讲义弧、弦、圆心角例题及答案 基础知识
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内容提要
1. 圆的旋转不变性
圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度,都能够和原来的图形重合。
圆所特有的性质——圆的旋转不变性
圆绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角,弦心距的概念.
顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧AB是∠AOB所对的弧,弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.
圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
同样还有:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都也相等。
4. 1°的弧的概念. (投影出示图7-59)
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
这里指的是角与弧的度数相等,而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=,这是错误的。
【典型例题】
例1. 判断题,下列说法正确吗?为什么?
(1)如图所示:因为∠AOB=∠A′OB′,所以=.
(2)在⊙O 和⊙O ′中,如果弦AB=A ′B ′,那么=。
分析:(1)、(2)都是不对的。在图中,因为不在同圆或等圆中,不能用定理。对于(2)也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。
例2. 已知:如图所示,AD=BC 。 求证:AB=CD 。
证:∵AD=BC
⋂
⋂=∴BC AD
⋂
⋂⋂⋂⋂
⋂+=+∴=BC AC AD AC AC
AC
DC AB AB
DC =∴=∴⋂
⋂
变式练习。已知:如图所示,
=
,求证:AB=CD 。
证:∵⋂
⋂⋂
⋂==AC AC BC AD
∴⋂
⋂⋂⋂+=+AC BC AC DA
⋂
⋂
=∴AB DC CD AB =∴
例3. 在圆O
求证:∠
证:⋂=AB
AOB AC AB ACB AC
AB =∠∴=∴=∠=∴
例 ⎧=ON OM
⋂
⋂=∴=∴=DB AC DB AC OD OC ,, 法三:由法二 ∴AC=CO=AO OD=OB=DB
∴∠AOC=∠BOD=60°
∵CD 为直径
∴∠AOC=∠COB=120° ∴∠AOC=∠COB=∠AOB ∴∠BOC=∠C=70° ∵∠BOD+∠BOC=180°
∴∠BOD=180°-70°=110°
∴OM=ON ∵OA=OC
CN AM
NCO Rt
MAO Rt
=
∴
∆≅
∆
∴
∵OM、ON过圆心
OM⊥AB,ON⊥CD
∴AB=2AM
CD=2CN
∴AB=CD
法二:由法一,OM=ON
∴AB=CD
例10. 圆O中弦AB、CD相交于E,且AB=CD 求证:DE=BE
即BC AD BC AD =∴=⋂
⋂,
在△ACD 和△CAB 中
⎪⎩⎪
⎨⎧===AB DC BC AD AC AC
B
D CAB
ACD ∠=∠∴∆≅∆∴
在△AED 和△CEB 中
⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AD 21B D
BE
DE CEB
AED =∴∆≅∆∴
法二:连DB 、AD 、BC 证CBD
ADB ∆≅∆ ∴∠3=∠4
(2)求AE+BF
O
E
C
D F
M
B
A
证:(1)作OM ⊥EF ∵AE ⊥CD ,BF ⊥CD ∴AE//BF
∵O 为AB 中点,∴EM=MF ∵OM ⊥CD
∴CM=MD ,∴EC=DF (2)AE+BF=2OM ∵⋂
CD 长是圆O 的六分之一 ∴∠COD=60° ∵OC=5
325OM =
∴
35BF AE =+∴
【习题作业】(答题时间:40分钟)
1. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 或 中有一组是相等的,那么,所对应的其余各组量都分别相等。
2. 在⊙O 中的两条弦AB 和CD ,AB>CD ,AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ,则OM__________ON 。
3. 已知:如图,AB=AC ,D 为弧AB 的中点,G 为弧AC 中点,求证:DE=FG 。
4. AB 、
5.
6.
7.
8.
9. 在⊙10. 在⊙O 中,弦AB=8cm ,弦心距为cm 34,求圆心角∠AOB 。
11. 已知:如图,在⊙O中,弦AB=CD,E、F分别为AB、CD的中点。
求证:∠AEF=∠CFE。
12. 已知:如图,EF为⊙O的直径,过EF上一点P作弦AB、CD,且∠APF=∠CPF。
求证:PA=PC。
13. 如图,在⊙O中,弦EF∥直径AB,若弧AE的度数为50°,则弧EF的度数为,弧BF的度数为,∠EOF= °,∠EFO= °。
14. AB为⊙O的直径,C、D为半圆AB上两点,且弧AC、弧CD、弧DB的度数的比为3∶2∶5,则∠AOC= °,∠COD= °,∠DOB= °。
15. 已知⊙O的半径为12cm,弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为1∶5,求∠AOB的度数及弦AB的长。
16. 已知:如图,点O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D。求证:∠OBA=∠OCD。
17. 已知:如图,∠AOB=90°,C、D是弧AB的三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F。求证:AE=BF=CD。