=>，故函数的零点在区间()12，上.故选：B 7.设0.343log 5,lg 0.1,a b c -===，则（）A.c<a<bB.b<c<aC.a b c<< D.c b a<<【正确答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可判断.【详解】因为3x y =在R 上单调递增，且30x y =>恒成立，所以0.300331-<<=，即01a <<，因为4log y x =在()0,∞+上单调递增，所以44log 541log b =>=，因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以lg 0.1lg10c =<=，综上.c<a<b 故选：A8.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A.若a ＜b ，则11a b> B.若a ＞b ＞0，则11b ba a+<+C.若a ＞b ，则22ac bc >D.若22ac bc >，则a ＞b【正确答案】D【分析】举反例说明选项AC 错误；作差法说明选项B 错误；不等式性质说明选项D 正确.【详解】当0a b <<时，11a b<，选项A 错误；()1011b b a ba a a a +--=>++，所以11b b a a +>+，所以选项B 错误；0c =时，22ac bc =，所以选项C 错误；22ac bc >时，a b >，所以选项D 正确.故选：D二.多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9.已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A.函数()f x 为增函数B.函数()f x 为偶函数C.当4x ≥时，()2f x ≥D.当120x x >>时，1212()()0f x f x x x -<-【正确答案】AC【分析】设幂函数()f x 的解析式，代入点(9,3)，求得函数()f x 的解析式，根据幂函数的单调性可判断A 、C 项，根据函数()f x 的定义域可判断B 项，结合函数()f x 的解析式，利用单调递增可判断D 项.【详解】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．10.已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是（）A.5tan tan 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.sin cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.2222tan sin tan sin αααα=- D.442sin cos 2sin 1ααα-=-【正确答案】BCD【分析】利用诱导公式分析运算即可判断AB ，根据平方关系和商数关系分析计算即可判断CD.【详解】解：对于A ，55tan tan tan 666πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；对于B ，sin sin cos 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ，22222222sin 1cos tan sin sin sin cos cos αααααααα-==⋅22222221sin 1sin sin tan sin cos cos ααααααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()44222222sincos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=+-=-()222sin 1sin 2sin 1ααα=--=-，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()22f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是（）A .1a < B.若120x x ≠，则12112x x a+=C.()()13f f -= D.函数有()y fx =四个零点【正确答案】ABC【分析】根据零点和二次函数的相关知识对选项逐一判断即可．【详解】二次函数对应二次方程根的判别式2(2)4440,1a a a ∆=--=-><，故A 正确；韦达定理122x x +=，12x x a =，121212112x x x x x x a++==，故B 正确；对于C 选项，()1123f a a -=++=+，()3963f a a =-+=+，所以()()13f f -=，故C对于D 选项，当0a =时，由()0y f x ==得220x x -=，所以1230,2,2xx x ==-=故有三个零点，则D 选项错误．故选:：ABC12.设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（）A.4a b +≥ B.228a b +≤ C.111a b+≥ D.+≤【正确答案】AC【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，由基本不等式得4a b +≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，1,4a b ==时，4ab =，但22178a b +=>，B 选项错误.C 选项，由基本不等式得111a b +≥=，，当且仅当11,2a b a b ===时等号成立，C 选项正确.D 选项，1,4a b ==时，4ab =，但3=>D 选项错误.故选：AC第II 卷（选择题，共60分）三.填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数log (3)1a y x =-+（0,1a a >≠）的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为____.【正确答案】()4,1【分析】由log 10a =，令真数为1，即4x =代入求值，可得定点坐标．【详解】∵log 10a =，∴当4x =时，log 111a y =+=，∴函数的图像恒过定点()4,1故()4,114.已知角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，且tan x θ=．则sin θ的值为_________【正确答案】2【分析】根据三角函数定义即可求解．【详解】由于角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，所以1tan x xθ==，得1x =所以sin 2θ==故215.函数y =的定义域为_________.【正确答案】3{|1}4x x <≤【分析】根据根式、对数的性质有0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩求解集，即为函数的定义域.【详解】由函数解析式知：0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩，解得314x <≤，故答案为.3{|1}4x x <≤16.对于函数()xf x e =（e 是自然对数的底数），a ，b ∈R ，有同学经过一些思考后提出如下命题：①()()()f a f b f a b =⋅+；②()()()()af a bf b af b bf a +≥+；③3()12f a a ≥+；④()()22a b f a f b f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭.则上述命题中，正确的有______.【正确答案】①②④【分析】根据指数函数的单调性，结合基本不等式，特殊值代入，即可得到答案；【详解】对①，()()()a b a b f a f b e e e f a b +⋅=⋅==+，故①正确；对②，()()()()af a bf b af b bf a +≥+()()()()f a a b f b a b ⇔--，当a b =时，显然成立；当a b >时，()()f a f b >；当a b <时，()()f a f b <，综上可得：()()()()f a a b f b a b --成立，故②正确；对③，取12a =，1724f ⎛⎫= ⎪⎝⎭不成立，故③错误；对④，2()()222a b a be e a bf a f b ef ++++⎛⎫=⇒≤⎪⎝⎭，故④正确；故答案为：①②④本题考查指数函数的性质及基本不等式的应用，求解时还要注意特殊值法的运用.四.解答题：（本题共6小题，共70分17题10分，18-22题每小题12分.）17.（1）求值：()()()5242lg50.250.5lg5lg2lg20-+⨯+⨯+；（2）若tan 2α=，求22sin sin cos 1cos αααα++的值.【正确答案】（1）2.5；(2)1【分析】(1)应用指对数运算律计算即可;(2)根据正切值,弦化切计算可得.【详解】（1）()()()()()()524245lg50.250.5lg5lg2lg200.50.5lg5lg5lg2lg210.5lg5lg210.5112.5--+⨯+⨯+=⨯⨯+++=+++=++=+(2)因为tan 2α=,所以2222222sin sin cos sin sin cos tan tan 611cos sin 2cos tan 26αααααααααααα+++====+++18.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.19.已知函数()332x xf x --=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明；（3）若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，求x 的取值范围．【正确答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）单调递增，证明见解析；（3）(]1,0-.【分析】（1）根据证明函数的奇偶性步骤解决即可；（2）根据单调性定义法证明即可；【小问1详解】()332x xf x --=为奇函数，理由如下易知函数的定义域为(),-∞+∞，关于原点对称，因为33()()2---==-x xf x f x ，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】()f x 在()0,∞+上的单调递增，证明如下因为()332x xf x --=，()0,x ∈+∞，设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以()()()()121211221233333333222----------==-x x x x x x x x f x f x ()()121212121233133331333322⎛⎫-⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==x x x x x xx x x x 因为12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，所以1212330,330-<>x x x x ，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上的单调递增.【小问3详解】由（1）知()f x 为奇函数，由（2）知()f x 在()0,∞+上的单调递增，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，因为()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，所以(1)(2)(2)->--=-f ax f x f x ，所以12ax x ->-对任意(],2a ∈-∞恒成立，令()()10g a xa x =+->，(],2a ∈-∞则只需0(2)2(1)0x g x x ≤⎧⎨=+->⎩，解得10-<≤x ，所以x 的取值范围为(]1,0-.20.有一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10%衰减（1）求两年后，这种放射性元素的质量；（2）求t 年后，这种放射性元素的质量w （单位为：g ）与时间t 的函数表达式；（3）由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到0.1年，已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【正确答案】（1）405g（2）5000.9tw =⨯（3）6.6年.【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解.【小问1详解】经过一年后，这种放射性元素的质量为500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，即两年后，这种放射性元素的质量为405g【小问2详解】由于经过一年后，这种放射性元素的质量为1500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，……所以经过t 年后，这种放射性元素的质量5000.9t w =⨯.【小问3详解】由题可知5000.9250t ⨯=，即0.9lg 0.5lg 2log 0.5 6.6lg 0.92lg 31t -===≈-年.21.已知函数()()3312log ,log x x f x g x =-=．（1）求函数()()263y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦的零点；（2）讨论函数()()()2 h x g x f x k ⎡⎤=---⎣⎦在[]1,27上的零点个数．【正确答案】（1）9（2）答案见解析．【分析】（1）由题知()2332log 5log 20x x -+=，进而解方程即可得答案；（2）根据题意，将问题转化为函数()2 21F t t t =-+-在[]0,3上的图像与直线y k =的交点个数，进而数形结合求解即可.【小问1详解】解：由()()2 630f x g x ⎡⎤-+=⎣⎦，得()233 12log 6log 30x x --+=，化简为()2332log 5log 20x x -+=，解得3 log 2x =或31 log 2x =，所以，9x =或x =所以，()()2 63y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦的零点为9．【小问2详解】解：由题意得()()233 log 2log 1h x x x k =-+--，令()0h x =，得()233 log 2log 1x x k -+-=，令3log t x =，[]1,27x ∈，则[]2 0,3,21t t t k ∈-+-=，所以()h x 在[]1,27上的零点个数等于函数()221F t t t =-+-在[]0,3上的图像与直线y k =的交点个数．()2 21F t t t =-+-在[]0,3上的图像如图所示．所以，当0k >或4k <-时，()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =无交点，所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为0；当0k =或41k -≤<-时()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =有1个交点，所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为1；当10k -≤<时，()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =有2个交点，所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为2．综上，当0k >或4k <-时，()h x 在[]1,27上的零点个数为0；当0k =或41k -≤<-时，()h x 在[]1,27上的零点个数为1；当10k -≤<时，()h x 在[]1,27上的零点个数为2．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【正确答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m >，所以1m >且101m<<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，所以m 的取值范围是()1,2.已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。

四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)

