讲义弧、弦、圆心角例题及答案 基础知识

内容提要

1. 圆的旋转不变性

圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。

圆所特有的性质——圆的旋转不变性

圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角，弦心距的概念.

顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.

圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

同样还有：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。

4. 1°的弧的概念. (投影出示图7－59)

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=，这是错误的。

【典型例题】

例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？

（1）如图所示：因为∠AOB=∠A′OB′，所以=.

（2）在⊙O 和⊙O ′中，如果弦AB=A ′B ′，那么=。

分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。

例2. 已知：如图所示，AD=BC 。 求证：AB=CD 。

证：∵AD=BC

⋂

⋂=∴BC AD

⋂

⋂⋂⋂⋂

⋂+=+∴=BC AC AD AC AC

AC

DC AB AB

DC =∴=∴⋂

⋂

变式练习。已知：如图所示，

=

，求证：AB=CD 。

证：∵⋂

⋂⋂

⋂==AC AC BC AD

∴⋂

⋂⋂⋂+=+AC BC AC DA

⋂

⋂

=∴AB DC CD AB =∴

例3. 在圆O

求证：∠

证：⋂=AB

AOB AC AB ACB AC

AB =∠∴=∴=∠=∴

例 ⎧=ON OM

⋂

⋂=∴=∴=DB AC DB AC OD OC ，， 法三：由法二 ∴AC=CO=AO OD=OB=DB

∴∠AOC=∠BOD=60°

∵CD 为直径

∴∠AOC=∠COB=120° ∴∠AOC=∠COB=∠AOB ∴∠BOC=∠C=70° ∵∠BOD+∠BOC=180°

∴∠BOD=180°－70°=110°

∴OM=ON ∵OA=OC

CN AM

NCO Rt

MAO Rt

=

∴

∆≅

∆

∴

∵OM、ON过圆心

OM⊥AB，ON⊥CD

∴AB=2AM

CD=2CN

∴AB=CD

法二：由法一，OM=ON

∴AB=CD

例10. 圆O中弦AB、CD相交于E，且AB=CD 求证：DE=BE

即BC AD BC AD =∴=⋂

⋂，

在△ACD 和△CAB 中

⎪⎩⎪

⎨⎧===AB DC BC AD AC AC

B

D CAB

ACD ∠=∠∴∆≅∆∴

在△AED 和△CEB 中

⎪⎩⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AD 21B D

BE

DE CEB

AED =∴∆≅∆∴

法二：连DB 、AD 、BC 证CBD

ADB ∆≅∆ ∴∠3=∠4

（2）求AE+BF

O

E

C

D F

M

B

A

证：（1）作OM ⊥EF ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ∴AE//BF

∵O 为AB 中点，∴EM=MF ∵OM ⊥CD

∴CM=MD ，∴EC=DF （2）AE+BF=2OM ∵⋂

CD 长是圆O 的六分之一 ∴∠COD=60° ∵OC=5

325OM =

∴

35BF AE =+∴

【习题作业】（答题时间：40分钟）

1. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 或 中有一组是相等的，那么，所对应的其余各组量都分别相等。

2. 在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。

3. 已知：如图，AB=AC ，D 为弧AB 的中点，G 为弧AC 中点，求证：DE=FG 。

4. AB 、

5.

6.

7.

8.

9. 在⊙10. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，求圆心角∠AOB 。

11. 已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别为AB、CD的中点。

求证：∠AEF=∠CFE。

12. 已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。

求证：PA=PC。

13. 如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则弧EF的度数为，弧BF的度数为，∠EOF= °，∠EFO= °。

14. AB为⊙O的直径，C、D为半圆AB上两点，且弧AC、弧CD、弧DB的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠COD= °，∠DOB= °。

15. 已知⊙O的半径为12cm,弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为1∶5，求∠AOB的度数及弦AB的长。

16. 已知：如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D。求证：∠OBA=∠OCD。

17. 已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。