正态分布模型解题

2.4.1正态分布

关于正态曲线性质的叙述：

①曲线关于直线x=μ对称，这个曲线在x 轴上方；

②曲线关于直线x=σ对称，这个曲线只有当x ∈（-3σ，3σ）时才在x 轴上方； ③曲线关于y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数； ④曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定； ⑥σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”； 上述说法正确的是

一、 知识梳理

1．正态分布的重要性

正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。 2．正态曲线及其性质

正态分布函数：22

()21

()2x f x e μσπσ

--

=

，x ∈（-∞，+∞）其中实数(0)

μσσ>和为参数，我们称,()x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

3．标准正态曲线

标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，00()1()x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。 4．一般正态分布与标准正态分布的转化

由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，对于任一正态总体),(2σμN ，

其取值小于x 的概率)()(σ

μ

-Φ=x x F 。只要会用它求正态总体),(2σμN 在某

个特定区间的概率即可。

一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足

,(

a

P a b x dx μσϕ≤=⎰）

则称X 的分布为正态分布，记作2

N μσ（，）

，如果随机变量X 服从正态分布，则记为

2X

N μσ（，）

。 可以发现，正态曲线有以下特点：

（1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2） 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；

（3） 曲线在x μ=处达到峰值

1

2σπ

；

（4） 曲线与x 轴之间的面积为1；

（5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；

（6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 若2X

N μσ（，）

，则对于任何实数0,a >概率 ,(

a

P a a x dx μμσμμμϕ+--≤+=⎰

）

对于固定的μ和a 而言，给面积随着σ的减少。这说明σ越小，X 落在区间

,]a a μμ-+（的概率越小，即X 集中在μ周围概率越大. 特别有

可以看到，正态总体几乎总取值于区间(33)X μσμσ-<≤+之内。而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

在实际应用中，通常认为服从于正态分布2

N μσ（，）的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，简称之为3σ原则

三、 典型例题

例1.

在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即(90,100)N ξ

。

（1） 试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？

（2） 若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大

约有多少人？

变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩(110,25),X N 据此估计，大

约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）

.(90,110]A .(95,125B .(100,125]C .(105,115]D

()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9774.

P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+=

四、反馈测评

1． 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（１）),(,21)(2

2+∞-∞∈=

-

x e

x f x π

（２）),(,221

)(8

)1(2

+∞-∞∈=

--

x e

x f x π

（３）2

2(1)2(),(,)2x f x e x π

-+=∈-∞+∞ 2.若随机变量(2,4)N ξ

-,则ξ在区间(4,2]-上的取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取

值的概率（ ）

.(2,4]A .(0,2]B .(2,0]C - .(4,4]D -

3．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ξ

，则ξ在区间(3,3]-上取值的概率等于（ ）

A.0.6826

B.0.9544

C.0.9974

D.0.3174

4.若一个正态总体落在区间(0.2,)+∞里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f （x ） 在x= 时，达到最高点。

一、选择题

1.下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( )

(1)2

21.()2x A f x e π

--

=

(2)

222

1.()

2x B f x e

σπσ

--

=

()222

1

.()2x C f x e μσπσ

--

=

421.()2x D f x e π

π

-

=

2．函数4

2

1()2x

f x e ππ

-=，()x R ∈的奇偶性为（ ）

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.无法判断

3．若随机变量满足正态分布2

N μσ（，），则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ） A.σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”. B. σ越大，曲线越“瘦高”, σ越小，曲线越“矮胖” C. σ的大小，和曲线的“瘦高”，“矮胖”没有关系 D.曲线的“瘦高”，“矮胖”受到μ的影响 二、填空题 4.随机变量2X

N μσ（，）

，其密度函数f （x ）的最大值是