四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A. B. C. D.2．设复数z 满足( )A. B. C. D.3．设,,A. B. C. D.4．已知( )5．平面与平面平行的充分条件可以是( )A.内有无穷多条直线都与平行B.直线,,且,C.直线,直线,且,D.内的任何一条直线都与平行6．如图,为直角三角形,,,C 为斜边的中点,P 为线段的中点,则( )7．若圆台侧面展开图扇环的圆心角为,其母线长为2,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,则该圆台的高为( ){}25A x x =∈-<<Z {}24B x x x =<A B = (0,4){1,2,3}{}1-(2,4)-(1i)3i z -=-=2i+2i-12i -12i+0.48a = 1.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭c =a c b <<a b c<<c b a <<c a b<<tan α=α=αβαβm ⊄m β⊄//m α//m βm α⊂n β⊂//m β//n ααβAOB △1OA =2OB =AB OC AP OP ⋅=12180︒A.8．已知函数,若方程有4个不同的根,,,,且,则的值为( )A.3B.0C.2D.6二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A.任意向量,与同向,则B.若向量,且,则A,B,C 三点共线C.若,则与的夹角是锐角,,则在上的投影向量为10．已知函数,满足,且,则( )A.的图象关于C.在上单调递减D.的图象关于点对称11．正方体的棱长为2,已知平面,则关于平面截正方体所得截面的判断正确的是( )A.截面形状可能为正三角形B.平面与平面ABCD 所成二面角的正弦值为C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为三、填空题12．已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数,当时,,则的值为____________．__________.41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x k =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<3412x x x x --a b ba b> PA PB PC λμ=+ 1(01)λμλ+=<<0a b ⋅>a b 6b 3,π4b = a b -()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()f x x 1φ2=-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 13π,012⎛⎫⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1AC α⊥αα()f x 01x <<()2xf x =72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=14．已知三棱锥底面是边长为3的等边三角形,且,当该三棱锥的体积取得最大值时,其外接球的表面积为____________．四、解答题15．已知向量,且．（1）求向量与的夹角．（2）若向量与互相垂直,求k 的值．16．已知函数的部分图象如下图所示．（1）求函数的解析式．（2）若将函数的图象,求不等式的解集．17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,已知．（1）求B ;（2）若．18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,E ,F 分别为,的中点,G 为线段上一动点,平面．（1）证明：平面平面;（2）当时,证明：平面;（3）若,四面体的体积等于四棱锥的S ABC -SA AB SB ==(1,1a =-()3a b b +⋅= a bka b + a kb -π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x (f x ()g x ()1g x >ABC △2cos 2b C a c =+b =sin A C =c +P ABCD -ABCD PB PC AC PD ⊥ABCD ⊥BDF A E G 3CG AG =//EG BDF 2AD PD =BGEF P ABCD -．19．对于三个实数a,b,k ,若（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”,并说明理由;（2）若,具有“性质k ”,求实数k 的最大值．()()()(22111a b k a b --≥--22x --x ≤≤x cos x参考答案1．答案：B解析：,,所以.故选：B.2．答案：C,.故选：C.3．答案：D解析：因为函数在R 上单调递增,所以,又因为函数在上单调递增,所以,所以.故选：D.4．答案：B解析：依题意,故选：B.5．答案：D解析：对于A,若内有无穷多条直线都与平行,则,平行或相交,故充分性不成立,故A 错误;对于B,如图,在正方体中,平面,平面,{}{}251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-Z {}{}2404B x x x x x =<=<<{1,2,3}A B = ()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+2x y =. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭lg y x =(0,)+∞1lg lg103c =<=c a b <<2222222211cos sin 1tan 2cos2cos sin 1cos sin 1tan 12ααααααααα---=-=====+++αβαβ1111ABCD A B C D -11//C D ABCD 11//C D 11ABB A而平面平面,故充分性不成立,故B 错误;对于C,如图,在正方体中,平面,平面,而平面平面,故充分性不成立,故C 错误;对于D,由面面平行的定义知能推出平面与平面平行,故充分性成立,故D 正确.故选：D.6．答案：B解析：因为,取中点Q ,连接,故选：B.7．答案：C解析：设圆台的上底面的圆心为H ,下底面的圆心为O ,设圆台的母线交于点S ,11ABB A ABCD AB =1111ABCD A B C D -11//A B ABCD //CD 11ABB A 11ABB A ABCD AB =αβ()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14BA ==AO PQ 144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221514164PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-=⎢⎥⎣⎦为圆台的母线,且,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,,所以,由圆台侧面展开图扇环的圆心角为,所以下底面圆的周长为,所以,所以,,在直角梯形中,易求得故选：C.8．答案：A解析：作出函数的图象如下由对称性可知,由图可知,所以,则,,,故选：A.9．答案：BD解析：对于A,向量不能比较大小,故A 错误,对于B,向量且时,由向量共线定理的推论,知A,B,C 三AB 2AB =HA OB ==2=4SB =180︒4π2π4πOB ⋅=2OB =1HA =HABO OH ==41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x +=-434log x =3401x x <<<43log 0x <444344log 0log log x x x ⇒-=>434log 0x x =341x x ∴=34121(2)3x x x x ---=-=PA PB PC λμ=+1(01)λμλ+=<<点共线,故B 正确,对于C,当,同向共线时,,此时夹角不是锐角,故C 错误,,故D 正确.故选：BD 10．答案：BD解析：因为函数函数,满足,所以的图象关于所以,所以,,因为,,即,所以,,所以则,由,可得,所以在上不单调,故C 错误;由,所以的图象关于点对称,故D 正确．故选：BD ．11．答案：ACD解析：如图,在正方体中,连接,,,,a b 0a b a b ⋅=⋅>3π4=-()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin(2)f x x ϕ=+x =πsin(2)3ϕ⨯+=±πk ϕ+=+∈Z ππ6k ϕ=-k ∈Z ()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()sin πsin 2πϕϕ+>+sin 0ϕ<2k n =n ∈Z sin ϕ=π()sin(26f x x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π11π(,)2666x ∈-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-()f x 13π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1A B 1A D BD AC因为平面,平面,则,因为四边形为正方形,则,又因为,,平面,所以,平面,因为平面,则,同理可证,因为,,平面,则平面,所以平面与平面平行或重合,所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形,故A 正确;平面与平面所成二面角正弦值为即为平面与平面所成的角,设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,又平面,又平面,所以,又,,平面,又平面,所以,所以是平面平面与平面所成二面角的平面角,由题意可得,进而可得所以所以平面与平面的1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥ABCD BD AC ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11AA C C BD ⊥11AA C C 1AC ⊂11AA C C 1BD AC ⊥11A B AC ⊥1A B BD B = 1A B BD ⊂1A BD 1AC ⊥1A BD α1A BD 1A BD αABCD 1A BD ABCD AC BD 1OA ABCD AC BD ⊥1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂1AA O 1AO ⊂1AA O 1BD AA ⊥1AOA ∠1A BD ABCD 12A A =12AO AC ==1AO ==111sin AA AOA A O ∠===α当E,F,N,,M,G,H 分别为对应棱的中点时,截面为正六边形,因为E ,H 分别为,的中点,则,因为平面,平面,则平面,同理可得平面,又因为,,平面,则平面平面,所以,平面,此时截面为正六边形,故C 正确;如图设截面为多边形,设,则,则,所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和,所以,因为EFNMGH 1BB 11A B 1//EH A B EH ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD //EH 1A BD //EF 1A BD EH EF E =I EH EF ⊂EFNMGH //EFNMGH 1A BD 1AC ⊥EFNMGH GMEFNH 1A G x =02x ≤≤,)GH ME NF MG HN EF x ======-MN =GMEFNH 1211()()22S GH MN h MN EF h =+⋅++⋅1h ==所以=时,故选：ACD.12．答案：解析：根据题意,是定义在R上周期为2的奇函数,所以故答案为：13．答案：414．答案：解析：依题意,三棱锥的底面面积是个定值,侧面是等边三角形,顶点S到边的距离也是一个定值,所以当该三棱锥的体积取得最大值时,平面平面,取的中点,连接,,N,M分别为正三角形,的中心,所以,,所以为二面角平面角,可得,过N,M分别作平面,平面的垂线,,两垂线交于O,的2h==11)22S x=+-11)22S x=+++-221)x=++=-+1x=maxS=()f x127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2sin301041sin202︒-︒==︒15πS ABC-ABC△SAB ABSAB⊥ABCAB SH CH SAB ABCSH AB⊥CH AB⊥SHC∠S AB C--SH CH⊥SAB ABC NO MO则O 为外接球的球心,由正三角形的性质可求得进而可得易得四边形是正方形,所以由勾股定理可得其外接球的表面积为.故答案为：.（2）或解析：（1）由,得设向量与的夹角为,由,,所以,所以,解得所以向量与（2）由向量向量与互相垂直,得,所以,即,解得或．16．答案：（1）（2）,解析：（1）由图象知,即,又,,所以SH CH ==NH HM ==CM ==OMHN OM =OC ==24π15π=15π1k =1k =-()1,1a =-||a == a b[0,π]θ∈()3a b b +⋅= 2a b b ⋅+= 1a b ⋅= ||||cos 1a b θ⋅= cos θ=a b ka b + a kb -()()·0ka b a kb +-= 2220ka k a b a b kb -⋅+⋅-= 22120k k k -+-=1k =1k =-1π()2sin()26f x x =+ππ(π,π)66k k -+k ∈ZA =8π2π2π33=-=4πT =0ω>4π=ω=1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点,所以,所以,,解得,.又．（2）将函数可得函数,的图象,所以,由,可得,所以所以,,所以,所以不等式的解集为,．（2）2解析：（1）因为余弦定理可得,所以,因为,所以,,2π(,2)32π12π(2sin()2323f ϕ=⨯+=πsin()3ϕ+=π2π2k ϕ+=+k ∈Z 2ππ6k ϕ=+k ∈Z ||ϕ=1π()2sin(26f x x =+(f x ()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+()g x ()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=()1g x >2cos 21x >cos 2x >ππ2π22π33k x k -<<+k ∈Z πππ6k x k -<<+∈Z ()1g x >ππ(π,π66k k -+k ∈Z 222222a b c b a c ab+-⨯=+222a b c ac -+=-2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈B =2sin sin b c B C====sin =sin C =又,由余弦定理得,即,因为,所以.18．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,且O 为的中点,又平面,又平面,所以,因为E 是的中点,所以,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;（2）连接交于点M ,连接,连接,则O 为的中点,因为,的中点,所以M 为所以,又平面,平面,所以平面;（3）由平面,可得,因为E,F 分别为,的中点,sin sin A C =2c =1=2222cos b a c ac B =+-221322a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+,0a c >2a c +=AC BD OE ABCD AC BD ⊥BD PD ⊥ABCD BD ⊂ABCD PD BD ⊥PB //PD OE OE BD ⊥OE AC O = OE AC ⊂A E G BD ⊥A E G BD ⊂BDF ⊥BDF A E G CE BF EF OM AC 3CG ==PB PC PBC △==//OM GE OM ⊂BDF EG ⊄BDF //EG BDF PD ⊥ABCD 22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==PB PC所以,所以,所以又四面体的体积等于四棱锥,所以点G ,A平面.19．答案：（1）（答案不唯一）,理由见解析.（2）（3）0解析：（1）与2具有“性质1”.当时,即,则2与2具有“性质1”（2）若所以,即,令,,所以,所以,解得即所以因此x 的取值范围,具有“性质k ”,14BEF PEF PBC S S S ==△△△4A PBC A BEF V V --=228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===BGEF P ABCD -A BEF G BEF V --=BEF 34=2a =4{|log x x ≤4log x ≥2a =2a =()()()(22212112212--≥⨯--⨯90>22x x --()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦()22210442104430xxx x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥4xt =0t >2131300t t t t t-++-≥⇒≥2310t t -+≥0t <≤≥04x <≤x ≥4log x ≤4log x ≥4{|log x x ≤4log x ≥x ≤≤x cos x所以,,化简得令,,两边平方得令求导得令,求导得令,解得,当,,在上单调递减;当,,在上单调递增;又因为,所以,因此,即y 在单调递减,当时,y 取最小值为0,进而得到,实数k 的最大值为0.()()()(22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x --≥--x ≤≤x >cos x cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->()()22cos sin sin cos 1sin cos x x k x x xx k ≥--⇒≤sin cos t x x =-[]0,1t ∈sin cos x x =2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭43212,22t t y t t++-=()()()()()33242234422122622t t t t t t t y t t -++--++='=+462551()h t t t t =+--534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-()0h t '=0,1t t ==<t =()0h t '<()h t t =()0h t '>()h t (0)1h =-(1)0h =()0h t <0'<y []0,11t =0k ≤。

四川省成都市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案

武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题数学（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则必有（）A.AD CB= B.DO OB= C.AC DB= D.OA OC= 【答案】B 【解析】【分析】根据AB DC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．【详解】四边形ABCD 中，AB DC =，则//AB DC 且AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形；则有AD CB =-，故A 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =，B 正确；由图可知AC DB≠，C 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-，D 错误．故选：B ．2.下列说法正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】【分析】A.由0b =判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A.,a b b a --B.21,2a b a b++ C.23,64b a a b-- D.,a b a b+- 【答案】D 【解析】【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.B 选项，1222a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.C 选项，()64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --共线，不能作为基底.D 选项，易知a b a b +-，不共线，可以作为基底.故选：D4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π=B.6x π=-C.3x π=-D.12x π=-【答案】B 【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()]12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B5.设a ，b 是非零向量，“a a bb =”是“a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由a a b b =表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =，由a b =表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a bb =”是“a b =”的必要而不充分条件.故选：B6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．7.已知sin α＝5，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.4π B.34π C.3π D.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出tan α12=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.【详解】sin α，且α为锐角，则cos α5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝13211(3)2--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34π.故选：B8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒【答案】D 【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =米，如下示意图，由已知可得12,4OA OB OP OP ====，所以1111cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11PP 时高度不低于4米，转动的角速度为360660︒=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120206=秒，故选：D.二、多选题9.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0A >，0ω>），其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.π6ω=B.最高水位为12mC.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可求得6π=ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意π62T ω==，所以6π=ω，故A 正确；对于B ，当12x =时，ππcos 126863y A ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，解得4A =，所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题12.设e为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为______.【答案】e【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.14.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2四、解答题15.已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．（1）求()a b a +⋅的值；（2）求2a b -的值【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos 451122a a a b a b ==⋅=︒=⨯=所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=【小问2详解】因为22||2b b ==，所以2222|2|(2)444242a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=所以|2|a b -=16.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()85f θ=-，求cos 2θ的值.【答案】（1）π（2）410-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2AD DB = ，3CE EA =，F 为BC 中点.（1）若DE AB AC λμ=+，求实数λ，μ的值；（2）若8AF DE ⋅=-，求边BC 的长.【答案】（1）23λ=-，14μ=.（2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-，从而求得BC 的长.【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23λ=-，14μ=.【小问2详解】12AF BF BA BC BA =-=- ，()1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，221115668824212AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）min ()1f θ=-；【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=+++，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-++-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y xθθθθθθ+--++--++2222222221113x y r y r x r x y+--⇒++=++=；（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =。

