清华大学研究生弹塑性力学讲义 10弹塑性_结构的塑性极限分析与安定性

和切向速度间断值
⎡⎣vt(k)
⎤⎦
=
v +(k) t
−
v−(k) t
均取了绝对值。
在塑性区中界面两侧切向正应力发生间断的界面则在此虚功率方程中没有反映。
∑ 对于有多条切向速度间断线的情况，式中 S D =
SmD
m=1,2,...
z 下限定理
下限定理表述为：任何一个静力许可的内力场所对应的载荷都是极限载荷的下 限，或者说，静力许可载荷系数是极限载荷系数的下限，即
( )tl−
。检查在该载荷下结构能否成为破坏机构，即是否存在一个对应的机动容许速
max
( ) ( ) 度（或位移）场。若能成为机构，则
tl−
为极限载荷的完全解，即
max
tl−
max = tl ；否
( ) 则， tl− max 为 tl 的一个近似解，且为其下限。
z 机动法
求解步骤为：（1）选择一个破坏机构，该机构不仅是运动许可的，而且应使外力
∫ ∫ ∫ −
V1
σ
ε(s)
ij
&i(jk)dv
+
V1 fi(s)vi(k)dv +
S10 + SD ti(s)vi(k)ds = 0
∫ ∫ ∫ −
V2
σ
ε(s)
ij
&i(jk)dv
+
V2 fi(s)vi(k)dv +
S20 +SD ti(s)vi(k)ds = 0
两式相加即可得到
∫ ∫ ∫ ∫ V
上限，即
η* ≥η
(11)
下面来证明这个定理：
对于真实极限状态的应力场和任一机动场，虚功率方程为
∫ ∫ ∫ V σ ijε&i*jdv + τ SD* n ⎡⎣vt* ⎤⎦ ds = η tSt i vi*ds
(12)
而根据运动许可载荷因子的定义可得：
∫ ∫ ∫ V σ i*jε&i*jdv + τ SD* s ⎡⎣vt* ⎤⎦ ds = η* tSt i vi*ds
弹塑性力学
第九章 结构的塑性极限分析与安定性
弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力的最大值。按塑性极限承载能力 进行结构设计，不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以得到反映结构真实安 全裕度的参数。为了确定结构的塑性极限载荷，可以采用弹塑性分析的方法，即随着 载荷的不断增加，结构由弹性状态进入弹塑性状态，最后达到塑性极限状态。在这种 分析方法中，需要了解整个加载过程，而且由于材料的物理关系是非线性的，只有对 比较简单的问题才不难求解。如果不考虑结构的变形过程，而直接分析它的塑性极限 状态，则使问题的分析大为简化，所得塑性极限载荷与按弹塑性分析方法所得结果是 完全一样的，这就是塑性极限分析的方法。
τ
0 n
⎡⎣vt ⎤⎦ ds
(9)
考虑到：外载一定做正功，即
∫ tSt i vi ds > 0
⎯3⎯
第九章 结构的塑性极限分析与安定性
静力许可应力不能违反屈服条件，因此
τs
−
τ
0 n
≥0
同时，对于刚塑性稳定材料，由 Drucker 公设可得
于是，η0 ≤ η 得到证明。
( ) σij
−
σ
0 ij
ε&ij ≥ 0
η (s) ≤ η
(6)
为简单起见，下面将上标“ (s) ”用上标“0”来代替，根据实际应用场合的情
况，不妨略去体积力，而将给定表面力表示为给定面力分布函数与载荷因子的乘积
ti = η ti 。 下面来证明这个定理：
对于真实的极限状态，虚功率方程为
∫ ∫ ∫ V σ ijε&ijdv + τ SD s ⎡⎣vt ⎤⎦ ds = η tSt i vi ds
对于理想塑性材料而言，其屈服面是固定的，不因加载历史不同而发生改变。因 此可以证明，在载荷空间内的极限曲面也是固定不变的，与加载的历史无关。
极限状态具有如下重要性质：(1) 在极限状态下，应变率的弹性部分恒为零，即 塑性流动时的应变率是纯塑性的应变率；(2) 塑性极限状态与加载路径和变形历史无 关，对于给定的载荷分布而言，极限状态是唯一的。
=
λ&sij sij
。机动场的应力在机动场应变率上的塑性耗散功率为
σ
ε*
ij
* ij
=
λ&si*j si*j
，由于它和真
实极限状态在同一屈服面上，因此 σ ijε&ij
=
σ
ε&* *
ij ij
。考虑到真实极限状态的应力偏量和机
( ) 动场的应变率可能不共线，因此σijε&i*j
