讲义弧、弦、圆心角例题及答案 基础知识

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

内容提要

1. 圆的旋转不变性

圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度,都能够和原来的图形重合。

圆所特有的性质——圆的旋转不变性

圆绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角,弦心距的概念.

顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧AB是∠AOB所对的弧,弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.

圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。

同样还有:

在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等

在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都也相等。

4. 1°的弧的概念. (投影出示图7-59)

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

这里指的是角与弧的度数相等,而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=,这是错误的。

【典型例题】

例1. 判断题,下列说法正确吗?为什么?

(1)如图所示:因为∠AOB=∠A′OB′,所以=.

(2)在⊙O 和⊙O ′中,如果弦AB=A ′B ′,那么=。

分析:(1)、(2)都是不对的。在图中,因为不在同圆或等圆中,不能用定理。对于(2)也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。

例2. 已知:如图所示,AD=BC 。 求证:AB=CD 。

证:∵AD=BC

⋂=∴BC AD

⋂⋂⋂⋂

⋂+=+∴=BC AC AD AC AC

AC

DC AB AB

DC =∴=∴⋂

变式练习。已知:如图所示,

=

,求证:AB=CD 。

证:∵⋂

⋂⋂

⋂==AC AC BC AD

∴⋂

⋂⋂⋂+=+AC BC AC DA

=∴AB DC CD AB =∴

例3. 在圆O

求证:∠

证:⋂=AB

AOB AC AB ACB AC

AB =∠∴=∴=∠=∴

例 ⎧=ON OM

⋂=∴=∴=DB AC DB AC OD OC ,, 法三:由法二 ∴AC=CO=AO OD=OB=DB

∴∠AOC=∠BOD=60°

∵CD 为直径

∴∠AOC=∠COB=120° ∴∠AOC=∠COB=∠AOB ∴∠BOC=∠C=70° ∵∠BOD+∠BOC=180°

∴∠BOD=180°-70°=110°

∴OM=ON ∵OA=OC

CN AM

NCO Rt

MAO Rt

=

∆≅

∵OM、ON过圆心

OM⊥AB,ON⊥CD

∴AB=2AM

CD=2CN

∴AB=CD

法二:由法一,OM=ON

∴AB=CD

例10. 圆O中弦AB、CD相交于E,且AB=CD 求证:DE=BE

即BC AD BC AD =∴=⋂

⋂,

在△ACD 和△CAB 中

⎪⎩⎪

⎨⎧===AB DC BC AD AC AC

B

D CAB

ACD ∠=∠∴∆≅∆∴

在△AED 和△CEB 中

⎪⎩⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AD 21B D

BE

DE CEB

AED =∴∆≅∆∴

法二:连DB 、AD 、BC 证CBD

ADB ∆≅∆ ∴∠3=∠4

(2)求AE+BF

O

E

C

D F

M

B

A

证:(1)作OM ⊥EF ∵AE ⊥CD ,BF ⊥CD ∴AE//BF

∵O 为AB 中点,∴EM=MF ∵OM ⊥CD

∴CM=MD ,∴EC=DF (2)AE+BF=2OM ∵⋂

CD 长是圆O 的六分之一 ∴∠COD=60° ∵OC=5

325OM =

35BF AE =+∴

【习题作业】(答题时间:40分钟)

1. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 或 中有一组是相等的,那么,所对应的其余各组量都分别相等。

2. 在⊙O 中的两条弦AB 和CD ,AB>CD ,AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ,则OM__________ON 。

3. 已知:如图,AB=AC ,D 为弧AB 的中点,G 为弧AC 中点,求证:DE=FG 。

4. AB 、

5.

6.

7.

8.

9. 在⊙10. 在⊙O 中,弦AB=8cm ,弦心距为cm 34,求圆心角∠AOB 。

11. 已知:如图,在⊙O中,弦AB=CD,E、F分别为AB、CD的中点。

求证:∠AEF=∠CFE。

12. 已知:如图,EF为⊙O的直径,过EF上一点P作弦AB、CD,且∠APF=∠CPF。

求证:PA=PC。

13. 如图,在⊙O中,弦EF∥直径AB,若弧AE的度数为50°,则弧EF的度数为,弧BF的度数为,∠EOF= °,∠EFO= °。

14. AB为⊙O的直径,C、D为半圆AB上两点,且弧AC、弧CD、弧DB的度数的比为3∶2∶5,则∠AOC= °,∠COD= °,∠DOB= °。

15. 已知⊙O的半径为12cm,弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为1∶5,求∠AOB的度数及弦AB的长。

16. 已知:如图,点O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D。求证:∠OBA=∠OCD。

17. 已知:如图,∠AOB=90°,C、D是弧AB的三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F。求证:AE=BF=CD。

相关文档
最新文档