四川省成都市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

成都2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷选择题部分，共60分一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}012M =,,，{}1,2,3N =，则M N ⋃=（）.A.{}1,2 B.{}0 C.{}0,1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：{}{}{}0,1,21,2,30,1,2,3M N == ，故选：C.2.“=1x ”是“()()120x x --=”的（）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当=1x ，可得()()120x x --=成立，所以充分性满足；当()()120x x --=时，可得1x =或2x =，所以必要性不满足；即“=1x ”是“()()120x x --=”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()2xf x x =+的零点所在区间是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】B 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数y x =、2x y =均为R 上的增函数，故函数()2xf x x =+为R 上的增函数，因为()1021112f --+=--=<，()010f =>，由零点存在定理可知，函数()2xf x x =+的零点所在区间是()1,0-.故选：B.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.设函数()31,11,1xx x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），若()()18f f =，则=a （）A.3B.3± C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为()31,11,1x x x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），所以()1312f =-=，所以()()()21218ff f a==-=，解得3a =或3a =-（舍去）.故选：A6.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （1d =，2，L ，9）的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.2.9 B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C 【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所求的比为()lg 2lg 2lg 26lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2lg5==-+--lg 20.3013.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-．故选：C8.已知函数()f x 定义域为[]1,2a a -，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.25,36⎛⎤⎥⎝⎦B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分析可知函数()f x 为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数a 的值，根据函数()f x 的单调性、偶函数的性质，结合()()123f x f x a ->-可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得x的取值范围.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，令()()1g x f x =-，则()()2g x g x -=，即()()211f x f x --=-，即()()11f x f x -=-，所以，()()f x f x -=，故函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则120a a -+=，解得13a =，所以，函数()f x 是定义在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，由题意可知，函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由()()121f x f x ->-可得()()121fx f x ->-，所以，12122133222133x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤.因此，不等式()()123f x f x a ->-的解集为25,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a b c d ,,,，则下列说法正确的有（）A.若0a b <<，则11a b> B.若0a b >>，0c d >>，则ac bd >C.若,a b c d >>，则a d b c ->- D.若a b >，则22a b >【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A ：因为0b a >>，所以110a b>>，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，0c d >>，所以0ac bd >>，故B 正确；选项C ：因为,a b c d >>，所以d c ->-，所以a d b c ->-，故C 正确；选项D ：a b >，取222,2a b a b ==-⇒=，故D 错误；故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”B.若a b >，c d >，则ac bd>C.若幂函数()22231mm y m m x--=--在区间()0,∞+上是减函数，则2m =或1-D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0．【答案】AD 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A ；举反例可判定B ；根据幂函数定义和性质可判定C ；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A 选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”，A 选项正确；对于B 选项，若a b >，c d >，如1a =，0b =，1c =-，2d =-，则ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，函数()22231m m y m m x --=--是幂函数，所以2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，解得2m =，所以C 选项错误；对于D 选项，设()()23f x x a x a =+-+，则()f x 有两个零点，且两个零点一正一负，则()00f a =<，所以D 选项正确.故选：AD.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=．则下列选项成立的是（）A.()()34f f >B.若()()12f m f -<，则()1,3m ∈-C.若()0f x x>，则()()1,00,x ∈-⋃+∞ D.R x ∀∈，R m ∃∈，使得()f x m≥【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件探求出函数()f x 的奇偶性和在()0,∞+的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数，由12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()21210f x f x x x ->-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，根据函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()()34f f <，故A 错误；对于B ，根据函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，则()()()()12|1|2f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图象是连续不断的，则有|1|2m -<，解得13m -<<，故B 正确；对于C ，由()0f x x>，则()00f x x >⎧⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩，又()()110f f -==，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故C 错误；对于D ，因R 上的偶函数()f x 的图象连续不断，且()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，R x ∀∈，()(0)f x f ≥，取实数m ，使得(0)m f ≤，则R x ∀∈，()f x m ≥，故D 正确.故选：BD.12.直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为a ，b ，c ，d ，则下列结论正确的是（）A.[]3,4m ∈B.)40,eabcd ⎡∈⎣C.211,e e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.56211e 2,e 2e e a b c d ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：当0x ≤时，()2223(1)4f x x x x =--+=-++4≤，此时()30f x x =⇒=或2x =-；当20e x <≤时()2ln f x x =-，此时函数单调递减，当2e x >时()ln 2f x x =-，此时函数单调递增，此时()53e f x x =⇒=或1ex =，()64e f x x =⇒=或21e x =，直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩有四个不同的点，必有34m ≤<，此时256211210e e e e ea b c d -≤<-<≤<<≤<<≤<，其中2(1)2a b +=⨯-=-，且2223232ln ln 2a a b b c d m --+=--+=-=-=，因此有3ab m =-，42ln ln 2ln 4e c d cd cd -=-⇒=⇒=，显然[0,1)ab ∈，因此)40,eabcd ⎡∈⎣，所以选项A 不正确，选项B 、C 正确；因为2a b +=-，211e e c <≤56e e d <≤<，结合图象知：56211e 2e 2e ea b c d +-≤+++<+-，因此选项D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到a ，b ，c ，d 的取值范围是解题的关键.第II 卷非选择题部分，共90分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()()log 21a f x x =++（0a >且1a ≠），则函数()f x 恒过定点_____．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于()1log 111a f -=+=，所以函数()f x 恒过定点()1,1-.故选：()1,1-14.函数()212log 45y x x =--的递减区间为____________.【答案】()5,+∞【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，从而求出答案.【详解】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞15.如果关于x 的不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，则12123ax x x x ++的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，所以12,x x 是方程22630x ax a -+=的实数根，0a >时，()222064324a a a ∆==-⨯>-，所以1221263x x a x x a +=⎧⎨=⎩，所以1212316a x x a x x a ++=+≥，当且仅当16a a =，即66a =时取等号，故12123ax x x x ++的最小值是故答案为：16.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]124,2,2,1x x ∀∈--∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，由于224(2)4y x x x =-+=--+为对称轴为2x =开口向下的二次函数，222x y x x x+==+，由对勾函数的性质可知，函数在(]3,4上单调递增，可得()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，()()()924,33,42f f f ===，()f x \在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，()f x \在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()()()()()11122,246248f x f x f x f x f x f x +=∴=+=+=+ ，故当[][]4,2,62,4x x ∈--+∈，()f x \在[]4,2--上的值域为39,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，31289116a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得516a ≥，故a 的范围是516a ≥；当0<a 时，()g x 为单调递减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，31891216a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得5;8a ≤-故a 的范围是58a -≤，综上可知故a 的范围是55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.计算（1）2ln3325(0.125)e -+++（24,=求11122a a a a --+-【答案】（1）（2）3±【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出114a a-+=，再求出1122a a --=±即得解.【小问1详解】解：原式=2333421--++（）=741++-.【小问2详解】解：4,=∴224,=1216a a -∴++=.114a a -∴+=.又112122()214212a a a a ---=+-=-=11-22a a ∴-=±.111223a a a a --+∴==±-.19.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.【答案】（1）()2,2-（2）奇函数，证明见解析（3）18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数()f x 有意义,则2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，故所求函数()f x 的定义域为()2,2-；【小问2详解】证明：由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-,且()()()()lg 2lg 2-=-+-+=-f x x x f x ，故()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()1f x >，所以()2lg12+=>-x f x x ，即2lg >lg102x x +-可得2102x x +>-，解得1811x >,又22x -<<，所以18211x <<，所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭．20.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是31cm ，2秒后染料扩散的体积是33cm ，染料扩散的体积y 与时间x （单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①3x y m =，②3log y m x b =+，其中m ，b 均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到35cm ，至少需要多少秒．【答案】（1）选3log y m x b =+，22log 1y x =+（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数3x y m =中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数3log y m x b =+中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即3log y m x b =+，由题意可得：33log 11log 23m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得：212log 3b m =⎧⎨=⎩，所以该模型的解析式为：2322log 3log 12log 1y x x =+=+，【小问2详解】由（1）知：22log 1y x =+，由题意知：5y ≥，也即22log 15x +≥，则有22log 4x ≥，∴2log 2x ≥，∴4x ≥，∴至少需要4秒．21.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对一切0,0x y >>都有()()()x f f x f y y=-，当1x >时，有()0f x >；（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）若(6)1f =，解不等式1(5)(2f x f x+-<；【答案】（1）f （1）＝0；（2）()f x 在（0，＋∞）上是增函数，证明见详解；（3）()0,4【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求(1)f 的值；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，利用条件可得()()210f x f x ->，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：令x ＝y ＞0，则f （1）＝f （x ）−f （x ）＝0，所以f （1）＝0；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为210x x >>，所以211x x >，则210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以()f x 在（0，＋∞）上是增函数；（3）因为(6)1f =，所以36()(36)(6)6f f f =-，所以(36)2(6)2f f ==，由1(5)()2f x f x+-<，得[](5)(36)f x x f +<，所以5010(5)36x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解得04x <<所以原不等式的解为()0,4．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，1,2.所以m的取值范围是()【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：f x中分1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。

2023-2024学年四川省成都市石室中学竞赛班高一(下)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年四川省成都市石室中学竞赛班高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z =(2−a)+(2a−1)i(a ∈R)为纯虚数，则复数z +a 在复平面上的对应点的位置在( )A. 第一象限内B. 第二象限内C. 第三象限内D. 第四象限内2.数据x 1，x 2，…，x 10的方差s 2=0，则下列数字特征一定为0的是( )A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 极差3.某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的扇形图(如图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图(如图)，则下列命题错误的是( )A. 成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人B. 成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人C. 成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人D. 成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多4.命题“∃x ∈[1,2]，x 3+2x−a >0”为假命题的一个必要不充分条件是( )A. a ≥11B. a ≤11C. a ≥12D. a ≤125.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且sinA =2sinB ，2acosC +b =0，则cosA =( )A.154B.104C.64D. 146.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =π3，且CF =λCD ，CE =μCB ，若AC =37AF +67AE ，则λ+μ=( )A. 23B. 1C. 43D. 27.如图，AC 是圆O 的直径，∠DCA =45°，DA 垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点A ，C 重合的点，AM ⊥DC 于M ，AN ⊥DB 于N ，则下列结论不正确的是( )A. 平面ABC ⊥平面DACB. CB ⊥平面BADC. CD ⊥平面AMND. 平面AMN ⊥平面DAB8.美国数学家JackKiefer 于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比t =5−12≈0.618，现给出三倍角公式cos3α=4cos 3α−3cosα，则t 与sin18°的关系式正确的为( )A. 2t =3sin18°B. t =2sin18°C. t =5sin18°D. t =6sin18°二、多选题：本题共4小题，共20分。

2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题(含解析)

2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。

1.在▵OMN 中，ON−MN +MO =( )A. 0B. 2MOC. 2OMD. 02.复数2+3i 1+i 对应的点( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为( )A. 40B. 35C. 30D. 254.水平放置的▵ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3,B′C′=2，则▵ABC 的面积是( )A. 4B. 5C. 6D. 75.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点P (m,n )在直线x +y =8上的概率是( )A. 112B. 19C. 536D. 166.在▵ABC 中，B =30∘,b =2,c =2 2，则▵ABC 的面积为( )A. 3+ 3B. 3+1C. 3± 3D. 3±17.已知▵ABC 中，AC ⋅AB =0,2AD−AC−AB =0,|AD |=|AB |，则CA 在CB 上的投影向量为( )A. 14CBB. 34CB D. −34CB 8.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体(如图2).设这种酒杯内壁的表面积为Scm 2，半球的半径为3cm ，若半球的体积不小于圆柱体积，则S 的取值范围是( )A. [24π,+∞)B. (18π,24π]C. [30π,+∞)D. (18π,30π]9.设向量a,b满足|a|=|b|=1，且|3b−a|=10，则以下结论正确的是( )A. a⊥bB. |a−b|=2C. |b−3a|=10D. 向量a+b与a−b夹角为60∘10.下列命题中真命题是( )A. 如果不同直线m、n都平行于平面α，则m，n一定不相交B. 如果不同直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定平行C. 如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m//nD. 如果平面α、β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β11.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在[40,50)内，则( )A. 图中的a=0.005B. m=200C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

四川省成都七中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

当，即，解为；4分
当，即，解为；8分
当，即，无解；11分
综上，不等式的解集为当，解为；当，解为；
当，无解12分
【思路点拨】对参数进行分类争辩即可.
19.已知向量，向量 .
（1）求在方向上的投影；
（2）求的最大值；
（3）若，，，，求 .
【学问点】向量的数量积公式;向量的坐标表示;分类争辩的思想方法;等比数列求和.
【思路点拨】将 = 绕原点逆时针方向旋转得到后可得两点关于轴对称，据此可得结果.
9.设， ,则有（）
A. B. C. D. 的大小关系不确定
【学问点】两角差的正弦公式；万能公式；正弦函数的单调性.
【答案解析】A解析：解：由于，
由正弦函数的单调性可知，故选A.
【思路点拨】先把两个三角式化简，再利用正弦函数的单调性即可.
【学问点】组合几何体的面积、体积问题．
【答案解析】2解析：解：设球半径为r，则由可得，解得．故答案为：2.
【思路点拨】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．
14.在等比数列中，，则该数列的前9项的和等于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ____．
【学问点】等比数列的性质.
【答案解析】13解析：解：由于，所以，而，所以该数列的前9项的和
10.如图，在直角梯形中，点在阴影区域（含边界）中运动，则有的取值范围是（）
A． B． C． D．
【学问点】向量的坐标表示；简洁的线性规划.
【答案解析】C解析：解：以BC所在的直线为轴，以BA所在的直线为轴建立坐标系，如下图：
可得 , , , ,设 ,所以，令