≤
σ
ε&* *
ij ij
足面力边界条件，
ε
(k) ij
,
u (k) i
是运动许可（几何许可）状态的应变和位移，位移单值连
续，应变和位移之间满足几何方程，则由广义 Gauss 公式易证：
∫ ∫ ∫ −
σ ε dv (s) (k)
V ′ ij ij
+
V′
fi
(s)
u (k) i
dv
+
S′
t (s)
i
u (k) i
ds
=
0
(1)
应变率 ε&ipj 和屈服面正交，它和应力偏量 sij 均在与 π 面平行的面内，且根据 Lévy-Mises
( ) 流 动 法 则 ε&ipj = λ&sij 。 因 此 真 实 极 限 状 态 的 塑 性 耗 散 功 率 为 σ ijε&ij = σδij + sij ε&ipj = sijε&ipj
(13)
应该注意到，此式似乎是相应于机动场的应力
σ
* ij
、切向速度间断线上的剪应力即剪切
屈服应力τ s 、和给定面力 ti * = η∗ti 与机动场的应变率和速度场的虚功率方程，实际上并 不是。其中的应力与面力并不构成静力许可状态。其实，只有和任意机动场均满足虚
功率方程的应力和外力才一定是静力许可的，只和某种机动场满足这样的方程的应力
和外力不一定是静力许可的。
由上述两式可得
( )∫ ∫ ( ) ∫ ( ) η* −η
tSt i
vi*ds =
V
σ* ij
− σ ij
ε&i*jdv +
S D*
τs −τn
⎡⎣vt* ⎤⎦ ds
(14)
∫ 考虑到：对于运动许可速度场要求外载一定做正功；即 tSt i vi*ds > 0 ，而真实极限状态
σ
ε& (s) (k)
ij ij
dv
+
τ (s)
SD n
⎡⎣vt(k) ⎤⎦ ds =
V
fi
v (s) (k) i
dv
+
S
t v (s) (k)
ii
ds
(5)
式中的左端第二个积分是切向速度间断的滑移线上的耗散功对于真实状态和为了求近
似解而涉及的近似状态耗散功应该是正的，因此式中界面剪应力
τ
(s) n
σ&
′
ε& (s) (k)
ij ij
dv
+
V ′ f&i(s)vi(k)dv +
S′ t&i(s)vi(k)ds = 0
(3)
对于塑性极限状态，不妨设速度边界上给定速度为零的条件，而且此时外力均不
变化，即 vi = 0, ∀x ∈ S v , f&i = 0, t&i = 0, ∀x ∈ St 。虚功率方程对于静力许可状态与运动许 可状态成立，当然对于静力与运动均许可的真实状态也成立。在塑性区内静力许可应
即在连续体或其任一子域上任意静力许可状态的内力和外力在任意运动许可的应变和
位移上所做的总功为零，其中内力的功理解为应力的功的负值（也有的作者表述为内
力的总功等于外力的总功，他们将内力功定义为等于应力的功）。这在一些教科书上称
为可能功原理，而胡海昌先生曾经称为虚功原理，而 Washizu 则称散度定理。
对结构进行塑性极限分析可得如下三方面的结果，即：（1）结构塑性极限载荷； （2）达到塑性极限状态时的应力分布；（3）结构达到塑性极限状态的瞬间所形成的破 损机构。
在变值载荷作用下，对结构的破坏型式与承载能力进行分析，则是结构塑性安定 性的研究内容。在一般情况下，结构实现安定性的载荷值要比塑性极限载荷低得多； 但在有些情况下，安定载荷接近或等于塑性极限载荷。
而根据塑性稳定材料的 Drucker 公设可知σ&ijε&ipj ≥ 0 ，对于理想塑性材料等号成立。
于是极限状态的性质 1 得证：在塑性极限状态下 ε&iej = 0, ε&ij = ε&ipj 。因此理想刚塑性
模型和理想弹塑性模型得到的极限载荷是完全一样的。为简便起见，在塑性极限分析
中通常就采用理想刚塑性模型。
方法称为机动法与静力法。
z 静力法
求解步骤为：（1）建立静力许可的应力场，即取满足平衡条件且不违背屈服（极
限）条件的应力（内力）场。（2）由静力许可的应力（内力）场确定所对应的载荷，
即 为 极 限 载 荷 的 下 限 解 tl− = η 0t 。（ 3 ） 在 若 干 个 极 限 载 荷 的 下 限 解 中 取 其 最 大 值
由于在极限状态下塑性区内允许存在有限条切向速度的间断线，相应的虚功率方
程需要作相应的改变。
假设有一条切向速度间断线 S D 将整个体积域分成了两部分：V = V1 + V2 ，对于V1