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

成都七中高 2026 届高一下期期末考试数学试题一. 单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 若z=2−i ,则|z−z|=（） .A. √2B. 2iC. 2D. 42. 若|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗夹角为60∘ ,且b⃗⃗⊥(a⃗−b⃗⃗) ,则|b⃗⃗|=（）.A. √32B. 1C. √3D. 23. 已知tanα=2,α为锐角,则sin(α+π4)=（） .A. −√1010B. √1010C. −3√1010D. 3√10104. 将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可能为（）.A. 5π12B. π12C. 5π3D. π35. 已知α,β,γ是三个不同的平面, m,n是两条不同的直线,且α∩β=m ,给出下列四个命题: ①若m//n ,则n//α或n//β②若m⊥n ,则n⊥α或n⊥β③若α⊥β , γ⊥β ,则α//γ④若γ∩β=n,m//n ,则γ//α则上述命题中正确的个数为（）.A. 0B. 1C. 2D. 36. 同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子, 则所得点数之差绝对值小于 2 的概率为（）.A. 23B. 59C. 49D. 137. 羌族是中国西部地区的一个古老民族, 被称为“云朵上的民族”, 其建筑颇具特色. 碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑, 一般多建于村寨住房旁. 现有一碉楼, 其主体部分可以抽象成正四棱台ABCD−A1B1C1D1 ,如图,已知该棱台的体积为224 m3,AB=8 m ,A1B1=4 m ,则二面角A1−AB−C的正切值为（）.A. 3B. 3√22 C. √3 D. 328. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a =1,A =60∘ ,设 O,G 分别是 △ABC 的外心和重心,则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是（） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16二. 多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.9. 已知 a ⃗⃗=(1,λ),b ⃗=(λ+2,3) ,则（）.A. “ λ=1 ” 是 “ a⃗⃗//b ⃗ ” 的必要条件 B. “ λ=−3 ” 是 “ a ⃗⃗//b ⃗ ” 的充分条件 C. “ λ=−12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的必要条件 D. “ λ=12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的充分条件 10. 已知一组样本数据 x 1,x 2,⋯,x 20,(x 1≤x 2≤⋯≤x 20) 下列说法正确的是（）.A. 该样本数据的第 60 百分位数为 x 12B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称, 且在右边 “拖尾”, 则其平均数大于中位数C. 若样本数据的方差 s 2=120∑x i 220i=1−25 ,则这组样本数据的总和为 100D. 若由 y i =2x i (i =1,2,⋯,20) 生成一组新的数据 y 1,y 2,⋯,y 20 ,则这组新数据的平均值是原数据平均值的 2 倍11. 如图,在长方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 中, AB =BC =2,AA ′=4,N 为棱 C ′D ′ 中点,D ′M =12,P 为线段 A ′B 上一动点,下列结论正确的是（）. A. 线段 DP 长度的最小值为 6√55B. 存在点 P ,使 AP +PC =2√3C. 存在点 P ,使 A ′C ⊥ 平面 MNPD. 以 B 为球心, 176 为半径的球体被平面 AB ′C 所截的截面面积为 6π 三. 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.12. 习主席曾提出 “绿水青山就是金山银山” 的科学论断, 为响应国家号召, 农学专业毕业的小李回乡创业, 在自家的田地上种植了 A, B 两种有机生态番茄共 5000 株, 为控制成本,其中 A 品种番茄占 40% . 为估计今年这两种番茄的总产量,小李采摘了 10 株 A 品种番茄与 10 株 B 品种番茄,其中 A 品种番茄总重 17 kg, B 品种番茄总重 23 kg ,则小李今年共可收获番茄约 kg .13. 已知三棱锥 A −BCD,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, △BCD 是面积为 2 的等腰直角三角形,且平面 ABC ⊥ 平面 BCD ,则三棱锥 A −BCD 的外接球表面积为 .14. 在 △ABC 中, AB ⊥AC,AB =4,AC =3,P 为斜边 BC 上一动点,点 Q 满足 |PQ |=2 ,且 AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 2m +n 的最大值为 .四. 解答题: 本大题共 5 小题, 共计 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分) 如图,棱长为 6 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, O 是 AC 的中点, E 是 AA 1 的中点,点 F 在 AB 上.(I) 当 F 是 AB 的中点时,证明: 平面 EFO// 平面 A 1D 1C ;(II) 当 F 是靠近 B 的三等分点时,求异面直线 FO 与 A 1C 所成角的余弦值.16. (15 分) 2024 年 4 月 26 日, 主题为“公园城市、美好人居” 的世界园艺博览会在四川成都正式开幕, 共建成 113 个室外展园, 涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格, 吸引了全球各地游客前来参观游玩. 现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了 50 名游客, 统计他们的参观时间 (从进入至离开该展园的时长, 单位: 分钟, 取整数),将时间分成[45,55),[55,65),⋯,[85,95]五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.(I) 求图中a的值;(II) 由频率分布直方图, 试估计该展园游客参观时间的第 75 百分位数 (保留一位小数);(III) 由频率分布直方图,估计样本的平均数x(每组数据以区间的中点值为代表).17. (15 分) 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛, 并约定规则如下: 在每个回合中, 若发球方赢球, 则得 1 分, 并且下一回合继续由其发球; 若发球方输球, 则双方均不得分, 且下一回合交换发球权; 比赛持续三回合后结束, 若最终甲乙得分相同, 则为平局.,各回合比赛结果相互独立,第一回合由甲发球.已知在每回合中,甲获胜的概率均为23(I) 求甲至少赢 1 个回合的概率;(II) 求第二回合中有选手得分的概率;(III) 求甲乙两人在比赛中平局的概率.18. (17 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a =4,c =2 , asinA +csinC =2bsinB.D 是线段 AC 上的一点,满足 AD =13AC ,过 D 作一条直线分别交射线 BA 、射线 BC 于 M 、N 两点.(I) 求 b ,并判断 △ABC 的形状;(II) 求 BD 的长;(III) 求 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.19. (17 分) 如图,斜三棱柱 A 1B 1C 1−ABC 中, ∠ABC =90∘ ,四边形 ABB 1A 1 是菱形, D 为 AB 中点, A 1D ⊥ 平面 ABC ,点 A 1 到平面 BCC 1B 1 的距离为 √3,AA 1 与 CC 1 的距离为 2 . (I) 求证: CB ⊥ 平面 ABB 1A 1 ;(II) 求 A 1C 与平面 BCC 1B 1 所成角的正弦值;(III) 若 E,F 分别为 AA 1,AC 的中点,求此斜三棱柱被平面 B 1EF 所截的截面面积.。

四川省成都市七中2023-2024学年高一数学第一学期期末调研试题含解析

【详解】函数的最大值为 5 ，最小值为 1 ，
2
2
A
1 2
5
2
1 2
3 2
，
k
1 2
5 2
1 2
1，
又
函数的周期 T
2
7 12
12
，
2 ，得 w 2 . w
可得函数的表达式为 y 3 sin(2x ) 1， 2
当 x 时，函数有最大值 5 ，
12
2
5 2
3 2
sin
2x
3
1
D.
y
sin
2x
3
1
8．函数
f
x
3cos
2x
6
的一条对称轴是（）
A. x 6
B. x 12
C. x 4
D. x 3
9．若幂函数的图象过点
，则它的单调递增区间是( )
A.(0，＋∞)
B.[0，＋∞)
C.(－∞，＋∞)
D.(－∞，0)
10．直线 kx y k 0k R 与圆 x2 y2 2 交点的个数为
故选：B
9、D
【解析】设幂函数为 y=xa，把点(2, 1 )代入，求出 a 的值，从而得到幂函数的方程，再判断幂函数的单调递增区间. 4
【详解】设 y＝xa，则 1 ＝2a，解得 a＝－2， 4
∴y＝x－2 其单调递增区间为(－∞，0)
故选 D.
【点睛】本题考查了通过待定系数法求幂函数的解析式,以及幂函数的主要性质. 10、A
四川省成都市七中 2023-2024 学年高一数学第一学期期末调研试题
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

四川省成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

四川省成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单选题1．复数z 满足()2i 34i z -=+，则复数z 的虚部是（） A ．2B ．2iC ．1D ．i2．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是（） A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若//,//m n m α，则//n αC ．若,m n αβ⊂⊂，则,m n 是异面直线D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n 或m ，n 是异面直线3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（）A ．BCD ．1 4．已知平面向量a r ，b r的夹角为π3，且满足1a =r ，2b =r ，则下列说法错误的是（）A ．1a b ⋅=r rB ．a b -r r 与b r 的夹角为π6C ．a b -=r rD ．()0a b a -⋅=r r r 5．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c .若6b =，2a c =，π3B =，则ABC V 的面积为（）A ．B ．C ．6D ．126．已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（）A ．13B ．16C ．17D ．27．设A 、B 、C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅uu u r uu u r的最大值为（）A ．3B ．32C ．1D 8．在如图所示的直三棱柱中，点A 和1BB 的中点M 以及11B C 的中点N 所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积比为（）A ．13B ．47C ．1117D ．1323二、多选题9．设z ，1z ，2z 为复数，12z z ≠，下列命题中正确的是（） A ．若12zz zz =则0z =B ．若12z z =则12zz zz =C ．若1212z z z z -=+则120z z =D ．1212z z z z +≤+10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（）A ．圆柱的侧面积为22πRB ．圆锥的侧面积为22πRC ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2 11．下列四个命题为真命题的是（）A ．若向量,,a b c r r r 满足//,//a b b c r r r r，则 //a c r rB ．若向量()()5,0,2,1a b ==，则a r 在b r上的投影向量为()4,2C ．若向量e r是与向量()1,2共线的单位向量，则e =⎝⎭rD ．已知向量()()cos ,sin ,2,1a b αα== ，则a b -r r112．已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π上有且仅有2个最小值点，下列结论正确的有（）A ．333,7ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．()f x 在()0,π上最少3个零点，最多 4个零点C ．()f x 在()0,π上有2个最大值点D ．()f x 在5π0,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减三、填空题13．已知7sin cos 5αα+=，则sin 2α的值为. 14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，15,3,4,AB AD AA P ===是线段1BC 上异于1,B C 的一点，则1CP PD +的最小值为.15．已知向量a r ，b r ，c r 满足4a =r，b =r a r 与b r 的夹角为π4，()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r 的最大值为.16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且b =π3B =，ABC V 内角BABC V 的面积为.四、解答题17．已知向量()1,4a =r，()3,2b =r .(1)当k 为何值时，ka b +r r 与a b -r r 垂直(2)若2AB a b=+u u u r r r ，BC a b λ=+u u u r r r ，且A ，B ，C 三点共线，求λ的值. 18．如图，四棱锥 P ABCD - 的底面为平行四边形，点 M N Q ，，分别为 PC CD AB ，，的中点.(1)求证: 平面 //MNQ 平面 PAD ;(2)在棱 PA 上确定一点 S ，使 //NS 平面 PBC ，并说明理由.19．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用. 假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 如图，将筒车抽象为一个几何图形 (圆)，筒车半径为 2.4m ，筒车转轮的中心 O 到水面的距离为 1.2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动 3 圈. 规定: 盛水筒 M 对应的点 P 从水中浮现 (即 0P 时的位置) 时开始计算时间，且以水轮的圆心 O 为坐标原点，过点 O 的水平直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xoy . 设盛水筒 M 从点 0P 运动到点 P 时所经过的时间为 t (单位: s )，且此时点 P 距离水面的高度为 h (单位: m ) (在水面下则h 为负数)(1)求 h 与时间 t 之间的关系.(2)求点 P 第一次到达最高点需要的时间为多少? 在转动的一个周期内，点 P 在水中的时间是多少?20．已知函数()ππsin 2sin 2233f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)先将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位后得到函数()g x 的图象，求()y g x =的单调减区间以及在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.21．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =r (),cos a A ，n =r()cos ,B b c -，且m n ⋅r rcos c A =⋅，ABC V 外接圆面积为3π. (1)求A ；(2)求ABC V 周长的最大值.22．如图 1 所示，在ABC V 中，点D 在线段BC 上，满足2CD DB =u u u ru u u r，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =u u u r u u u r，线段CG 与线段AD 交于点O .(1)若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，求实数x ，y 的值； (2)若AO t AD =u u u r u u u r，求实数t 的值；(3)如图 2，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设(),0,0EB AE FC AF λμλμ==>>u u u r u u u r u u u r u u u r ，设AEF △的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S 的取值范围．。

高一(下学期)期末考试数学试卷

高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0．（1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误．故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误；对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确．故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件．故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人，设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ，连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=，所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝，所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8，则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确，所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可．【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥，同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错；因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ，则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错．故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒．故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥．又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥．（2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ．又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=，估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人，（3）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=，即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=，所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712．【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节，故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=，所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥，又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。

2023-2024学年四川省成都市区县联考高一下学期7月期末调研考试数学试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市区县联考高一下学期7月期末调研考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.平面向量a=(m,2)，b=(−2,4)，若a//b，则m=( )A. −1B. 1C. −2D. 22.已知复数z满足(1+i)z=1−2i，则复数z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.将函数f(x)=sin2x的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为( )A. y=sin(2x+π6)B. y=sin(2x+π3)C. y=sin(2x−π6)D. y=sin(2x−π3)4.已知非零向量a,b满足|a|=|b|，且a在b上的投影向量为12b，则向量a与向量b的夹角为( )A. 2π3B. π6C. π4D. π35.已知tanα=43，则cos2α=( )A. 725B. −725C. 255D. −2556.已知m，n是空间中两条不同的直线，α,β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A. 若m⊥α，n⊥α，则m//nB. 若m//n，n⊂α，则m//αC. 若α⊥β，m⊥α，则m//βD. 若m⊥α，m⊥n，则n//α7.已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形A′B′C′O′，且A′B′=1，O′A′=2，O′C′=4，现将梯形ABCO绕OA旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为( )A. 14πB. 25πC. 28πD. 42π8.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )A. 函数f(x)的最小正周期是πB. 函数f(x)的图象关于直线x=π3对称C. 函数f(x)的图象关于点(7π12,0)对称D. 函数f(x)在区间(3π4,π)上单调递增二、多选题：本题共3小题，共15分。

2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区高一(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)

2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若a>b>0，c<0，则下列结论正确的是()A. a+c<b+cB. ca >cbC. a2<abD. 1a>1b2.cos37°cos23°−sin37°sin23°=()A. 12B. √32C. −√32D. −123.已知向量a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,m)，若a⃗+b⃗ 与a⃗共线，则m=()A. 2B. −1C. −2D. −44.一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是()A. 83B. 4C. 2D. 435.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=9，a1=2，则a5=()A. 3B. 4C. 5D. 66.设不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ，那么()A. a//α，b⊂α，则a//bB. a⊂α，b⊂β，a//b，则α//βC. a⊂α，b⊂β，α//β，则a//bD. α//β，β//γ，则α//γ7.△ABC的三内角ABC的对边分别为a，b，c，且满足acosB+bcosA=2ccosC，且sinA=sinB，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8.若tanθ+1tanθ=3，则sin2θ=()A. 15B. 13C. 23D. 129.记S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=22，S7=S16，则S n的最大值为()A. 132.25B. 132C. 132.5D. 13110. 平面内有三个向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位向量且夹角为60°，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λ+μ=( ) A. −1 B. −2 C. 1或−2 D. 1或−111. 区间(a,b)是关于x 的一元二次不等式mx 2−x +1<0的解集，则2a +b 的最小值为( )A. 3+2√2B. 2+2√2C. 6D. 3−2√212. 疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理．某消毒装备的设计如图所示，PQ 为街道路面，AB 为消毒设备的高，BC 为喷杆，AB ⊥PQ ，∠ABC =2π3，C 处是喷酒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面AQ ，喷射角∠DCE =π3.若AB =3，BC =6，则消毒水喷酒在路面上的宽度DE 的最小值为( )A. √3B. 2√3C. 4√3D. 5√3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 等比数列{a n }中，a 1=1，q =−2，则s 5=______．14. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A =π3，a =√3，则b 2+c 2−bc =______．15. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2|b ⃗ |，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则a ⃗ 与a ⃗ −3b ⃗ 的夹角的余弦值为______．16. 《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)在如图所示的堑堵ABC −A 1B 1C 1中，BB 1=BC =AB =2且有鳖臑C 1−ABB 1和鳖臑C 1−ABC ，现将鳖臑C 1−ABC 沿BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑C 1−ABC 经翻折后与鳖臑C 1−ABB 1拼接成的几何体的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角θ=π3，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2．(1)求a⃗⋅b⃗ ，|a⃗+b⃗ |；(2)求向量a⃗在a⃗+b⃗ 方向上的投影．18.已知函数f(x)=ax+6x−3，若xf(x)<4的解集为{x|1<x<b}．(1)求a，b；(2)解关于x的不等式ax2−(ac+b)x+bc<0．19.已知函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．(1)求函数f(x)的单调递减区间；]时，f(x)−m>0能成立，求m的取值范围．(2)当x∈[0,π220.如图，在底面半径为2、高为4的圆柱中，B，A分别是上、下底面的圆心，四边形EFGH是该圆柱的轴截面，已知P是线段AB的中点，N是下底面半圆周上靠近H 的三等分点．(1)求三棱锥B−EPN的体积；(2)在底面圆周上是否存在点M，使得FM//平面PAN？若存在，请找出符合条件的所有M点并证明；若不存在，请说明理由．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosAsinC+asinBcosC=√3b．2(1)求角B的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，其外接圆半径为√3，求△ABC周长的取值范围．22.已知数列{a n}各项都是正数，a1=1，对任意n∈N∗都有a12+a22+⋯+a n2=a n+12−1.3数列{b n}满足b1=1，b n+b n+1=2n+1(n∈N∗)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)数列{c n}满足c n=b n，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式4×3n+9λ<a2n+13n+2T n对一切n∈N∗恒成立，求λ的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】对于选项A：因为a>b>0，c<0，所以a+c>b+c，故A不正确；对于选项B：由于ca −cb=c(b−a)ab，因为a>b>0，c<0，所以b−a<0，所以ca−cb=c(b−a) ab >0，即ca>cb，故B正确；对于选项C：因为a2−ab=a(a−b)>0，所以a2>ab，故C不正确；对于选项D：因为1a −1b=b−aab<0，所以1a<1b，故D不正确．故选：B．利用不等式的基本性质，采用做差法逐一判断各选项的正误即可．本题考查不等式的基本性质，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：cos37°cos23°−sin37°sin23°=cos(37°+23°)=cos60°=12．故选：A．利用两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，向量a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,m)，则a⃗+b⃗ =(1,4+m)，若a⃗+b⃗ 与a⃗共线，则2(4+m)=4，解可得m=−2，故选：C．根据题意，求出a⃗+b⃗ 的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，计算可得答案．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥体；如图所示：所以：V P−ABCD=13×2×2×2=83．故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，得3a1+3d=9，即a1+d=3，又a1=2，所以d=1，故a5=2+4=6．故选：D．设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a1=2可解出d值，从而可求出a5．本题考查等差数列的通项公式，前n项和；考查学生的运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：设不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ，对于A，a//α，b⊂α，则a与b平行或异面，故A错误；对于B，a⊂α，b⊂β，a//b，则α与β平行或相交，故B错误；对于C，a⊂α，b⊂β，α//β，则a与b平行或异面，故C错误；对于D，α//β，β//γ，则由面面平行的判定定理得α//γ，故D正确．故选：D．对于A，a与b平行或异面；对于B，α与β平行或相交；对于C，a与b平行或异面；对于D，由面面平行的判定定理得α//γ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：△ABC的三内角ABC的对边分别为a，b，c，且满足acosB+bcosA=2ccosC，利用正弦定理：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，整理得：sin(A+B)=sinC=2sinCcosC，化简得：cosC=12，由于0<C<π，故C=π3，由于sinA=sinB，所以A=B，故A=B=C=π3．所以△ABC为等边三角形．故选：B．直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：若tanθ+1tanθ=3，则sin2θ=2sinθcosθcos2θ+sin 2θ=2tanθ1+tan2θ=21tanθ+tanθ=23，故选C．把要求的式子先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 7=S 16，得7a 1+21d =16a 1+120d ，即a 1+11d =0，又a 1=22，所以d =−2，所以S n =22n +n(n−1)2×(−2)=−n 2+23n ，又n ∈N +，且S 11=S 12=132，所以当n =11或n =12时，S n 有最大值且最大值为132．故选：B ．设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 1=22，S 7=S 16即可求出d 值，从而可得S n 的表达式，再结合n ∈N +及二次函数的性质即可求出S n 的最大值．本题考查等差数列前n 项和公式，数列与函数的综合问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：如图，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x 轴、y 轴建立坐标系，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位向量且夹角为60°，所以OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32)或OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32)，又因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，即(0,√3)=λ(1,0)+μ(12,√32)或(0,√3)=λ(1,0)+μ(12,−√32)，所以{λ+12μ=0√32μ=√3或{λ+12μ=0−√32μ=√3，解得{λ=−1μ=2或{λ=1μ=−2，则λ+μ=1或−1，故选：D ．以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x 轴、y 轴建立坐标系，分别用坐标形式表示出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再结合OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，求出λ、μ的值即可．本题考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，数形结合思想，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：区间(a,b)是关于x 的一元二次不等式mx 2−x +1<0的解集，所以a 、b 是方程mx 2−x +1=0的实数根，且m >0；由根与系数的关系知，{a +b =1mab =1m，所以a +b =ab ，且a >0，b >0，所以a+b ab =1a +1b =1，所以2a +b =(2a +b)(1a+1b )=2+1+2a b+b a≥3+2√2a b⋅ba=3+2√2，当且仅当b =√2a 时取等号，所以2a +b 的最小值为3+2√2．故选：A ．根据一元二次不等式mx 2−x +1<0的解集和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a 、b 的关系式，再利用基本不等式求出2a +b 的最小值．本题考查了一元二次不等式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．12.【答案】C【解析】解：C 到地面的距离ℎ=3+6sin(2π3−π2)=6，因为S △CDE =12DE ⋅ℎ=12CD ⋅CEsin π3，则6DE =√32CD ⋅CE ，即4√3DE =CD ⋅CE ，从而利用余弦定理得：DE 2=CD 2+CE 2−2CD ⋅CEcos π3≥2CD ⋅CE −CD ⋅CE =CD ⋅CE ，当且仅当CD =CE 时等式成立，故DE 2≥CD ⋅CE ，则DE ≥4√3，当且仅当CD =CE 时等式成立，故DE 的最小值为4√3．故选：C ．由已知利用三角形的面积公式可求4√3DE =CD ⋅CE ，利用余弦定理，基本不等式可求DE 2≥CD ⋅CE ，即可得解DE 的最小值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，主要考查学生的运算能力和转化思想及思维能力，属于中档题．13.【答案】11【解析】解：根据题意，S5=1−(−2)51−(−2)=11．故答案为：11．利用等比数列求和公式求出S5即可．本题考查等比数列求和公式，考查学生的运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：因为A=π3，a=√3，所以由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得b2+c2−bc=3．故答案为：3．由已知利用余弦定理即可求解．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．15.【答案】√714【解析】解：设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，|b⃗ |=t，t为实数，∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，即a⃗⋅b⃗ =(b⃗ )2，|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosθ=|b⃗ |2①，∵a⃗，b⃗ 为非零向量，且满足|a⃗|=2|b⃗ |②，∴联立①②可得cosθ=12，∵|a⃗|=2t，|a⃗−3b⃗ |=√(a⃗ )2−6a⃗b⃗ +(3b⃗ )2=√4t2−6×2t×t×12+9t2=√7t，a⃗⋅(a⃗−3b⃗ )=(a⃗ )2−3a⃗b⃗ =4t2−3×2t×t×12=t2，∴cos<a⃗,a⃗−3b⃗ >=a⃗ ⋅(a⃗ −3b⃗)|a⃗ ||a⃗ −3b⃗|=22t⋅√7t=√714．故答案为：√714．根据已知条件，结合向量模公式和向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查向量的夹角公式，以及向量模公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．16.【答案】20π【解析】解：如图，翻折后△BCC1与△BB1C1重合，设A点翻折至E点，由AB⊥平面BB1C1，得EB⊥平面BB1C1．所以A，B，E三点共线，且B为AE中点．因为△ABB1为等腰直角三角形，且AB=B1B=2，所以△AB1E为等腰直角三角形，且AB1=EB1=2√2．又因为C1B1⊥平面AB1E，所以三棱锥C1−AB1E的顶点都在长方体上．设外接球的半径为R，则(2R)2=(2√2)2+(2√2)2+22，即4R2=20，所以外接球的表面积为4πR2=20π．故答案为：20π．设A点翻折至E点，由几何体的性质得A，B，E三点共线，且B为AE中点，故等价于求三棱锥C1−AB1E的外接球的表面积．因为C1B1⊥平面AB1E，△AB1E为等腰直角三角形，所以转化为长方体的外接球．本题考查空间中的垂直关系，三棱锥的外接球问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗与b⃗ 的夹角θ=π3，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cosπ3=1×2×12=1，|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =√1+4+2×1=√7；(2)向量a⃗在a⃗+b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ +b⃗|=a⃗2+a⃗ ⋅b⃗|a⃗ +b⃗|=√7=2√77．【解析】(1)直接由数量积运算求a⃗⋅b⃗ ，再由|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2，展开完全平方后代入数量积求解；(2)直接利用向量在向量方向上的投影概念求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=ax+6x−3，故不等式xf(x)<4，即ax2−3x+2<0，由于不等式的解集为{x|1<x<b}可得，1+b=3a ，且1×b=2a，求得a=1，且b=2．(2)关于x的不等式ax2−(ac+b)x+bc<0，即x2−(c+2)x+2c<0，即(x−2)(x−c)<0．当c=2时，不等式即(x−2)2<0，它的解集为⌀；当c<2时，不等式(x−2)(x−c)<0的解集为(c,2)；当c>2时，不等式(x−2)(x−c)<0的解集为(2,c)．【解析】(1)把不等式变形，利用韦达定理，求得a，b的值．(2)把不等式变形为一元二次不等式，分类讨论c的值，求得它的解集．本题主要考查一元二次不等式的解法，韦达定理，属于中档题．19.【答案】解：(1)f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32=2sinx(12cosx−√32sinx)+√32=sinxcosx−√3sin2x+√32=12sin2x−√32(1−cos2x)+√32=sin(2x+π3)，令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π12+kπ≤x≤7π12+2kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+2kπ]，k∈Z；(2)因为0≤x≤π2，则π3≤2x+π3≤4π3，所以−√32≤sin(2x+π3)≤1，故f(x)min=−√32，当x∈[0,π2]时，f(x)−m>0能成立，即m<f(x)min，所以m<−√32，故m的取值范围为(−∞,−√32)．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，然后由正弦函数的单调性列出不等式，求解即可；(2)由正弦函数的性质，求出f(x)的最小值，将不等式恒成立问题转化为m<f(x)min，即可得到答案．本题考查了三角函数图象和性质的综合应用，三角恒等变换的应用，三角函数单调性的求解，不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为圆柱的底面半径为2、高为4，P是线段AB的中点，N是半圆周上的三等分点，所以三棱锥B−EPN的体积为：V三棱锥B−EPN =V三棱锥B−AEN−V三棱锥P−AEN=13S△AEN⋅AB−13S△AEN⋅PA=13×12×2×2×sin120°×4−13×12×2×2×sin120°×2=2√33．(2)存在点M，M为EN⏜的中点，使得FM//平面PAN.理由如下：连接EM，因为M、N是半圆周的三等分点，所以∠EAM=∠MAN=∠NAH；又AE=AM，所以△AEM为等边三角形，所以∠AEM=NAH=60°，所以EM//AN；又EM⊄平面PAN，AN⊂平面PAN，所以EM//平面PAN；由EFGH是圆柱的轴截面，所以四边形EFGH是矩形；又因为B、A分别是FG、EH的中点，所以EF//BA，即EF//PA；又EF⊄平面PAN，PA⊂平面PAN，所以EF//平面PAN；且EF∩EM=E，EF⊂平面EFM，EM⊂平面EFM，所以平面EFM//平面PAN；又FM⊂平面EFM，所以FM//平面PAN．【解析】(1)根据题意，计算三棱锥B−EPN的体积为V三棱锥B−EPN=V三棱锥B−AEN−V三棱锥P−AEN；(2)存在点M，M为EN⏜的中点，使得FM//平面PAN；利用线面平行的判定即可证明FM//平面PAN．本题考查了空间中的线面、面面平行的证明问题，也考查了空间几何体体积计算问题，是中档题．21.【答案】解：(1)△ABC中，由bcosAsinC+asinBcosC=√32b，利用正弦定理可得sinBcosAsinC+sinAsinBcosC=√32sinB，因为sinB≠0，所以cosAsinC+sinAcosC=sin(A+C)=sinB=√32，又B∈(0,π)，所以B=π3，或2π3；(2)若△ABC为锐角三角形，由(1)知B=π3，且外接圆的半径为√3，由正弦定理得bsinπ3=2×√3，可得b=3，由正弦定理得asinA =csinC=2√3，所以a+c=2√3(sinA+sinC)；因为A+C=2π3，所以a +c =2√3[sinA +sin(2π3−A)]=2√3×(32sinA +√32cosA)=6sin(A +π6)，又△ABC 为锐角三角形，则0<A <π2，且0<C <π2，又C =2π3−A ，则π6<A <π2，所以π3<A +π6<2π3；所以√32<sin(A +π6)≤1；所以3√3<a +c ≤6，即△ABC 周长的取值范围是(3√3,6]．【解析】(1)由正弦定理，即可求出cos B 以及B 的值；(2)利用正弦定理和三角恒等变换，即可求出a +c 的取值范围，再求△ABC 周长的取值范围．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)数列{a n }各项都是正数，a 1=1，对任意n ∈N ∗都有a 12+a 22+⋯+a n2=a n+12−13，①当n ≥2时，a 12+a 22+⋯+a n−12=a n2−13，②①−②可得3a n2=a n+12−a n 2，化为a n+1=2a n ，由于a 2=2，所以a n =2n ，上式对n =1也成立，所以a n =2n−1，n ∈N ∗；数列{b n }满足b 1=1，b n +b n+1=2n +1(n ∈N ∗)，可得b 2=3−b 1=2，当n ≥2时，b n−1+b n =2n −1，又b n +b n+1=2n +1，两式相减可得b n+1−b n+1=2，所以{b n }的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，可得奇数项为1，3，5，7，...，2n −1，...，偶数项为2，4，6，...，2n ，...，所以b n =n ； (2)c n =b na2n+1=n ⋅(12)2n ，T n =1⋅14+2⋅116+3⋅164+...+n ⋅(12)2n ，14T n =1⋅116+2⋅164+...+n ⋅(12)2n+2，两式相减可得34T n=14+116+...+(12)2n−n⋅(12)2n+2=14(1−14n)1−14−n⋅(12)2n+2，化为T n=49−3n+49⋅14n，若不等式4×3n+9λ<3n+2T n对一切n∈N∗恒成立，即为−9λ>(3n+4)⋅(34)n恒成立，设d n=(3n+4)⋅(34)n，d n+1 d n −1=(3n+7)⋅(34)n+1(3n+4)⋅(34)n−1=9n+2112n+16−1=−3n+512n+16，当n=1时，d2>d1，当n≥2时，d n+1<d n，所以n=2时，d n取得最大值458，则−9λ>458，解得λ<−58，即λ的取值范围是(−∞,−58).【解析】(1)由数列的递推式，结合等比数列和等差数列的定义、通项公式，可得所求；(2)由等比数列的求和公式和数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立思想，结合数列的单调性，计算可得所求范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