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子补充讲义
姚振汉
和V2 的边界为 S10 + S D 和 S20 + S D ，而整个塑性区的边界则为 S = S10 + S20 。此时对于两个 子域分别列出虚功率方程即
，于是
σ* ij
− σ ij
ε&i*j ≥ 0 得证。
由上、下限定理可知
η* ≥η ≥η0
(15)
当上式取为等式时表明，由静力许可的应力场求得的η0 与由机动许可位移速度场
求得的η* 相等，该载荷系数即为极限载荷系数的完全解η 。
二、极限分析方法与简例 利用上、下限定理，可以求得极限载荷（系数）的上、下限解或完全解，相应的
对于性质 2 的证明不在这里给出了，下面只是介绍一下性质 1 的证明，顺便介绍 一下在后面还要用到的一些原理和方程。
⎯1⎯
第九章 结构的塑性极限分析与安定性
若
σ
(s) ij
,
fi(s) ,
t (s)
i
分别为静力许可（平衡许可）状态的应力和外力，其中应力和体积
力在域内满足平衡方程，应力和面力在边界满足 Cauchy 应力公式，在给定面力边界满
力还不能违背屈服条件，而运动许可速度场则允许有有限条切向速度间断的滑移线；
对于某种分布给定外力的运动许可速度场还要求外力在该速度场所做总功为正。于是
对于极限状态由上述虚功率方程可得
∫ ∫ ( ) V ′σ&ijε&ijdv = V ′σ&ij ε&iej + ε&ipj dv = 0
(4)
由应变能密度的正定性可证 σ&ijε&iej ≥ 0 其中等号对于弹性应变率为零的情况成立。
的总功率（或总功）为正，由此建立机动容许的速度（位移）场。（2）由上限定理中
的运动许可载荷因子的定义式求得运动许可载荷因子η* 或极限载荷的一个上限解 tl+ 。
( ) （3）在若干个破坏载荷上限解中取最小值
tl+
。检查在该载荷作用下的应力（内
min
力）场是否静力许可，即是否满足平衡方程与给定面力边界条件，是否违背屈服（极
中的应力不会违反屈服条件，因此τ s −τ n ≥ 0 ；由 Drucker 公设还可证明，对刚塑性材
⎯4⎯
研究生学位课弹塑性力学电子补充讲义
姚振汉
( ) 料
σ* ij
− σ ij
ε&i*j ≥ 0 。于是得证：η∗ −η ≥ 0 。
( ) σ * ij
− σ ij
ε&i*j ≥ 0 可以如下加以证明：对于ห้องสมุดไป่ตู้塑性材料 ε&ij = ε&ipj ，真实极限状态的塑性
(7)
对于静力许可状态与真实极限状态的应变率和速度场，虚功率方程为
∫ ∫ ∫ V σi0jε&ijdv +
τ0
SD n
⎡⎣vt ⎤⎦ ds = η 0
tSt i
vi ds
(8)
由此可得
( )∫ ∫ ( ) ∫ ( ) η −η0
tSt i
vi ds =
V
σ ij
−
σ
0 ij
ε&ijdv +
SD
τs
−
一、塑性极限状态和界限定理
z 极限状态和极限分析 结构弹塑性分析一般要跟踪加载和变形历史。如果忽略材料的塑性强化特性（即
采用理想塑性模型），并忽略物体由变形引起的几何尺寸变化（即采用小变形假设）， 则当外载达到某一定值时，理想塑性体可在外载不变的情况下发生塑性流动，即无限 制的塑性变形。这时称物体（或结构）处于塑性极限状态，简称极限状态；所受的载 荷称为物体或结构的极限承载能力或极限载荷；与之相应的速度场则称为塑性破损机 构，或塑性流动机构。
同理可证：
∫ ∫ ∫ −
V
σ
′
ε& (s) (k)
ij ij
dv
+
V ′ fi(s)vi(k)dv +
S′
t (s)
i
vi(k)ds
=
0
(2)
其中代替应变和位移的是应变率和速度。这在国内的塑性力学书上均称为虚功率原
理。
由于在静力许可状态之间变化时，其变化率也是静力许可的，因此还可得到
∫ ∫ ∫ −
V
z 上限定理 上限定理表述为：由任何一个运动许可的速度场（简称机动场）按下式定义一个
运动许可载荷因子η ∗
∫ ∫ η∗
V
σ
* ij
εi*j
dv
+
τ S D* s
⎡⎣vt* ⎤⎦ ds = Di *
∫S ti vi*ds
De *
(10)
其中Di *, De * 分别称为塑性耗散内功率和面力分布函数的外功率，则η∗ 是极限载荷的