四川省成都市蓉城名校联盟2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题文含解析

四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知向量＝（1，4），＝（2，﹣m），⊥，则m＝（）A．8 B．﹣8 C．D．2．已知实数a，b满足a＜b，则下列关系式一定成立的是（）A．a2＜b2B．ln（b﹣a）＞0 C．D．2a＜2b3．下列说法正确的是（）A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台C．正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的D．利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是4．在△ABC中，点D在BC边上，且，则（）A．B．C．D．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，，，则b＝（）A．1 B．2 C．D．1或26．某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图．圆柱表面上的点P在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点Q在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从P到Q的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b+c＝10，，则S△＝（）ABCA．B．C．D．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a12＞0，a11+a12＜0，则满足S n＞0的最小正整数n 的值为（）A．22 B．23 C．24 D．259．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．B．2πC．D．10．设a＞0，b＞0，若a+b＝1，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111．已知A，B是球O的球面上两点，，P为该球面上动点，若三棱锥O﹣PAB 体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．24πD．36π12．已知数列{a n}满足，S n为{a n}的前n项和，则S20＝（）A．300 B．320 C．340 D．360二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)

2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．下列几何体是旋转体的是（）A．五棱柱B．六棱锥C．八棱台D．球2．已知a＞b，则下列不等式成立的是（）A．2a＞b B．a＞2b C．|a|＞b D．a＞|b|3．已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图为△A'B'C'，如图，若A'B'＝3，A'C'＝2，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．3D．64．若α∈（0°，180°），且cos（α+20°）cos20°+sin（α+20°）sin20°＝，则tanα＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．一个简单组合体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图中的圆半径都为3，正视图和侧视图的下半部分都为正方形，则该几何体的体积为（）A．54πB．63πC．72πD．90π6．已知{a n}为等比数列，且a1＝32，a2a3＝128，设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．13B．14C．15D．167．若x＞，则3x+的最小值为（）A．7B．4C．9D．28．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1＝，a1＝﹣2，则S97＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣79．△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2n，则a9＝（）A．510B．512C．1022D．102411．已知sin（α+）＝，则sin（﹣2α）＝（）A．B．C．﹣D．﹣12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S99＝，函数f（x）＝sin2x﹣3cos2x+，则f（a1）+f（a2）+…+f（a99）＝（）A．66B．33C．99D．88二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．求值：＝．14．△ABC中，BC＝6，AC＝2，∠BAC＝90°，把△ABC绕直线AB旋转一周，则形成的旋转体的侧面积为．15．关于x的不等式tx2+tx+5＞0的解集为R，则实数t的取值范围是．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝3，2S n＝（n+1）a n，设b n＝a n a n+1（）n，则数列{b n}的最大项的值为．三、解答题：本题共6小题，共70分。

四川省成都市蓉城高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

2023~2024学年度下期高一期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知()()2,4,6,a b λ==- ，且a b ⊥，则λ的值为（）A ．12-B ．3C ．12D ．3-2．下列说法正确的是（）A ．垂直于同一条直线的两直线平行B ．平行于同一平面的两个平面平行C ．过平面外一点只有一条直线与这个平面平行D ．直角三角形绕边旋转一周一定形成一个圆锥3．在ABC 中，已知1BC =，记,AB c AC b ==，则b c -= （）A ．3B ．2C ．1D ．44．定义：a c ad bc b d ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则满足0cos cos ab A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童ABCD EFGH -中，4,2,8,4AB AD EF EH ====，平面ABCD 与平面EFGH 之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（）A ．36B ．46C ．56D ．666．在边长为1的正ABC 中，,AB a AC b == ，且2,32m a b n a b =+=-+ ，则m 与n的夹角为（）A ．2π3B ．π3C ．π6D ．5π67．某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（）A ．线段AB 与GH 所在的直线异面B ．线段CD 与EF 所在的直线平行C ．线段CD 与GH 所在的直线所成的角为60︒D ．线段AB 与EF 所在的直线相交8．已知向量,a b ，记sin ,a b a b a b ⊗=.如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=︒，且1112AB AA ==，则下列结论错误的是（）A ．113A C BD ⊗=B ．12BA C D ⊗= C ．119DA D B ⊗=D ．1192A D AC ⊗=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法正确的有（）A ．若2223b c a bc +=-，则5π6A =B ．若sin2sin2A B =，则A B =C ．cos cos a B b A c +=D ．若53sin ,cos 135A B ==，则16cos 65C =-或3365-10．将函数sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到()y f x =的图象，再将()y f x =的图象向右移π6个单位长度得到()y g x =的图象.已知()y g x =的图象过点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的值可以为（）A ．14B ．12C ．2D ．411．2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为12π的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体1111ABCD A B C D -，设P 为外壳上的一个动点，则（）A ．存在无数个点P ，使得//PA 平面1111D C B A B ．当平面1PAA ⊥平面11CB D 时，点P 的轨迹长度为2πC ．当//PA 平面11A B CD 时，点P 的轨迹长度为2πD ．存在无数个点P ，使得平面PAD ⊥平面PBC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知,m n 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量m n -在向量n 上的投影向量为.13．坐落于四川省资阳市安岳县的秦九韶纪念馆是四川省第五批省级爱国主义教育基地之一.南宋著名数学家秦九韶在湖州为母亲守孝三年时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，它是中国朴素理学思想运用于生活实际的伟大数学成果.书中提出了三斜求积术，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，S 表示ABC 的面积，其公式为222222142a c b S a c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若已知sin :sin :sin 2:7A B C =，且2732S =，则ABC 的周长为.14．在空间内，若60AOB BOC AOC ∠=∠=∠= ，则直线OA 与平面OBC 所成角的余弦值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()3m a b =u r，()cos ,sin ,,2n A B m n BD DC == ∥.(1)求角A ；(2)若2AB AC ⋅=，求ADC △的面积ADC S △.16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，E 是棱1D D 的中点，F 是棱1BB 上的动点.(1)求证：1//D B 平面ACE ；(2)求证：AC DF ⊥.17．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知23cos 3cos c b C c B =+，9cos ,16B ABC =△(1)求b 的值；(2)求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，Q 为棱PC 的中点，底面ABCD 为平行四边形，22,30,AB AD ABD PD ==∠=︒⊥平面ABCD ，直线BP 与底面ABCD 所成的角为45︒.(1)证明：BC ⊥平面PBD ；(2)求三棱锥A BCQ -的体积；(3)求直线DQ 与平面PBD 所成角的正弦值.19．已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭仅满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)请找出函数()f x 满足的三个条件，并说明理由和求出函数()f x 的解析式；(2)若函数()()πcos 23g x f x n x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在π4x =处取得最大值，求实数n 的值及()g x 的值域；(3)若函数()f x 在[]0,t 上的最大值比最小值大1，求实数t 的值.1．B【分析】根据向量垂直的坐标表示，即可求解.【详解】由a b ⊥ ，则()2640a b λ⋅=⨯-+=，得3λ=.故选：B 2．B【分析】根据线线，线面，和面面的位置关系，即可判断选项.【详解】A.垂直于同一条直线的两直线平行，相交，或异面，故A 错误；B.平行于同一平面的两个平面平行，故B 正确；C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故C 错误；D.直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥，绕斜边旋转一周，形成上下两个圆锥，两个圆锥的底面重合，故D 错误.故选：B 3．C【分析】根据向量减法运算，再求模.【详解】1b c AC AB BC -=-==.故选：C 4．A【分析】根据所给定义得到cos cos 0a B b A -=，由正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式得到A B =，即可得解.【详解】因为0cos cos ab A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以cos cos 0a B b A -=，由正弦定理可得sin cos sin cos 0A B B A -=，即()sin 0A B -=，又()0,πA ∈，()0,πB ∈，所以()π,πA B -∈-，所以0A B -=，即A B =，所以ABC 为等腰三角形.故选：A5．C【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可求解.【详解】由//AB EF ，//AD EH ，//BC FG ，//DC HG ，且AB AD BC DCEF EH FG HG===，则,,,EA FB GC HD 交于同一点P ，该“刍童”为四棱台，矩形ABCD 的面积为428⨯=,矩形EFGH 的面积为8432⨯=,且上下底面的高为3，所以四棱台的体积(18323563V =+⨯=.故选：C 6．A【分析】首先求出a b ⋅，再根据数量积的运算求出m n ⋅ ，m ，n ，最后由夹角公式计算可得.【详解】因为在边长为1的正ABC 中，AB a =，AC b = ，所以1==a b r r ，1cos 602a b a b ⋅=︒=,所以2217(2)(32)626222m n a b a b a a b b ⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=-，m ===n == 所以712cos ,||||2m n m n m n -⋅==-，因为[],0,πm n ∈ ，所以2,π3m n =．故选：A ．7．C【分析】首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项.【详解】由正方体展开图还原正方体如下图所示：线段AB 与GH 所在的直线相交，故A 错误；线段CD 与EF 所在的直线异面，故B 错误；如图连接HM ，GM ，由正方体的性质可知//HM CD ，HMG △为等边三角形，所以60GHM ∠=︒为CD 与GH 所在的直线所成的角，故C 正确；如图连接BG ，则//EF BG ，BG ⊂平面ABG ，EF ⊄平面ABG ，所以//EF 平面ABG ，又AB ⊂平面ABG ，所以EF 与AB 不相交，故D 错误.故选：C 8．C【分析】根据直棱柱的性质求出相应的线段的长度，利用余弦定理求出相应的角的正弦值，再由所给定义计算可得.【详解】对于A ：因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形且60ABC ∠=︒，所以ABC 为等边三角形，所以1AC AB ==，设AC BD O = ，则AC BD ⊥，且2BD BO ==11//AC A C 且11AC A C =，即11AC AC = ，所以11π1sin 2A C BD AC BD ⊗=⊗== ，故A 正确；对于B ：因为11BACD =，在11Rt C D D 中12DD =，111C D =，所以1C D =，所以11sin5DC D ∠=，所以111125125BA C D C D C D ⊗=⊗=⨯= ，故B 正确；对于C ：因为11DA D A =，1A B =1D B =，所以222111cosBD A +-∠==所以11sin BD A ∠=所以11DA D B ⊗= ，故C 错误；对于D ：因为1AD =1CD ==1AC =，所以22211cos10CAD +-∠==，所以1sin CAD ∠所以195110192A D AC ⊗== ，故D 正确.故选：C9．AC【分析】根据余弦定理判断A ，根据三角函数，得到角的关系，判断B ，根据余弦定理变形判断C ，根据两角和的余弦公式判断D.【详解】A.根据余弦定理2223cos 22b c a A bc +-==-，所以5π6A =，故A 正确；B.若sin2sin2A B =，则22A B =或22180A B +=o ，所以A B =或90A B += ，故B 错误；C.222222cos cos 22a c b b c a a B b A a b c ac bc+-+-+=⨯+⨯=，故C 正确；D.3cos 5B =，则4sin 5B =，sin sin A B <，所以A B <，则角A 是锐角，则12cos 13A =,()16cos cos cos sin sin 65A B A B A B +=-=，()()16cos cos 180cos 65C A B A B ⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，故D 错误.故选：AC 10．CD【分析】首先求函数()g x 得到解析式，再根据函数的性质，代入2π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】根据三角函数图象的变换规律可知，()sin f x x ω=，()πsin 6g x x ω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()y g x =的图象过点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2πππsin sin 0362ωω⎛⎫-=⋅=⎪⎝⎭，则ππ,Z 2k k ω⋅=∈，所以2,Z k k ω=∈.所以ω的值可以为2或4.故选：CD 11．ACD【分析】根据面面平行的性质判断A ，根据1AC ⊥平面11CB D ，判断点P 的轨迹，判断B ，根据面面平行的性质定理，判断点P 的轨迹，即可判断C ，若平面PAD ⊥平面PBC ，确定点P 的轨迹，即可判断D.【详解】该球的表面积24π12π==S r ，所以r =，且正方体的棱长a ，满足2234a r =，则2a =，A.由题意可知，平面//ABCD 平面1111D C B A ，且//PA 平面1111D C B A ，故PA ⊂平面ABCD ，则点P 的轨迹为正方形ABCD 的外接圆，故有无数个点P 满足，故A 正确；B.易知1AC ⊥平面11CB D ，且平面1PAA ⊥平面11CB D ，PA ⊂平面1PAA ，故点P 的轨迹为矩形11AA C C 的外接圆，其周长为2π23πr =，故B 错误；C.因为//PA 平面11A B CD ，设过PA 且与平面11A B CD 平行的平面为α，则P 的轨迹为α与外接球的交线，其半径为12a =，周长为2π，故C 正确；D.若平面PAD ⊥平面PBC ，则点P 在以ABCD 为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点P 满足，故D 正确.故选：ACD12．12m .【分析】设,OA m OB n == ，则m n BA -= ，且1m n m n ==-= ，取OA 的中点C ，得到BC OA ⊥且12CA =，结合向量的投影的定义，即可求解.【详解】如图所示，设,OA m OB n == ，则m n OA OB BA -=-= ，因为,m n 是夹角为60°的两个单位向量，可得1m n m n ==-= ，取OA 的中点C ，可得BC OA ⊥，可得12CA =，所以向量m n - 在向量n 上的投影向量为12m .故答案为：12m .13．15+【分析】由正弦定理可得::2:3a b c =()20a t t =>，则3b t =，c =，再由所给面积公式求出t ，即可得解.【详解】因为sin :sin :sin 2:A B C =由正弦定理可得::2:3a b c =()20a t t =>，则3b t =，c =，又S =即2222222479347227t t t t t ⎛⎫+-- ⎪⎝⨯=⨯⎭，解得3t =（负值已舍去），所以15ABC C a b c =++=+故答案为：15+14．3【分析】首先构造线面角，根据直线OA 在平面OBC 的射影为BOC ∠的角平分线，结合几何关系，即可求解.【详解】如图，过点A 作AD ⊥平面BOC ，垂足为点D ，点D 在BOC ∠的平分线上，作DE OC ⊥，连结,OD AE ，因为AD ⊥平面BOC ，OC ⊂平面BOC ，所以AD OC ⊥，且DE OC ⊥，AD DE D ⋂=，,AD DE ⊂平面ADE ，所以OC ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以OC AE ⊥，设OA a =，则2aOE =，30DOE ∠= ，所以OD a =，所以3cos 3AOD a ∠==，所以直线OA 与平面OBC所成角的余弦值为3.15．(1)π3【分析】（1）由向量平行坐标表示可得sin cos a B A =，由正弦定理边化角可得tan A ，由此可得A ；（2）利用向量的数量积得出ab ，再根据向量关系得出线段比例，再结合三角形面积公式即可求.【详解】（1）由//m n得：sin cos a B A =，由正弦定理得：sin sin cos B A B A =，()0,πB ∈ ，0sinB ∴≠，sin A A ∴=，则tan A =()0,πA ∈ ，π3A ∴=.（2）因为cos 22ab AB AC ab A ⋅=== ，所以4ab =，111π12,sin 433236ADC ABC BD DC S ab =∴==⨯⨯⨯=⨯⨯ 16．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，通过构造中位线，即可证明；（2）（1）利用垂直关系，转化为证明AC ⊥平面11BDD B ，即可证明线线垂直.【详解】（1）连结DB ，交AC 于点O ，连结OE ，点,E O 分别是1,DD DB 的中点，所以1//OE D B ，又因为1D B ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以1//D B 平面ACE ；（2）因为1D D ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以1D D AC ⊥，又因为AC BD ⊥，1BD D D D ⋂=，1,BD D D ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，且DF ⊂平面11BDD B ，所以AC DF ⊥.17．(1)5b =33716-【分析】（1）首先根据正弦定理边化角，再根据三角恒等变换，以及面积公式求,a c ，再根据余弦定理求b ；（2）根据三边求cos A ，再求sin A ，再根据二倍角公式和两角和的余弦公式，即可求解.【详解】（1）由23cos 3cos c b C c B =+，根据正弦定理边化角，得()2sin 3sin cos 3sin cos 3sin 3sin C B C C B B C A =+=+=,即2sin 3sin C A =，则23c a =，①由9cos 16B =，得57sin B =由157157sin 2324ABC S ac B ac === 24ac =②，由①②得4,6a c ==，由余弦定理可知，22292cos 16362462516b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=,所以5b =；（2）由（1）可知，4,6a c ==，5b =，所以2223cos 24b c a A bc +-==，则7sin 4A =,sin 22sin cos 8A A A ==，21cos22cos 18A A =-=，πππcos 2cos 2cos sin 2sin 66616A A A ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.18．(1)证明见解析(2)14【分析】（1）根据题意及余弦定理可求出BD ，从而根据勾股定理逆定理可得AD BD ⊥，从而可得BC BD ⊥，又易知BC PD ⊥，进而可得BC ⊥平面PBD ；（2）先根据线面角求出PD ，再转化三棱锥的顶点与底面，可得三棱锥A BCQ -的体积为：111222A BCQ Q ABC P ABC P ABCD V V V V ----===⨯，再计算即可得解；（3）取PB 中点H ，则易证QH ⊥平面PBD ，从而可得所求角为QDH ∠，再解三角形，即可求解．【详解】（1）底面ABCD 为平行四边形，22AB AD ==，30ABD ∠=︒，∴根据余弦定理2222cos AD BD AB BD AB ABD =+-⋅∠，即2221222BD BD =+-⨯⨯BD =，222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，又//AD BC ，BC BD ∴⊥，又PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PD ∴⊥，又BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PBD ，BC ∴⊥平面PBD ；（2）PD ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，∴直线BP 与底面ABCD 所成的角为PBD ∠，即45PBD ∠=︒，又BD =PD ∴=又Q 为PC 的中点，Q ∴到平面ABCD 的距离等于P 到平面ABCD 的距离的12，∴三棱锥A BCQ -的体积为：111222A BCQ Q ABC P ABC P ABCDV V V V ----===⨯1111434=⨯⨯=；（3）如图，取PB 中点H ，连接QH ，又Q 为PC 的中点，//QH BC ∴且1122QH BC ==，由（1）知BC ⊥平面PBD ，QH ∴⊥平面PBD ，∴直线DQ 与平面PBD 所成角为QDH ∠，又DH ⊂平面PBD ，QH DH ∴⊥，又()221172322DQ PC ==⨯+172sin 72QH QDH DQ ∴∠==，故直线DQ 与平面PBD 所成角的正弦值为77．19．(1)理由见解析，()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)23n =-，值域为[]4,4-(3)π4t =【分析】（1）首先由条件，判断③不成立，再根据函数的性质，求函数的解析式；（2）由条件2π14g n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求解n 的值，再化简函数()g x ，求解函数的值域；（3）分析正弦函数的图象和性质，先确定函数()f x 的最大值，再确定函数的最小值，即可求解t .【详解】（1）()0sin f A ϕ=，因为0A >，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()00f >，()01f =-与()00f >矛盾，所以③不成立，则满足条件的三个条件为①②④，由②可知，2A =，由①可知，2ω=，ππ2sin 063f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知，()ππ2sin 2cos 233g x x n x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意可知，πππ2cos sin 433g n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即312n -n =-()ππ2sin 2cos 233g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ4sin 24sin 233x x ⎛⎫=+-= ⎝⎭，所以函数()g x 的值域是[]4,4-；（3）()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x t ∈，则πππ2,2333x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()0f =ππ232t +=时，得π12t =，π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21<，所以在区间[]0,t 上，函数()f x 的最大值为2，最小值为1，则π5π236t +=，得π4t =.。

四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

22．在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b = 2 ， c = b cos A ． (1)求角 B；
(2)求
1 a
+
1 c
的最小值；
(3) e O 为 VABC 的外接圆，P 为 e O 外一点，过 P 点作 e O 的切线，切点分别为
E，F，求
uuur PE
×
uuur PF
0)
，
D
(1,1)
，则
uuur AB
在
uuur CD
方向上的投影向量为（
）
A．
æ çè
1 2
,
-
1 2
ö ÷ø
B．
æ çè
-
1 2
,
1 2
ö ÷ø
C．
æ ççè
2 2
,
-
2ö 2 ÷÷ø
D．
æ ççè
-
2 2
,
2ö 2 ÷÷ø
5．已知
sin
æ çè
x
+
5π3ö 12 ÷ø
=
2
，则
cos
æ çè
2x
+
则有 SVABC
=
1 2
AB ×
AC
× sin
A
= 1 ，可得 sin
A
=
1 2
，又 0°
<
A
< 180° ，则
A
=
30°
，
答案第21 页，共22 页
而△≌ABC PBC ，则 ÐCPB = 30° ，又△PAB，△PAC 为正三角形，将三棱锥沿侧棱 PA 展开，得到如图所示的多边形，其中 ÐAPA¢ = 60° + 60° + 30° = 150° ，

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期高2026届期末考试数学试卷答案

成都七中高2026届高一下期数学期末考试参考答案一．单项选择题−14：CBDD −58：BCAB8．解析：设D 为BC 边中点，则23A A A AD O G O ⎛⎫= ⎪⎝⎭21()32A AO AC B =+()AB AO AC =+312211AB AC =+66=+b c 6()122, 在∆ABC 中,==︒a A 1,60,由余弦定理得=+−︒a b c bc 2cos 60222,∴+=+b c bc 122, 由均值不等式,+=+≥bc b c bc 1222,所以≤bc 1（当且仅当==b c 1等号成立）, 所以1111()(1)(11)6663A AG O c b bc =+=+≤+=22,故选B. 二．多项选择题9．BC 10．BCD 11．AC11．解析：A ：当⊥'AP A B 时，线段DP 长度最小，此时=AP =DP ，A 正确；B ：将面''A D CB 旋转至面'A AB 同一平面，连接AC ，此时+=AP PC AC 为最小值，=>=AC 不存在这样的点P ，故B 错误； C ：如图，取='B E 1，='B F 21，='A G 23，连接FG 交'A B 于P ，易证此时⊥'A C MN ，⊥'A C EN ，且M N E F G ,,,,五点共面．因为MN EN N =，面⊥'A C MNEFG ，所以存在这样的点P 使面⊥'A C MNP ，故C 正确； D ：以点B 为球心，617为半径的球面被面'AB C 所截的截面为圆形，记其半径为r ，则=r d 为点B 到平面'AB C 的距离．由=−−''V V B ABC B AB C 易求得B 到平面'AB C 的距离为34，解得=r 25，所以截面面积==ππS r 4252，D 错误．本题选AC 三．填空题12．1030013．π32814．+3214．解析：取AB 中点D ，则2AQ m AB nAC m AD nAC =+=+ ；连接CD 交AQ 于点E ，则()1AE AD AC λλ=+−，且()()1AQAQAQ AE AD AC λλ=⋅=⋅+−AE AE ，故+=AE m n AQ2．17．解：I ()设事件=A i “第i 回合甲胜”,事件=M “甲至少赢一回合”,故=M “甲每回合都输”.A A i i ,为对立事件,=P A i 32(),故=P A i 31)(. ……2分 =−=−P M P M P A A A ()1()1()123⎝⎭ ⎪=−=⎛⎫P A P A P A 3271=12631()()()-123，故甲至少赢1个回合的概分为2726． ……5分(II)设事件=N “第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =，且A A 12和A A 12互斥，则=+=⋅+⋅=P N P A A P A A P A P A P A P A 9()512121212)()()()()()(, 故第二回合有人得分的概分为95. ……10分 (III)设事件=Q “甲乙两人平局”，由题可知，只有1：1与0：0两种情况，因此13123Q A A A A A A =2，故=+=P Q P A A A P A A A P A P A P A ()221312313)()()()()(+=P A P A P A 274123)()()(, 故甲乙两人平局的概分为274. ……15分18．解：(I)由正弦定理得，+=a c b 2,222解得=b ….…4分又因为+−=−<b c a 20222，故=<+−bcA b c a 2cos 0222，>πA 2，所以△ABC 是钝角三角形． …………6分 (II)由平面向量基本定理，BA ，BC 可作为一组基底向量，且有2BA =，4BC =，cos ,cos BA BC B <>===+−ac a c b 285222．由于1AD AC =3，所以21BD BA BC =+33． …………8分 2222212152()2cos BD BD BD BA BA BC B BC ⎛⎫=⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅== ⎪33339． …………11分 (III) 由题意可设BM xBA = ，BN yBC = ．由于M ，D ，N 三点共线，可设(1)BD t BM t BN =−+，∈t 0,1)(．所以21(1)BD t x BA ty BC BA BC =−⋅+⋅=+33，由平面向量基本定理，解得()−=t x 312 ，=ty 31 ，所以()2BM BA =−t 31 ，1BN BC =t 3 ． …………13分因此()212BM BN BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⋅t t t t 3139(1)， …………15分而cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，因此当=t 21时，40BM BN ⋅=9为最小值． ……17分19．证明：(I)因为面平⊥A D ABC 1，面平⊂BC ABC ，故⊥A D BC 1． ……2分又由∠=︒ABC 90，即⊥AB BC ，1AB A D D =，因此面平⊥BC ABB A 11．……5分 (II)由于菱形ABB A 11，且A D 1为AB 的垂直平分线，因此可知△A AB 1和△B A B 11均为等边三角形．由面平⊥BC ABB A 1，⊂BB 1面平ABB A 1，可得⊥BC BB 1，结合斜三棱柱进一步可得B BCC 11是矩形． …………6分此时作⊥A P BB 11，⊥A Q CC 11，连接PQ ，PC ，A C 1．由题知，=A Q 21，面平⊂A P ABB A 111，可得⊥BC A P 1，1BC BB B =，因此⊥A P 1平面BCC B 11，因此由题知，=A P 1，⊂PQ PC 平面BCC B 11，所以也有⊥A P PQ 1，⊥A P PC 1．因此，角成所为面平与∠A CP A C BB C C 1111． …………8分进一步，在△R A PQ t 1 中，==Q P 1 ，由矩形可知==BC PQ 1 ．一一方面，由于=A P 1△B AB 1中，可以解得=BB 21，P 为BB 1中点，=BP 1．所以，在△R BCP t 中，PC △A CP R t 1中，=A C 1∠===A C A CP A P 5sin 111，值弦正的角成所面平与A C BBC C 111． ……11分 (III)延长EF ，C C1交于点M ，连接MB 1，交BC 于N ，连接FN ，如右图，故四边形B EFN 1即为所得截面． ………12分由上一问可知，菱形ABB A 11的边长为2，矩形B BCC 11中=BC 1，平行四边形ACC A 11中==AA CC 211，===A C A C AC 111．要计算截面B EFN 1的面积，首先研究△B EM 1．在△A B E 11中，由于∠=︒EA B 12011，由余弦定理可得=B E 1，E F 为中点，因此===EM EF A C 21，此时有==MC AE 1，在直角△MB C 11中=MB 1，N 为BC 的三等分点． …………14分因此△B EM 1中，由余弦定理可得⋅⋅∠==+−EM MB EMB EM MB EB 25cos 1121221，所以可以计算得∠=EMB 5sin 1．设截面面积为S ，由于=MF ME 21，=MN MB 311，有△△△=−=⋅⋅∠−⋅⋅∠=S S S ME MB EMB MF MN EMB S B EM NFM B EM 226sin sin 11511111因此，此斜三棱柱被平面B EF 1 ……………17分。

2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)

2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z =(2−ai)(1+2i)为纯虚数，则实数a =( )A. −2B. 2C. −1D. 12.已知向量a =(2,−1)，b =(k,2)，且(a +b )//a ，则实数k 等于( )A. −4B. 4C. 0D. −323.已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γC. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//nD. 若m//α，m//β，则α//β4.如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为线段AC 和线段A 1B 的中点，求直线MN 与平面A 1B 1BA 所成角为是( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 75∘5.已知cos 2α=23，则cos(π4−α)cos(π4+α)的值为( )A. 13B. 23C.23 D.2 296.设a ，b 为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为−12b ，则|a−b |=( )A. 1B. 2C.2D.37.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H(单位：米，记水筒M 在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式H =2sin(π30t +φ)+54，φ∈(0,π2)，且t =0时，盛水筒M 位于水面上方2.25米处，当筒车转动到第80秒时，盛水筒M 距离水面的高度为( )米．A. 3.25B. 2.25C. 1.25D. 0.258.已知角α，β满足cos α=13，cos (α+β)cos β=14，则cos (α+2β)的值为( )A. 112B. 18C. 16D. 14二、多选题：本题共3小题，共15分。

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四川省成都市高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高一下·和平期末) 一个算法的步骤如下：
第一步：输入正数m的值；
第二步：求出不超过m的最大整数x；
第三步：计算y=2x+x；
第四步：输出y的值．
如果输出y的值为20，则输入的m值只可能是下列各数中的（）
A . 3.1
B . 4.2
C . 5.3
D . 6.4
2. （2分）按如图所示的程序框图，在运行后输出的结果为（）
A . 66
B . 65
C . 55
D . 46
3. （2分） (2020高二上·建瓯月考) 已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：
x24568
y3 4.5m7.59
若其回归直线方程是，则m=（）
A . 5.5
B . 6
C . 6.5
D . 7
4. （2分）(2020·温州模拟) 设实数满足条件则的最大值为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
5. （2分）(2019·和平模拟) 已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，设
则的大小关系是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（）
A . 0
B . 1
C . 0或1
D . 0或﹣1
7. （2分）从某年级名学生中抽取名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）
A . 名学生是总体
B . 每个被抽查的学生是个体
C . 抽查的名学生的体重是一个样本
D . 抽查的名学生的体重是样本容量
8. （2分）在2和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（）
A . ±64
B . 64
C . ±16
D . 16
9. （2分） (2019高二上·湖北期中) 有下列四个命题
①“若，则”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则无实根”；④“若，则”的逆否命题.
其中真命题的个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 0
10. （2分）从只含有二件次品的10个产品中取出三件，设为“三件产品全不是次品”，为“三件产品全是次品”，为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）
A . 事件与互斥
B . 事件C是随机事件
C . 任两个均互斥
D . 事件B是不可能事件
11. （2分） (2018高二上·会宁月考) 如果，且，那么的大小关系为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2016高二上·方城开学考) 数列1 ，2 ，3 ，4 ，…的前n项和为（）
A . （n2+n+2）﹣
B . n（n+1）+1﹣
C . ﹣
D . n（n+1）+2（1﹣）
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2018高二上·孝昌期中) 二进制数110101转化为六进制数是________
14. （1分）(2018·河北模拟) 在中，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.
15. （2分）某学员在一次射击测试中射靶6次，命中环数如下：9,5,8,4,6,10，
则：
平均命中环数为________；命中环数的方差为________．
16. （1分） (2016高一下·宝坻期末) 己知a＞0，b＞0，c＞1且a+b=1，则（﹣2）•c+ 的最小值为________．
三、解答题 (共5题；共45分)
17. （5分） (2016高二上·大连期中) 已知命题p：“ =1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，
命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
18. （10分） (2019高二上·城关月考) 在中，角的对边分别为，若向量
，，且，
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值.
19. （10分）(2018·延安模拟) 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量（单位：克）分别在，，，，，中，经统
计得频率分布直方图如图所示.
（1）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率；
（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
方案：所有芒果以10元/千克收购；
方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
20. （10分）(2020·漯河模拟) 已知等差数列的公差，其前项和为，且，
成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和 .
21. （10分） (2019高三上·双鸭山月考) 已知 .
（1）当时，① 在处的切线方程；②当时，求证： .
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共45分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、20-1、20-2、
21-1、
21-2、
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